专题03有理数的乘法与除法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数的乘法与除法，涵盖运算法则、符号判定、运算律、倒数及混合运算。通过对比加减法符号规则导入，承接有理数加减运算，搭建乘除二级运算体系，为后续四则混合运算等提供学习支架，包含分步步骤与简便口诀。 资料突出“先定符号，后算绝对值”的标准化运算步骤，通过重点辨析与常见错误总结帮助学生突破难点，题型从基础到压轴分层设计并结合实际应用。培养学生运算能力、推理意识与应用意识，助力建立规范运算习惯，提升数学思维与解决问题能力。

专题03有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意 本节搭建有理数乘除二级运算体系，对比加减法依靠绝对值判定符号的规则，乘除运算以负因数的个数判号。利用倒数将除法转化为乘法，实现乘除运算统一，依托乘法运算律实现简便运算。落实“先定符号，后算绝对值”的运算准则，修正算术阶段只计算数值的固有习惯。承接有理数加减运算，是四则混合运算、乘方、整式化简与解方程的运算基础，培养等价转化意识，建立标准化的运算步骤。 两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 判断两个因数符号，确定积的符号； 计算两个数绝对值的乘积； 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 倒数 1. 定义：乘积等于1的两个有理数互为倒数。 2. 符号规律：正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；0不存在倒数。 倒数的求法 有理数的除法法则 法则一（通用转化法，首选） 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 ab = a(b≠0) 👉除法转化为乘法，体现转化思想 法则二（直接符号判定） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0的数，都得 0。 ⚠️硬性规定：0 不能作除数！ ✅除法运算步骤： 方法 1：先判定符号，绝对值相除； 方法 2：除法变乘法（乘倒数），按照乘法法则计算 乘除混合运算标准化步骤 1. 运算统一：全部除法改写为乘倒数。 2. 格式统一：小数化为分数、带分数化为假分数。 3. 符号判定：统计负因数的数量，确定最终结果符号。 4. 约分求值：绝对值部分交叉约分，完成相乘并输出最简结果。 重点辨析 1. 加减、乘除符号规则边界：加减法的符号取决于绝对值大小；乘除运算的符号仅取决于负因数的个数，和绝对值大小无关。 2. 0在乘除中的权限：0允许充当被除数；0严禁充当除数；0没有倒数。 3. 倒数与相反数区分：互为倒数的两数乘积为1，符号保持一致；互为相反数的两数之和为0，符号相反。二者定义互不关联，不可混淆。 4. 连乘含零的优先级：只要因数存在0，直接判定积为0，无需统计负因数个数。 5. 分配律适用边界：乘法分配律原生成立；除法不可直接拆分加数形式的除数，即a(b+c)a b+a c。被除数为和式时，转换成乘法之后方可使用分配律。 6. 乘除混合运算顺序：无括号时严格自左向右依次运算；未转换成乘法前不可随意调换各项位置。 1. 多个有理数相乘，清点负因数数量出现失误，最终符号颠倒。 2. 开展除法转化操作时，误把被除数取倒数。 3. 混淆倒数与相反数的求取规则，改变倒数的符号。 4. 误认为0具备倒数。 5. 对形如a(b+c)的算式直接拆分除数内部项，误用分配律。 6. 带分数参与乘除运算，未预先化成假分数直接运算。 7. 乘除混合运算时，先计算绝对值、后置判定符号，造成符号遗漏。 8. 移动乘除式内各项时，漏移前置负号。 9. 忽略除数不为零的限制条件。 10. 乘除运算中途随意约分负号以外的项，步骤跳变引发错误。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★★ 题型四 倒数 ★★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★★ 题型七 有理数除法的应用 ★★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两数符号：同号得正，异号得负。②取两个因数的绝对值相乘。③任意一个因数是0，乘积为0。 1．计算：______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，再计算分数乘法即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2．根据，，下面算式的得数在它们之间的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数的乘法，分别计算四个选项中的算式，找出得数在 750 与 900 之间的一项即可． 【详解】解：A：； B：； C：； D：． 所以得数在 750 与 900 之间的算式是． 故选：D． 3．已知，则________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：根据新定义运算法则可得， 故答案为：7． 4．一个数分别与相邻两个奇数相乘，得到的两个积相差40，这个数是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查奇数性质与代数式运算，涉及知识点：相邻奇数的差为、代数式化简．解题方法是设数表示相邻奇数，列乘积差的式子化简求解；解题关键是利用“相邻奇数差”简化运算，易错点是误将相邻奇数的差当成．解题思路：设这个数为，相邻奇数为和，表示出两个乘积的差并化简，列方程求． 【详解】设这个数为，相邻两个奇数为和（为奇数）． 则两个积的差为． ∵差为， ∴， ∴， ∴（取正值）． 故选B． 题型二 多个有理数的乘法运算 解题思路：①数出负因数的总个数，偶数个负因数，积为正；奇数个负因数，积为负。②只要有一个因数是0，直接判定乘积等于0。③把所有因数的绝对值相乘。④将符号与绝对值结果合并得到最终答案。 5．计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，，． 故选：B． 7．已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 8．已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 题型三 有理数乘法的实际应用 解题思路：①规定正负代表题目里相反意义的量。②提取已知数量，分析数量关系，列出乘法算式。③计算算式的值。④把计算结果还原到实际情境，写出完整答语。 9．在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，理解题意，根据题意正确列式计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意，最后得分为（分）， 故答案为：11． 10．一件40元的商品，先提价，再降价，这件商品（  ） A．比原价贵 B．价钱不变 C．比原价便宜 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘法的应用，通过计算提价和降价后的价格，与原价比较即可得出结论． 【详解】解：∵提价后价格：（元）， 再降价后价格：（元）， 又∵， ∴这件商品比原价便宜， 故选：C． 11．现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则_____________． 【答案】67 【分析】此题是定义新运算题型．认真审题，读懂新运算的新规则，按新规则解答． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：67． 12．某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 【答案】C 【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为（元），进而可求； 【详解】解：假设取暖器原价为100元， 则现价为（元）， ∵， ∴取暖器的现价比原来涨了． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键． 题型四 倒数 解题思路：①定义：乘积为1的两个数互为倒数。②整数写成分母为1的分数，颠倒分子分母；分数直接颠倒分子分母。③符号和原数保持一致。④0没有倒数。 13．的倒数是________． 【答案】 【分析】根据倒数定义，找到乘积为的数即可得到结果． 【详解】解：， 的倒数是． 14．某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，则可求出该数的倒数，再根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵某数的倒数的相反数是2026， ∴该数的倒数为， ∵， ∴该数为， 故选：D． 15．若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的加法，根据倒数的定义，先从最小的正整数倒数开始，利用有理数的加法，一次求出正整数的个数即可，熟记倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．若互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的定义，代数式求值，解题时注意分情况讨论． 先分别根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，m的值，再代入即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是2， ∴，，， 当时，原式=， 当时，原式=， 综上，的值为1或， 故选：D． 题型五 有理数乘法运算律 解题思路：①分清乘法交换律、结合律、分配律。②观察算式，优先组合可以约分、凑整的项，简化运算。③运用分配律时，括号内每一项都要与括号外因数相乘，不要漏乘。 17．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 18．甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意可得甲乙丙，进而列出算式即可求解，根据题意求出甲、乙、丙之间的比是解题的关键． 【详解】解：∵甲与乙的比是，乙与丙的比是， ∴甲乙丙， ， ， ∴乙是， 故答案为：． 19．在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 题型六 有理数的除法运算 解题思路：①除数不能为0。②判定符号：被除数、除数同号商为正，异号商为负。③除法转化为乘除数的倒数。④计算绝对值相乘的结果，配上符号。 20．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键是掌握有理数的除法运算． 将带分数转换为假分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 21．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分数的除法运算，核心是掌握除以一个分数等于乘以它的倒数的规则． 利用分数的除法运算法则进行判断即可． 【详解】，A选项是正确的，符合题意； ，B选项是错误的，不符合题意； ，C选项是错误的，不符合题意； ，D选项是错误的，不符合题意； 故选：A． 22．若，则______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，有理数的除法运算． 先根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，再根据有理数的除法运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 23．现定义一种新运算：．若，则，所以．若，则___________． 【答案】27 【分析】题目主要考查新定义运算，理解题意是解题关键． 根据新运算的定义 （其中 ），利用已知 ，通过代入减法的形式逐步求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴，即 ， 同理，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 题型七 有理数除法的应用 解题思路：①设定正负用来表示相反意义的量。②分清总量、份数、单量之间关系，列出除法算式。③求出运算结果。④结合题意给出对应的回答。 24．签字笔每支6元，铅笔每支2元，签字笔的价钱是铅笔价钱的多少倍？这道题是求（ ）． A．6的2倍是多少 B．6比2多几 C．6里面有几个2 【答案】C 【分析】此题考查有理数除法的实际应用，求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，即用较大的数除以较小的数；本题需明确“倍”的概念，即签字笔的价钱中包含多少个铅笔的价钱； 【详解】解：签字笔的价钱是铅笔价钱的倍 即求6是2的几倍，6里面有几个2 故选C 25．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤______天． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可满足题意，用总天数除以5，进行求解即可． 【详解】解：（天）； 即：出勤1天，接下来缺勤4天，满足题意， （天）； 故答案为：6． 26．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打8折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ） A．80元 B．120元 C．160元 D．200元 【答案】C 【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数． 【详解】解：40÷（1-80%） =40÷20% =200（元） 200-40=160（元） 所以他购买这件商品花了160元． 故选：C． 【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题． 题型八 有理数乘除混合运算 解题思路：①全部除法转化为乘对应数的倒数。②统计负因数的个数，确定最终符号。③整体约分后计算绝对值。④将符号和绝对值结果合并。 27．计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除法法则．把除法转化为乘法，利用多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 28．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故选：D． 29．现8个班级进行足球比赛，每两队比赛一场，共要进行( )场比赛． 【答案】28 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到每个班级都要跟剩余的7个班级打一场，再根据每2个班级只比一场，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（场）； 故答案为：28． 30．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 题型九 有理数四则混合运算 解题思路：①优先计算括号里面的运算。②运算层级：先乘除，后加减。③同级运算从左往右依次运算。④每一步妥善处理各项的正负符号。 31．“”定义一种新运算：，则______． 【答案】 9 【详解】解：根据新运算定义，将，代入，得． 32．下面算式中，计算结果与其他三个不同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是运算定律和简便计算，含有算式的比较大小．先求出算式的结果，然后再比较解答． 【详解】解：A． B． C． D． 所以，计算结果与其他三个不相同的是． 故选∶C． 33．现定义一种新运算：，．若，则，所以．若，则__________． 【答案】125 【分析】题目主要考查新定义运算，理解题意是解题关键． 根据新运算的定义 （其中 ），模仿示例，利用已知 ，根据，，通过代入减法的形式逐步求解即可． 【详解】解：由定义得：， ∴， 同理，，即 ∴， 故答案为：． 34．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：根据图中规律可得 原式 ． 故选：B． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①规定正负用来表示相反意义的量。②梳理题干中的数量关系，列出完整四则算式。③严格遵照运算顺序算出结果。④根据实际问题写出答语。 35．小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A．冷藏区 B．生鲜区 C．冷冻区 D．常温储存 【答案】A 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将药品的华氏温度范围转换为摄氏度范围，再与冰箱各区域温度比较，即可解答． 【详解】解：∵华氏度摄氏度， ∴摄氏度（华氏度）， ∴当华氏度为时，摄氏度， 当华氏度为时，摄氏度， 故药品贮藏温度范围为至， 又∵冷藏区温度为， ∴该温度范围完全在冷藏区内，故应放在冷藏区． 故选：A． 36．师生人外出春游，班主任要给所有师生（包括班主任）买一瓶矿泉水．当她来到超市时，发现了超市在做活动．她只需要买（　　）瓶矿泉水就可以保证每人有一瓶矿泉水． 重 磅 活 动 为了鼓励人们多喝水，本超市每个矿泉水空瓶子就可以兑换瓶矿泉水． 注：可以借一个空瓶！ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法、除法的应用，解答此题的关键是求出能分出几组．每个空瓶可以换瓶矿泉水，所以可以将人分成组，每组人，然后每组买瓶矿泉水，再借个空瓶子，就可以换到瓶矿泉水，所以每组购买瓶矿泉水加上换到瓶矿泉水得到瓶矿泉水，进而可以计算出需要买多少瓶矿泉水． 【详解】解：（组）， （瓶）， 故她只需要买瓶矿泉水就可以保证每人有一瓶矿泉水． 故选：D． 37．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟． 【答案】40 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和． 【详解】解：如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从32分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间6分钟，丙在第35分钟进入最后一间房完成5分钟，则最少需要40分钟． 故答案为：40． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①根据数轴上点的左右位置，确定每个数的正负，对比绝对值大小。②减法先改写为加上相反数。③依次判断和、差、积、商的符号。 38．如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的位置与数的大小、符号关系，需结合数轴确定、的取值范围，再逐一分析选项． 【详解】解：由数轴可知，，，且，故选项D错误； ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； 故选：C． 39．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 40．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，属于基础题型，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得，进一步根据数轴逐一判断即可得答案． 【详解】解：根据题意，得：，而， ， 如图， ∴，所以选项B中是正确的． 故选：B． 题型十二 数轴上的翻折 解题思路：①根据已知重合两点，求出折叠中点（折点）对应的数。②折叠后重合的两个点到中点的距离相等。③设未知数，利用距离相等列等式求解。④验证求出的点到中点的距离是否一致。 41．如图，A，B，C 是数轴上的三点，且A，B 两点之间的距离为8，以 C 为折点，将此数轴向右对折，此时点A和点B 恰好重合．若点C 表示的数为，则点A 表示的数与点B 表示的数的和为_________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是理解数轴上点的含义；根据数轴上点表示的数，及为的中点，且，求出点表示的数，再求出点表示的数，然后求和即可． 【详解】解：由题意可知，为的中点，， 若点表示的数为，则点表示的数为，点B表示的数为， 则点表示的数与点表示的数之和为； 故答案为：； 42．如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题，由翻折得，表示的数为，点C表示的数为，即可求解． 【详解】解：因为、B之间的距离为3， 所以， 因为以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边， ， 因为点B表示的数为7， 所以表示的数为， 所以点C表示的数为； 故答案为：． 43．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．1008 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴的折叠，掌握知识点是解题的关键． 若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是表示的点，根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到的距离都是1009，从而求解． 【详解】解：折叠使表示1和的点重合，则折痕点是它们的中点：， ∵、两点关于对称且距离为2018， 在的左侧， ∴点到的距离为， 因此点表示的数为． 故选A． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘法法则先确定乘积符号，再计算绝对值，混合运算按照先算乘法再算减法的顺序计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 4．用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 5．阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)；；； (2)1或 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘法等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质可得，则，，再根据绝对值的性质化简即可得； （2）根据有理数的乘法法则分两种情况：①有理数中有一个负数，两个正数；②有理数三个都是负数，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：；；；． （2）解：∵， ∴有以下两种情况： ①有理数中有一个负数，两个正数，不妨设， 则； ②有理数三个都是负数，即， 则； 综上，的值为1或． 6．广安盐皮蛋是邓小平故里四川广安独具特色的美食．现有筐盐皮蛋，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数和负数来表示，记录如下表（单位：）： 与标准质量的差值 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准质量比较，这筐盐皮蛋总计超过或不足多少千克？ (2)若盐皮蛋每千克的售价为元，则这筐盐皮蛋可卖多少元？ 【答案】(1)这筐盐皮蛋总计超过8千克 (2)这筐盐皮蛋可卖元 【分析】（1）要确定筐盐皮蛋总计超过或不足的千克数，需将每个“与标准质量的差值”乘以对应“筐数”，再将所有结果相加，根据和的正负判断是超过还是不足； （2）先依据（1）的结果算出筐盐皮蛋的实际总重量，再结合“总价 = 单价 × 数量”的关系，计算出这筐盐皮蛋的总售价． 【详解】（1）解： （千克）． 答：这筐盐皮蛋总计超过8千克． （2）（元）． 答：这筐盐皮蛋可卖元． 7．综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1 【分析】本题考查绝对值的几何意义，两点间的距离，数轴上的折叠问题，熟练掌握绝对值的几何意义，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据距离公式进行求解即可； （2）根据距离公式进行求解即可； （3）根据绝对值的几何以及作答即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和4之间时，的值最小，进行求解即可； （5）根据绝对的几何意义，进行求解即可； （6）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）；； （2）； （3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离； （4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为； （5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1， 故或； （6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合， 当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为； 当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为； 故答案为：0或1． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意 本节搭建有理数乘除二级运算体系，对比加减法依靠绝对值判定符号的规则，乘除运算以负因数的个数判号。利用倒数将除法转化为乘法，实现乘除运算统一，依托乘法运算律实现简便运算。落实“先定符号，后算绝对值”的运算准则，修正算术阶段只计算数值的固有习惯。承接有理数加减运算，是四则混合运算、乘方、整式化简与解方程的运算基础，培养等价转化意识，建立标准化的运算步骤。 两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 判断两个因数符号，确定积的符号； 计算两个数绝对值的乘积； 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 倒数 1. 定义：乘积等于1的两个有理数互为倒数。 2. 符号规律：正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；0不存在倒数。 倒数的求法 有理数的除法法则 法则一（通用转化法，首选） 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 ab = a(b≠0) 👉除法转化为乘法，体现转化思想 法则二（直接符号判定） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0的数，都得 0。 ⚠️硬性规定：0 不能作除数！ ✅除法运算步骤： 方法 1：先判定符号，绝对值相除； 方法 2：除法变乘法（乘倒数），按照乘法法则计算 乘除混合运算标准化步骤 1. 运算统一：全部除法改写为乘倒数。 2. 格式统一：小数化为分数、带分数化为假分数。 3. 符号判定：统计负因数的数量，确定最终结果符号。 4. 约分求值：绝对值部分交叉约分，完成相乘并输出最简结果。 重点辨析 1. 加减、乘除符号规则边界：加减法的符号取决于绝对值大小；乘除运算的符号仅取决于负因数的个数，和绝对值大小无关。 2. 0在乘除中的权限：0允许充当被除数；0严禁充当除数；0没有倒数。 3. 倒数与相反数区分：互为倒数的两数乘积为1，符号保持一致；互为相反数的两数之和为0，符号相反。二者定义互不关联，不可混淆。 4. 连乘含零的优先级：只要因数存在0，直接判定积为0，无需统计负因数个数。 5. 分配律适用边界：乘法分配律原生成立；除法不可直接拆分加数形式的除数，即a(b+c)a b+a c。被除数为和式时，转换成乘法之后方可使用分配律。 6. 乘除混合运算顺序：无括号时严格自左向右依次运算；未转换成乘法前不可随意调换各项位置。 1. 多个有理数相乘，清点负因数数量出现失误，最终符号颠倒。 2. 开展除法转化操作时，误把被除数取倒数。 3. 混淆倒数与相反数的求取规则，改变倒数的符号。 4. 误认为0具备倒数。 5. 对形如a(b+c)的算式直接拆分除数内部项，误用分配律。 6. 带分数参与乘除运算，未预先化成假分数直接运算。 7. 乘除混合运算时，先计算绝对值、后置判定符号，造成符号遗漏。 8. 移动乘除式内各项时，漏移前置负号。 9. 忽略除数不为零的限制条件。 10. 乘除运算中途随意约分负号以外的项，步骤跳变引发错误。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★★ 题型四 倒数 ★★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★★ 题型七 有理数除法的应用 ★★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两数符号：同号得正，异号得负。②取两个因数的绝对值相乘。③任意一个因数是0，乘积为0。 1．计算：______________ ． 2．根据，，下面算式的得数在它们之间的算式是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则________． 4．一个数分别与相邻两个奇数相乘，得到的两个积相差40，这个数是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型二 多个有理数的乘法运算 解题思路：①数出负因数的总个数，偶数个负因数，积为正；奇数个负因数，积为负。②只要有一个因数是0，直接判定乘积等于0。③把所有因数的绝对值相乘。④将符号与绝对值结果合并得到最终答案。 5．计算：=______． 6．已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为________． 8．已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 题型三 有理数乘法的实际应用 解题思路：①规定正负代表题目里相反意义的量。②提取已知数量，分析数量关系，列出乘法算式。③计算算式的值。④把计算结果还原到实际情境，写出完整答语。 9．在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 10．一件40元的商品，先提价，再降价，这件商品（  ） A．比原价贵 B．价钱不变 C．比原价便宜 D．不确定 11．现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则_____________． 12．某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 题型四 倒数 解题思路：①定义：乘积为1的两个数互为倒数。②整数写成分母为1的分数，颠倒分子分母；分数直接颠倒分子分母。③符号和原数保持一致。④0没有倒数。 13．的倒数是________． 14．某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 15．若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为______． 16．若互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 题型五 有理数乘法运算律 解题思路：①分清乘法交换律、结合律、分配律。②观察算式，优先组合可以约分、凑整的项，简化运算。③运用分配律时，括号内每一项都要与括号外因数相乘，不要漏乘。 17．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 18．甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是______． 19．在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 题型六 有理数的除法运算 解题思路：①除数不能为0。②判定符号：被除数、除数同号商为正，异号商为负。③除法转化为乘除数的倒数。④计算绝对值相乘的结果，配上符号。 20．计算：______． 21．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．若，则______________． 23．现定义一种新运算：．若，则，所以．若，则___________． 题型七 有理数除法的应用 解题思路：①设定正负用来表示相反意义的量。②分清总量、份数、单量之间关系，列出除法算式。③求出运算结果。④结合题意给出对应的回答。 24．签字笔每支6元，铅笔每支2元，签字笔的价钱是铅笔价钱的多少倍？这道题是求（ ）． A．6的2倍是多少 B．6比2多几 C．6里面有几个2 25．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤______天． 26．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打8折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ） A．80元 B．120元 C．160元 D．200元 题型八 有理数乘除混合运算 解题思路：①全部除法转化为乘对应数的倒数。②统计负因数的个数，确定最终符号。③整体约分后计算绝对值。④将符号和绝对值结果合并。 27．计算：_________． 28．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 29．现8个班级进行足球比赛，每两队比赛一场，共要进行( )场比赛． 30．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型九 有理数四则混合运算 解题思路：①优先计算括号里面的运算。②运算层级：先乘除，后加减。③同级运算从左往右依次运算。④每一步妥善处理各项的正负符号。 31．“”定义一种新运算：，则______． 32．下面算式中，计算结果与其他三个不同的是（    ）． A． B． C． D． 33．现定义一种新运算：，．若，则，所以．若，则__________． 34．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①规定正负用来表示相反意义的量。②梳理题干中的数量关系，列出完整四则算式。③严格遵照运算顺序算出结果。④根据实际问题写出答语。 35．小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A．冷藏区 B．生鲜区 C．冷冻区 D．常温储存 36．师生人外出春游，班主任要给所有师生（包括班主任）买一瓶矿泉水．当她来到超市时，发现了超市在做活动．她只需要买（　　）瓶矿泉水就可以保证每人有一瓶矿泉水． 重 磅 活 动 为了鼓励人们多喝水，本超市每个矿泉水空瓶子就可以兑换瓶矿泉水． 注：可以借一个空瓶！ A． B． C． D． 37．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①根据数轴上点的左右位置，确定每个数的正负，对比绝对值大小。②减法先改写为加上相反数。③依次判断和、差、积、商的符号。 38．如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 39．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为______． 40．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十二 数轴上的翻折 解题思路：①根据已知重合两点，求出折叠中点（折点）对应的数。②折叠后重合的两个点到中点的距离相等。③设未知数，利用距离相等列等式求解。④验证求出的点到中点的距离是否一致。 41．如图，A，B，C 是数轴上的三点，且A，B 两点之间的距离为8，以 C 为折点，将此数轴向右对折，此时点A和点B 恰好重合．若点C 表示的数为，则点A 表示的数与点B 表示的数的和为_________ 42．如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为________． 43．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．1008 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 4．用适当方法计算 (1) (2) 5．阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 6．广安盐皮蛋是邓小平故里四川广安独具特色的美食．现有筐盐皮蛋，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数和负数来表示，记录如下表（单位：）： 与标准质量的差值 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准质量比较，这筐盐皮蛋总计超过或不足多少千克？ (2)若盐皮蛋每千克的售价为元，则这筐盐皮蛋可卖多少元？ 7．综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $