专题09角精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

该初中数学导学案聚焦角的核心知识，涵盖静态动态定义、规范表示、度量换算、比较与和差、角平分线及方向角、钟面角应用，通过衔接射线概念、对比线段比较方法构建学习支架，厘清易混淆点，夯实几何入门基础。 资料特色在于分题型详解解题思路，标注星级难度，突出易错辨析与规范书写，通过具体图形培养几何直观，借助60进制换算训练抽象能力，结合实际情境问题发展推理意识，助力学生形成严谨思维，提升角相关知识的综合应用能力。

专题09角精讲学案 1 核心重点 核心立意 理解角的静态、动态定义，掌握角的规范表示：熟练进行角度换算与四 则运算，掌握方向角、钟面角基础应用：厘清易混淆概念，规范书写与 运算步骤，培养识图能力，夯实几何入门的严谨习惯。 表示方法符号遗漏 高频易错点 单位换算进制混滑 有公共端点的两条射线组成 角识别与表示 静态定义 公共端点是顶点 高频考点 度分秒换算 角的定义 两条射线是边 一条射线绕端点旋转形成 度、分、秒 单位 动态定义 起始位置是始边 1度=60分 进制 角的度量 终止位置是终边 1分=60秒 角的概念 顶点字母放中间 大化小乘以60 用三个大写字母 换算方法 如∠AOB 小化大除以60 角的表示 用顶点一个大写字母 顶点处只有一个角时 大于0小于90 锐角 用数字或希腊字母 如21∠a∠B 等于90° 直角 大于90小于180 钝角 角的分类 等于180 平角 等于360 周角 角的两种定义 B 顶点O 终边 顶点可 始边 由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。公共端点叫做角的顶 点，两条射线叫做角的两条边。 试卷第1页（共3页） 条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做 角。 起始位置射线：始边 终止位置射线：终边 拓展概念（预习了解） 平角：射线旋转半周，始边与终边成一条直线；平角=180° 周角：射线旋转一周，始边与终边重合：周角=360 △易错：平角不是直线，周角不是射线。角必须有顶点和两条边。 →一个周角是360 0 A(B) 平角 一个平角是180 周角 图1 图2 角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 表示方法 图示 记法 说明 字母0表示顶点，要写在中间，A,B表示角的 用三个大写 ∠AOB或∠BOA 两边上的点，用该表示方法可以表示任意一个角。 字母表示 用一个数字 ∠1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊 表示 1☒B 字母。该表示方法形象、直观。 用一个希腊 ∠a,∠B 字母表示 用角的顶点 当角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母 字母表示 ∠0 来表示。 角的度量与单位换算 度量工具：量角器 试卷第2页（共3页） 角度单位：度、分、秒，符号：°、‘、“ 进率是60(60进制！重点，区别十进制) 1°=60,1=60"1°=3600" 换算两类题型： ①度度分秒（乘60）②度分秒一度（除以60） 特殊角大小 直角：90°；平角：180°；周角：360° 角的大小比较（和线段比较对应学习） 1度量法：用量角器测出角度数值，直接比较大小 示 用度量法比 度量法 30B 30°<370 较角的大小 37 ∠AOB<∠CDE 2.叠合法： ①顶点重合： ②一条边重合： ③另外一条边落在重合边同 侧，根据另一边位置判断大小。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比 较大小。如图，先让两个角的顶点0与0重合，再让一条边OB与 OD重合，使另一条边OA和O'C落在OB(或O'D)的同侧。 试卷第3页（共3页） A(C) 0 0 (0') B D (0') B D) 0(0) B (D) 0C与01重合， 0C落在∠10B的内 OC落在∠AOB的外 ∠CO'D=∠AOB 部，∠COD<∠AOB 部，∠COD>∠AOB △重要结论：角的大小只和两边张开幅度有关，和边的长短无关（射线 无限长)。 角的和、差 在同一个顶点处，射线将大角分成若干小角。 如图，射线OC在∠AOB内部： B ∠AOB=∠AOC+∠COB ∠AOC=∠AOB-∠COB ∠COB=∠AOB-∠AOC 几何答题规范：书写角度等式，不要省略角符号∠。 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角 的平分线。如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=2∠AOB. 试卷第4页（共3页） A 2 B 尺规作图：作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. B 作法：(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D; (2)画一条射线0'A',以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'; (3)以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧相交于点D (4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 重点辨析 1. 角的边是射线，并非线段：平角、周角属于角，不可等同于直线、 射线。 2.同一个顶点处存在多个角，禁止用单个大写字母标注。 3.角度换算为60进制，区别十进制。 4.方向角以南北向为基准， 勿选取东西向作基准。 2 高频易错点 ①概念判断题中，误以为角的边长改变能够影响角的大小： 试卷第5页（共3页） ②图形内同一个顶点存在多个角，仍直接使用单个大写字母标注角： ③说理判断题中将平角等同于一条直线，周角等同于一条射线： ④度分秒加减运算借位、进位出错，换算时误用十进制： ⑤读取方向角时，误将东西方向当作基准线，书写方位词顺序颠倒： ⑥求解钟面夹角，算出角度差后未和180°比对，直接输出大于180°的钝 角。 3 题型总览 题型 考察方向 难度 ★★ 题型一 角的概念理解 ★★ 题型二 角的表示方法 ★★ 题型三 角的分类 ★★ 题型四 角的单位与角度制 ★★★ 题型五 角度的四则运算 ★★★ 题型六 角的度数大小比较 ★★★ 题型七 钟面角 ★★★ 题型八 方向角的表示 ★★★★ 题型九 与方向角有关的计算题 ★★★★ 题型十 几何图形中角度计算问题 ★★★★ 题型十一 三角板中角度计算问题 试卷第6页（共3页） ★★★★ 题型十二 角平分线的有关计算 ★★★★ 题型十三 角n等分线的有关计算 ★★★ 题型十四 求一个角的余角 ★★★ 题型十五 求一个角的补角 ★★★ 题型十六 与余角、补角有关的计算 ★★★★ 题型十七 同（等）角的余（补）角相等的应用 拔高题 6题 星级说明：★★基础：★★★中档：★★★★提升；★★★★★难题 分题型精讲 题型一：角的概念理解 解题思路：①掌握角的静态、动态两类定义。②明确组成要素：顶点、两条射线 边。③辨析常见误区：角的大小仅由两边张开幅度决定，与边长无关；平角、周角 含有项点与两条边，不能等同于直线、射线。 1.如图所示，共有()个角 E D A.8 B.10 C.11 D.12 2.用一个7倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为() A.15° B.105° C.30° D.150° 3.如图，∠A0B是直角， 0P(i=1,2,3,4,5,6) 是射线，则图中共有锐角() 试卷第7页（共3页） P A 28个 B.27个 C.24个 D.22个 题型二角的表示方法 解题思路：①选用四种规范表示形式：三大写字母、单顶点字母、数字、希腊字 母。②单字母标识仅限顶点处仅有一个角。③三字母表示时顶点字母居中书写。 4.下列图形中，能用∠1，∠B两种方法表示同一个角的是() A A 5.如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是() B A.图中共有3个角 B.∠AOC可以用∠O表示 C.∠I与∠AOB是同一个角 D.∠AOC=∠AOB+∠2 6.下列四个图中，能用∠I、∠0、∠M0N三种方法表示同一个角的是() 试卷第8页（共3页） 题型三角的分类 解题思路：①熟记各类角的取值范围：锐角0°<a<90°，直角Q-90°，钝角90°<0 <180°，平角a=180°，周角a=360°。②将已知角度与区间比对，判定角的类型。③ 区分概念：平角、周角属于角，并非直线或射线。 7.有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角：③1个直角=2个锐角：④ 钝角是大于90°的角.其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.如图所示，下列各角是锐角的是() B 6070 A.∠AOB B.∠AOC C.∠AOD D.∠BOC 9.下列各图中有关角的表示正确的个数有() C A B AOB A B ∠ABC ∠AOB是平角 射线AB是周角 CAB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型四角的单位与角度制 试卷第9页（共3页） 解题思路：①牢记60进制换算关系：1=60,1=60”。②单位换算：高级单位转低 级单位乘以60，低级转高级除以60。③分步运算，减少进位失误。 10.25.72°= 11.计算：3523'13”+6437'47”= 12.2.5°==”.2030=0 13.若∠A=2518,∠B=2519T,∠C=25.31°，则() A.∠B>∠C>∠A B.∠C>∠B>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠B>∠A>∠C 题型五角度的四则运算 解题思路：①加减运算：度、分、秒分项计算；加法满60向高位进1；减法不够减 时向上一级借1记作60。②乘除运算：逐级运算；乘法满60向上进位；除法由高 位至低位依次计算，余数向下一级单位转换。③运算结果中分、秒取值限定在0~ 59. 14.若∠A=32°5'，则与∠A互补的角的度数是() A.5855 B.5755 C.14755 D.14855 15.下列计算正确的是() A.1225+2547'=392 B.4815-3030'=1815' C.58.25°=5815 D.4224'=42.24° 16.己知∠AOB=5832,以0为端点作射线OC,使∠AOC=4241',则∠B0C的度数为 (). A.15°51 B.10113 C.15°51或10113 D.16°51或10113 题型六角的度数大小比较 解题思路：①统一格式，化为十进制度或度-分~秒形式。②按度、分、秒的次序 试卷第10页（共3页） 逐项比对。③核验不等号方向，防止颠倒。 17.比较大小：5218 52.18°（用“>”、“<”或“=填空）， 18.比较大小：(1)0.8 0.9；(2)24.15° 2415'(选填“>”“<” “=”) 19.已知∠a=20',∠B=0.35°，则∠a ∠β.（填“>”，“=”，或“<”） 20.若∠1=2515，∠2=2513'30”，∠3=25.35°，则() A.∠3>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠3 C.∠1>∠3>∠2 D ∠1>∠2>∠3 题型七钟面角 解题思路：①熟记转速：分针每分钟转动6°；时针每小时转动30°，每分钟转动 0.5°。②分别求出时针、分针相对于12时刻度转过的角度。③求取角度差；差值大 于180°时，用360°减去该差值得到最小夹角。 21.如图，钟表的时间为十点十分，时针和分针所成的钝角为() A.120° B.115 C.105 D.95° 22.有一钟表现在是8点45分，再经过 分钟时，时针和分针第一次重合， 23.如图，在6：20这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为() TTTTT 6 5. A.60° B.70° C.75° D.80° 试卷第11页（共3页） 题型八方向角的表示 解题思路：①以正南、正北作为基准方向。②书写格式：北（南）偏东（西）× 度。③确认夹角以南北基准线为准，避免误取东西向为基准。 24.救生艇B位于轮船A的北偏东60°方向，则轮船A位于救生艇的()方位 A.南偏东30° B.南偏西60° C.北偏西60° D.北偏东 30° 25.某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示.例如，北偏东30°方向 45km的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么 这个地点就用代码010045表示，按这种表示方式，北偏东60°方向78km的位置，可用代 码表示为 26.如图，点0，A,B表示西安莲湖公园的三个景点，射线0A表示北偏西25°的方向， ∠AOB=92°，则射线OB表示的方向为() 北 B →东 A.东偏北67 B.北偏东67 C.北偏东77° D.东偏北 33° 题型九与方向角有关的计算题 解题思路：①画出方位示意图，各观测点补充南北向辅助线。②依据南北方向线互 相平行，利用内错角相等求出中间过渡角。③梳理待求角和已知角的和差关系。④ 完成计算后对照图形复核。 27.如图，点A位于点0的南偏西51°方向，点B位于点0的南偏东65°方向，则∠A0B= 试卷第12页（共3页） () 北 东 A.98 B.100° C.106° D.116 28.如图，射线OE、OS、OW、ON分别表示东、南、西、北方向，已知 ∠BON+∠A0W=180°.如果点A在点O的北侧东65°方向，那么点B在点0的 方 向 北 B A 南 29.如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A,B,C,D,E,F,6座海轮， 其中F到灯塔的距离为10km,海轮F在灯塔和海轮D的中点处.且∠AOD=4230', ∠DOE=∠AOC=78.5°.则下列说法正确的是() ①若海轮F的速度为30km/h,则海轮F抵达灯塔最少需要20分钟： ②∠E0C=43°： ③LB0E=59°： ④C在灯塔的北偏东1130'的方向上。 北 C D F 西 B O灯塔 东 南 A.①④ B.①② C.①③④D.①②③④ 题型十几何图形中角度计算问题 试卷第13页（共3页） 解题思路：①将已知角度标注于题图。②识别图形中角的和差关系。③列式求解。 ④射线位置未明确时分类讨论，规避漏解。 30.如图所示，已知LC0D=30°，∠A0C=∠B0D=90°，则∠AOB的度数是() B A.130° B.140° C.150° D.160° 31.已知∠AOB和∠COD的两边分别互相平行，且∠COD比∠A0B的2倍少30°，∠COD 的度数为 32.如图，OD平分∠AOB,2∠AOC=3∠BOC,∠COD=15°，则∠AOB的度数为() A.150° B.135° C.120° D.110° 题型十一三角板中角度计算问题 解题思路：①牢记两套三角板的内角：30°、60°、90°：45°、45°、90°。②在图中 标注固定内角。③分析目标角与己知角的和差关系，留意重叠区域。④列式计算。 33.将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的度数为() A.120° B.105° C.95 D.75 34.如图，将一个三角板30°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=2225，则 ∠2的大小为一· 试卷第14页（共3页） 35.把一副三角板按如图所示的方式拼在一起，其中A,B,D三点在同一条直线上， BM为∠CBE的平分线，BN为∠DBE的平分线，则∠MBN的度数为() A.60° B.70° C.67.5 D.80° 题型十二角平分线的有关计算 解题思路：①由角平分线定义，分得的两个小角相等，均为原角的。②设其中一 个小角为未知数，其余相关角用该未知数表示。③依托题给条件列方程求解。④分 射线在角内、角外两种情形讨论。 36.如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC,若 ∠AOC=m°，∠BOC=n°，则∠DOE的大小为() D A e。( 37.如图，点O是直线AD上一点，射线OC,OE分别平分∠AOB,∠BOD.若 ∠AOC=2836',则∠B0E= 、 试卷第15页（共3页） D 38.如图，∠40B=∠C0D=90,0A平分∠COE,∠B0D=m(0<n<45) 下列结论不正 确的是() D B A.∠BOD=∠AOC B.∠AOE+∠AOD=90° C.∠DOE=2∠BOD D.∠AOD+∠BOC=180° 题型十三角n等分线的有关计算 解题思路：①n等分线将原角平均分为n份。②总角度除以n,得到单份角度。③ 统计目标角包含的等分份数。④份数乘以单份角度得到结果。⑤射线位置不确定时 分类讨论。 39.8条射线 K.DK,OK是∠K0L的九等分线，∠K0L=153 ,则相邻两条等分射线 的夹角为： 40.射线OM是∠NOP的三等分线之一，∠NOM=30°，则∠NOP的最大度数为 41.已知0C是∠40B的r分线，∠B0D-C0D,0ET分∠coD:设∠4OB=a:则 ∠BOE=() 5 1 J 1 A. 16 B 或6a 16 C. “或6a D. 题型十四求一个角的余角 解题思路：①定义：两角之和等于90°则互余。②计算公式：余角=90°已知角。③ 试卷第16页（共3页） 度分秒运算时妥善处理借位。④结果≤0时，该角不存在余角。 42. 已知∠A的余角是30°，则∠A等于() A.30° B.150° C.60° D.50° 43.如图，∠A0C与∠B0C互余，若∠A0C=3024',则∠B0C=() B A.5936 B.5924 C.6036 D.6024 44.如图，长方形ABCD中，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD 上的点F处 D (I)用等式表示线段AB,DE,EF之间的数量关系： (2)设∠CBE=a,用含a的代数式表示∠AFB: 题型十五求一个角的补角 解题思路：①定义：两角之和等于180°则互补。②计算公式：补角=180°-已知角。 ③度分秒运算时妥善处理借位。④结果≤0时，该角不存在补角。 45.若∠A=60°，那么∠A的补角的度数是 46.已知∠A与LB互余，∠B与∠C互补，∠A=30°，则∠C= 47.一定能使等式“∠1+∠2=180°”成立的图形是() B 2 试卷第17页（共3页） 题型十六与余角、补角有关的计算 解题思路：①设原角为x,写出其余角、补角的代数式。②依据题意建立方程。③ 求解原角度数。④回代核验余角、补角是否有效。 48.如果锐角a的余角是48°，那么锐角α是() A.42° B.132° C.48° D.138° 49.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日贵阳市正 午太阳光线与水平面的夹角B为63.5°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角“的度 数为() 集热板 太阳光线 支 架 水平面 A.26.5° B.36.5° C.56.5 D.63.5° 1 50.如果La和B互补，且∠a<∠B,下列表达式：①g0°-∠a:②2(2B+∠)：⑧ ∠B-90:@(B-∠a)中，能表示∠a的余角的武了是 (请把所有正确 的序号填在横线上) 51.如果La和P互补，且∠a<∠p,那么下列式子中一定表示La的余角的有 ()个 090-∠a:@∠p-90e；@2us0-∠A川，@7p-La). A.1 B.2 C.3 D.4 题型十七同等)角的余（补）角相等的应用 试卷第18页（共3页） 解题思路：①定位题干中的公共角或者一组相等角。②判定问题涉及余角还是补 角。③运用性质推导角相等。④结合图形中的角度和差完成计算或证明。⑤区分该 性质和对顶角相等，避免混淆。 52.课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为( D I 3 B已知∠与3是对顶角，那么∠A=∠3 理由：因为∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，所以∠1=∠3.（依据： A.平角的定义 B.同角的补角相等 C.等角的补角相等 D.同位角相等 53.如图，∠A0B=∠C0D=∠EOF=90°，则图中∠1，∠2，∠3三个角的数量关系是 54.如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的 数量关系为 解答题 1.如图，如果1=6515，∠2=7830，那么∠3是多少度？ 试卷第19页（共3页） 3 2.如图所示，已知OC平分∠BOD,且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD 的度数 A D 3.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东 30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C F北 西 东 OP E 0 南 (I)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB、OC(不写 作法)： (2)若图中有一艘渔船D,且∠AOD的补角是它的余角的3倍，求出∠AOD的度数： 4.如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点卫落在边 AB上，∠BAC=∠DAE=90°，∠CAD=180°（本题中所有的角均小于或等于180）. B A D 图1 图2 (1)如图2，若将三角板ABC绕点A以每秒4°的速度顺时针旋转，而三角板ADE保持静止 不动，第5秒时，∠BAE的度数为 。,∠CAD的度数为 °，此时 ∠BAE+∠CAD= 试卷第20页（共3页） (②)若将三角板ABC绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为α，而三角板ADE保持 静止不动，则(1)中∠BAE和∠CAD的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理 由. )若将三角板ABC绕点A以每秒4°的速度顺时针旋转的同时，将三角板ADE以每秒5°的 速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时∠BB=)<CAD?《直 2 接写出答案即可) 5.小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道 若OP是∠MON内一条射线，当∠MOP=∠OP-号MON,则称射线OP是∠MON的角 平分线.于是联想到若OP是∠MON内一条射线，当∠MOP=3∠MON或 3 NOP-MON.则称射线0P是MON的等分线.本题中所研究的角都是天于p 且小于180°的角) 】 图1 图2 图3 (①)如图1，己知∠A0B=60°，若OH是∠AOB的三等分线，则∠BOH=: (2)如图2，射线OD平分∠AOB,OE是∠BOD的三等分线，射线OC在∠AOB的内部，且 ∠A0C=4∠A0B,若∠COD=30°，求∠C0E的度数： 4 3)如图3，已知∠AOB=120°，射线OD平分∠AOB,射线OG绕着点O以5°每秒的速度 顺时针从射线OA旋转到OB的位置，设运动时间为t秒，若OH是∠GOB的三等分线，且 3LAOH+4∠D0G=270°，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值， 6.如图，点O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD 试卷第21页（共3页） 1)请直接写出图中所有与∠EOF相等的角： (2)写出图中与∠DOE互补的一个角，并说明理由. 试卷第22页（共3页） 专题09角精讲学案 核心立意 理解角的静态、动态定义，掌握角的规范表示；熟练进行角度换算与四则运算，掌握方向角、钟面角基础应用；厘清易混淆概念，规范书写与运算步骤，培养识图能力，夯实几何入门的严谨习惯。 角的两种定义 1.静态定义（课本基础定义） 由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置射线：始边 终止位置射线：终边 👉拓展概念（预习了解） 平角：射线旋转半周，始边与终边成一条直线；平角=180 周角：射线旋转一周，始边与终边重合；周角=360 ⚠️易错：平角不是直线，周角不是射线。角必须有顶点和两条边。 角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 角的度量与单位换算 度量工具：量角器 角度单位：度、分、秒，符号：、'、'' 进率是 60（60 进制！重点，区别十进制） 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 换算两类题型： ①度 ⇨ 度分秒（乘 60） ②度分秒 ⇨ 度（除以 60） 特殊角大小 直角：90；平角：180；周角：360 角的大小比较（和线段比较对应学习） 1.度量法：用量角器测出角度数值，直接比较大小 2.叠合法： ①顶点重合； ②一条边重合； ③另外一条边落在重合边同侧，根据另一边位置判断大小。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 ⚠️重要结论：角的大小只和两边张开幅度有关，和边的长短无关（射线无限长）。 角的和、差 在同一个顶点处，射线将大角分成若干小角。 如图，射线OC在∠AOB内部： 几何答题规范：书写角度等式，不要省略角符号∠。 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 尺规作图：作一个角等于已知角 重点辨析 1. 角的边是射线，并非线段；平角、周角属于角，不可等同于直线、射线。 2. 同一个顶点处存在多个角，禁止用单个大写字母标注。 3. 角度换算为60进制，区别十进制。 4. 方向角以南北向为基准，勿选取东西向作基准。 ①概念判断题中，误以为角的边长改变能够影响角的大小； ②图形内同一个顶点存在多个角，仍直接使用单个大写字母标注角； ③说理判断题中将平角等同于一条直线，周角等同于一条射线； ④度分秒加减运算借位、进位出错，换算时误用十进制； ⑤读取方向角时，误将东西方向当作基准线，书写方位词顺序颠倒； ⑥求解钟面夹角，算出角度差后未和180比对，直接输出大于180的钝角。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★★ 题型二 角的表示方法 ★★ 题型三 角的分类 ★★ 题型四 角的单位与角度制 ★★ 题型五 角度的四则运算 ★★★ 题型六 角的度数大小比较 ★★★ 题型七 钟面角 ★★★ 题型八 方向角的表示 ★★★ 题型九 与方向角有关的计算题 ★★★★ 题型十 几何图形中角度计算问题 ★★★★ 题型十一 三角板中角度计算问题 ★★★★ 题型十二 角平分线的有关计算 ★★★★ 题型十三 角 n 等分线的有关计算 ★★★★ 题型十四 求一个角的余角 ★★★ 题型十五 求一个角的补角 ★★★ 题型十六 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型十七 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★提升；★★★★★难题 题型一：角的概念理解 解题思路：①掌握角的静态、动态两类定义。②明确组成要素：顶点、两条射线边。③辨析常见误区：角的大小仅由两边张开幅度决定，与边长无关；平角、周角含有顶点与两条边，不能等同于直线、射线。 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 2．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型二 角的表示方法 解题思路：①选用四种规范表示形式：三大写字母、单顶点字母、数字、希腊字母。②单字母标识仅限顶点处仅有一个角。③三字母表示时顶点字母居中书写。 4．下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法，当顶点处只有一个角时，我们可以用顶点的一个字母来表示这个角，即可解答． 【详解】解：能用，两种方法表示同一个角的是： 5．如图，在内部作了一条射线，下列说法错误的是（   ） A．图中共有3个角 B．可以用表示 C．与是同一个角 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法即可判断求解． 【详解】解：A、图中共有3个角、、，故选项A正确，不符合题意； B、不可以用表示，故选项B错误，符合题意； C、与是同一个角，该选项C正确，不符合题意； D、，该选项D正确，不符合题意； 故选：B． 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型三 角的分类 解题思路：①熟记各类角的取值范围：锐角0<<90，直角=90，钝角90<<180，平角=180，周角=360。②将已知角度与区间比对，判定角的类型。③区分概念：平角、周角属于角，并非直线或射线。 7．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要根据周角、平角、直角、锐角、钝角的定义，逐一分析每个说法的正确性，从而确定正确说法的个数． 【详解】①周角是，平角是，，所以1个周角=2个平角，该说法正确； ②平角是，直角是，，所以1个平角=2个直角，该说法正确； ③直角是，锐角是大于而小于的角，例如两个的锐角和为，所以1个直角不一定等于2个锐角，该说法错误； ④钝角是大于而小于的角，仅说大于的角不一定是钝角（如平角、周角），该说法错误． 综上，①②说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的分类的定义，掌握根据各类角的度数范围，判断角之间的数量关系及角的类型是解题的关键． 8．如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型四 角的单位与角度制 解题思路：①牢记60进制换算关系：1=60'，1'=60''。②单位换算：高级单位转低级单位乘以60，低级转高级除以60。③分步运算，减少进位失误。 10．_______________． 【答案】 【分析】根据度分秒的换算，度分秒之间的进率为．将度的小数部分依次乘以进率换算为分和秒即可求解． 【详解】解：的整数部分为度，即． 剩余小数部分换算为分：． 的整数部分为分，即． 剩余小数部分换算为秒：． 因此． 11．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查度、分、秒的换算，熟练掌握，是解题关键．将度、分、秒分别对应相加，再遵循满进的规则进行进位运算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 12．______′______″，______ 【答案】 【分析】此题考查了角度间的换算，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制关系，将高级单位化为低级单位时，乘以进率，反之，将低级单位转化为高级单位时除以进率． 度化成分，乘以进率60；度分表示的化成度表示，则先把分除以进率，再加上度即可， 【详解】解：，， 故答案为：，，． 13．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键． 把化为，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型五 角度的四则运算 解题思路：①加减运算：度、分、秒分项计算；加法满60向高位进1；减法不够减时向上一级借1记作60。②乘除运算：逐级运算；乘法满60向上进位；除法由高位至低位依次计算，余数向下一级单位转换。③运算结果中分、秒取值限定在059。 14．若，则与互补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查互为补角的意义和度分秒的换算，熟练掌握求一个角的补角的方法和度分秒的换算进率是解决问题的关键． 互补角之和为，因此用减去已知角即可得出结果. 【详解】解：∵ 互补角之和为， ∴与互补的角的度数是， 故选：C． 15．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据度分秒的换算规则，对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】 A、。因为，所以，不是，该选项错误； B、，不是，该选项错误； C、∵，∴，则，该选项正确； D、∵，∴，不是，该选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒之间的换算关系为，利用这一关系对角度进行换算，判断计算是否正确是解题的关键． 16．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 题型六 角的度数大小比较 解题思路：①统一格式，化为十进制度或度‑分‑秒形式。②按度、分、秒的次序逐项比对。③核验不等号方向，防止颠倒。 17．比较大小：_____(用“>”、“<”或“=”填空)． 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算及大小比较，关键是掌握角度单位间的进率：，解题思路是将转化为以度为单位的数，再与比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 18．比较大小：（1） _______；（2）_______（选填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及度分秒的换算，熟练掌握两个负数比较大小的法则和度分秒的换算方法是解题的关键． （1）对于两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小． （2）先把角度的度分形式统一成度的小数形式，再比较大小． 【详解】解：（1）∵ ，，且 ， ∴ ， 故答案为： ； （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 19．已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α_________∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【答案】＜ 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠β的度数化成分的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵∠β＝0.35°=（0.35×60）'=21'． ∴∠α＜∠β， 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了角的大小比较，掌握度分秒之间的换算法则是解本题的关键． 20．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【详解】∵，，=25°， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键． 题型七 钟面角 解题思路：①熟记转速：分针每分钟转动6；时针每小时转动30，每分钟转动0.5。②分别求出时针、分针相对于12时刻度转过的角度。③求取角度差；差值大于180时，用360减去该差值得到最小夹角。 21．如图，钟表的时间为十点十分，时针和分针所成的钝角为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，钟面被分成12大格，每大格为，时针每分钟走过，在钟面上10与2之间有4个大格，而时，时针从开始走过了10分钟，即走过了，即可求出此时时针和分针所成的钝角的度数． 【详解】解：， 答：时针和分针所成的钝角为． 故选：B． 22．有一钟表现在是8点45分，再经过________分钟时，时针和分针第一次重合． 【答案】 【分析】将钟表问题转化为追及问题，先确定时针和分针的转速，再计算8点45分两针的夹角，最后根据追及公式计算时间． 【详解】解：分针每分钟转动的角度为度， 时针每分钟转动的角度为度， 两者的速度差为度/分 8点45分时，时针所在位置与12时的夹角为 度， 分针所在位置与12时的夹角为 度， 此时分针在时针前方，两针夹角为度， 第一次重合时分针需要比时针多走度， 因此经过的时间为分钟 23．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键．6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为30度进行求解即可． 【详解】解： 6点20分，时针和分针中间相差个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：B． 题型八 方向角的表示 解题思路：①以正南、正北作为基准方向。②书写格式：北（南）偏东（西）××度。③确认夹角以南北基准线为准，避免误取东西向为基准。 24．救生艇位于轮船的北偏东方向，则轮船位于救生艇的（     ）方位． A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【详解】解：救生艇位于轮船的北偏东方向， 轮船位于救生艇的南偏西． 25．某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 【答案】020078 【分析】先计算钟面上每个刻度对应的角度，再求出北偏东对应的时刻，最后按照代码规则组合出完整代码． 【详解】解：；； 时对应的代码为； 故北偏东方向的位置，可用代码表示为． 26．如图，点表示西安莲湖公园的三个景点，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．东偏北 【答案】B 【分析】本题考查方向角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据，求出即可判断． 【详解】解：如图， ∵射线表示北偏西的方向， ∴， ∵， ∴， ∴射线表示的方向是北偏东， 故选：B． 题型九 与方向角有关的计算题 解题思路：①画出方位示意图，各观测点补充南北向辅助线。②依据南北方向线互相平行，利用内错角相等求出中间过渡角。③梳理待求角和已知角的和差关系。④完成计算后对照图形复核。 27．如图，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方向角的定义，结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：由题意. 28．如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知．如果点在点的北侧东方向，那么点在点的_____方向． 【答案】北侧西 【分析】本题主要考查方位角和余角、补角的相关知识．先得到，求得，据此求得点在点的北侧西方向． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在点的北侧东方向， ∴， ∴点在点的北侧西方向， 故答案为：北侧西． 29．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 题型十 几何图形中角度计算问题 解题思路：①将已知角度标注于题图。②识别图形中角的和差关系。③列式求解。④射线位置未明确时分类讨论，规避漏解。 30．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 31．已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______． 【答案】 或 【分析】根据两边分别平行的两个角的位置关系，分两种情况讨论，利用方程思想求解. 【详解】解：设，则， 分两种情况讨论： ①当时， 由两边分别平行的两个角相等，可得方程： ， 解得， ∴； ②当与互补时， 由两边分别平行的两个角互补，可得方程： ， 解得， ∴， 综上所述，的度数为或. 32．如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，是解答本题的关键． 由角平分线的定义得，再根据，得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：A． 题型十一 三角板中角度计算问题 解题思路：①牢记两套三角板的内角：30、60、90；45、45、90。②在图中标注固定内角。③分析目标角与已知角的和差关系，留意重叠区域。④列式计算。 33．将一副三角板按如图所示的方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角板角度的认识与角度求和，先明确一副三角：板包含的角度(等腰直角三角板的角度为，另一个直角三角板的角度为)，再观察图形中是由三角板的哪两个角拼接而成，最后将这两个角度相加即可得到结果． 【详解】解：从图中可以看出，是由一个角和一个角组成的： 故选：B． 34．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为： 35．把一副三角板按如图所示的方式拼在一起，其中，，三点在同一条直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和平角的性质，利用平角求出的度数是解题的关键． 先利用平角性质求出 的度数，再结合角平分线的定义算出、，最后相加即可得到的度数． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 题型十二 角平分线的有关计算 解题思路：①由角平分线定义，分得的两个小角相等，均为原角的。②设其中一个小角为未知数，其余相关角用该未知数表示。③依托题给条件列方程求解。④分射线在角内、角外两种情形讨论。 36．如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线有关的角度计算题，先求出，再根据角平分线得到， ，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴， 故选：B． 37．如图，点O是直线上一点，射线，分别平分，．若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的度数的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义． 根据角平分线的定义得出，然后根据角的度数的减法进行求解即可． 【详解】解：∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．如图，，平分，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线，掌握根据图形分析出各个角之间的关系是解题的关键． 根据图形结合相关知识点分析出各个角之间的关系，再逐项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、， ，即，故选项A正确，不符合题目要求； B、平分， ， ，故选项B正确，不符合题目要求； C、可知，，不一定成立，故选项C错误，符合题目要求； D、可知，，，故选项D正确，不符合题目要求． 故选：C． 题型十三 角 n 等分线的有关计算 解题思路：①n等分线将原角平均分为n份。②总角度除以n，得到单份角度。③统计目标角包含的等分份数。④份数乘以单份角度得到结果。⑤射线位置不确定时分类讨论。 39．8条射线是的九等分线，，则相邻两条等分射线的夹角为_________． 【答案】 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线将角九等分，相邻射线夹角等于总角度除以等分数，即可求解． 【详解】解：∵，被九等分， 每个小角为﹒ 相邻两条等分射线的夹角即为﹒ 故答案为 40．射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等分线的有关计算．是的三等分线之一，因此可能是的三分之一或三分之二．根据，解出可能为或，最大值为． 【详解】解：设的度数为．由于是的三等分线之一，则有两种情况： 若为靠近的三等分线，则，解得； 若为靠近的三等分线，则，解得． 因此的最大度数为． 故答案为： 41．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 题型十四 求一个角的余角 解题思路：①定义：两角之和等于90则互余。②计算公式：余角=90-已知角。③度分秒运算时妥善处理借位。④结果≤0时，该角不存在余角。 42．已知的余角是，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义直接计算即可． 【详解】解：∵ 互余的两个角的度数和为，的余角是， ∴． 43．如图，与互余，若，则（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， 故选A． 44．如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 题型十五 求一个角的补角 解题思路：①定义：两角之和等于180则互补。②计算公式：补角=180-已知角。③度分秒运算时妥善处理借位。④结果≤0时，该角不存在补角。 45．若，那么的补角的度数是________． 【答案】120 【分析】根据补角的定义，互补两角的和为，用减去的度数即可得到结果 【详解】解：∵互补的两个角的度数和为，， ∴的补角的度数为 46．已知与互余，与互补，，则__________． 【答案】/120度 【分析】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 47．一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平角的定义判断即可． 【详解】根据平角的定义判定  中，符合题意，   中，不符合题意；   中，不符合题意；   中无法确定两个角的关系，不符合题意； 故选Ａ． 【点睛】本题考查了互补的定义，正确理解定义是解题的关键． 题型十六 与余角、补角有关的计算 解题思路：①设原角为x，写出其余角、补角的代数式。②依据题意建立方程。③求解原角度数。④回代核验余角、补角是否有效。 48．如果锐角的余角是，那么锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵锐角的余角是， ∴， 49．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日贵阳市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 50．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 51．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 题型十七 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①定位题干中的公共角或者一组相等角。②判定问题涉及余角还是补角。③运用性质推导角相等。④结合图形中的角度和差完成计算或证明。⑤区分该性质和对顶角相等，避免混淆。 52．课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【答案】B 【分析】根据已知与互补，与互补，结合补角定义，判断与、与分别互为补角(和是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、等角的补角相等、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是“始边与终边在同一直线且方向相反的角为”，本题是通过两个角与的和为推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的补角相等是“若两个角均为同一个角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； C、等角的补角相等是“若两个角均为相等角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，属于同角，不属于等角，此选项不符合题意； D、同位角相等需满足“两直线平行被第三条直线所截”的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：B． 53．如图，，则图中三个角的数量关系是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 54．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 解答题 1．如图，如果，那么是多少度？ 【答案】 （或） 【分析】根据平角的定义，结合角的四则运算进行求解即可. 【详解】解：. 2．如图所示，已知平分，且，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据角平分线的性质，得到，再利用角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵是的平分线， ∴． 3．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线、（不写作法）； (2)若图中有一艘渔船D，且的补角是它的余角的3倍，求出的度数； 【答案】(1) 如图，射线、即为所求； (2) 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方位角的度数，即可画出图形； （2）根据余角与补角的关系，即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）如图2： 由的补角是它的余角的3倍，得 ， 解得． 4．如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)20，160，； (2) 成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． (3)第秒或秒或秒时． 【分析】（1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，； （2）略 （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则三角板旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则三角板旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图5 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：； 综上，第秒或秒或秒时． 5．小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【答案】(1)或． (2)或 (3)和 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，一元一次方程的应用．掌握三等分线的定义是解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可． （2）设，利用角平分线的定义和角的和差关系得出，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． （3）由角平分线的定义得出，设运动时间为t秒，则，，，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三等分线， ∴， 或， 此时． 故答案为：或． （2）解：设，则， ∵射线平分， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵是的三等分线，分两种情况∶ 当靠近，则， ∴． 当靠近，则， 则． 故答案为∶或． （3）解：∵，平分， ∴， 设运动时间为t秒，则，，， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当靠近，， 则， 代入， 如图：当时，， 即， 解得（不符合题意舍去） 如图：当时，， 则， 解得（不符合题意舍去） 当靠近，则， 则， 代入， 如图：当时，则， 即， 解得． 如图：当时，， 则， 解得． 综上： 满足条件的所有t的值为和． 6．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $