第4章 线段与角 知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第4章 线段与角知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点二．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点三．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点四．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点五．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点六．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 知识点七．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点八．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 03 题型归纳 题型一　直线、射线、线段的联系与区别 1．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 2．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 3．如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线表示同一条射线 B．射线和射线表示同一条射线 C．射线和射线表示同一条射线 D．以点为端点的射线有4条 巩固训练 1．如图，给出下列语句：①直线l经过点A和点B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A，B两点所确定的直线；④线段是直线l的一部分．其中能正确表达出图形特点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 3．判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 题型二　直线相交的交点个数问题 4．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 5．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 6．同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 巩固训练 1．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　） A．6 B．11 C．7 D．17 2．如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 3．按要求完成作图及作答： (1)如图1，平面上有四个点，，，，作射线； (2)如图1，取一点，使点既在直线上又在直线上； (3)如图1，若点到，，，四点距离之和最短．画出点的位置； (4)如图2，平面内三条直线交于、、三点，点、是平面内另外两点，若分别过点、各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增__________个交点． 题型三　两点间的距离 7．下列说法错误的是（    ） A．经过一点可以画无数条直线 B．经过两点的直线有且只有一条 C．射线和射线是同一条射线 D．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离 8．下列说法中：①两点之间的所有连线中，线段最短．②射线与射线表示一条射线．③0是绝对值最小的有理数．④若，那么．⑤连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．那么其中正确的有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．点C在线段上 B．点A在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 巩固训练 1．下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短； ②射线与射线是同一条射线； ③连接两点的线段叫做这两点的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线． 其中说法正确的有（　　） A．① ③ B．① ④ C．① ③ ④ D．② ③ 2．已知线段a，b的长分别为，如果在射线OP上截取，那么线段的长度为 cm． 3．如图，线段上有两点C、D，，，且比小4，求线段的长． 题型四　尺规作线段 10．用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 11．如图，点C、D分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点E与点F恰好重合，，则长为（　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 12．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 巩固训练 1．如图，已知线段，，，求作一条线段，使它等于．作法：①画射线；②在射线上顺次截取，；④在线段上截取．那么所求作的线段是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    3．如图，点C是线段外一点，用没有刻度直尺和圆规画图： (1)画射线； (2)画直线； (3)延长线段到E，使． 题型五　线段的和与差 13．如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 14．如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 15．已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知线段，延长线段至，使得，延长线段至，使得，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ． 3．如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有______条线段，以A为端点的线段有_____条； ②___________． (2)若D是线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 题型六　线段中点的有关计算 16．已知点D是线段的中点，点C是线段的中点，若，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 17．如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 18．如图，已知线段，点在上，，是中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，C，D为线段上的两点，且，E是线段的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 3．如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 题型七　与线段有关的动点问题 19．如图，已知线段AB=8，点C是线段AB是一动点，点D是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（    ） A．3.2 B．4 C．4.2 D． 20．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 21．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 巩固训练 1．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 2．如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为 ． 3．已知：如下图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左同时运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，此时___________，____________；（直接填空） （2）若点、运动时，总有，求的值． （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 题型八　角的相关概念 22．上午时，时针与分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 24．观察下图的位置关系，其中说法错误的是（    ）    A．学校在公园西偏北方向400米处 B．公园在少年宫东偏北方向300米处 C．公园在学校东偏南方向400米处 D．少年宫在公园东偏北方向300米处 巩固训练 1．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 2．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 3．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 题型九　角的单位与大小比较 25．已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 26．已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 27．已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 巩固训练 1．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填、或） 比较大小： ．（填、或） 3计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十　三角板中角度计算 28．如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 30．把两个同样大小的三角尺像如图那样放在一起，两个直角顶点互相重合，即，如果，那么 ． 巩固训练 1．将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 2．将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，两个直角有公共的顶点，若，则 ．（用度，分表示） 3．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 题型十一　几何图形中角度计算 31．如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，如画，，下列角度中不能用这一副特制的三角板画出的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 33．在学习完“七巧板”相关知识后，优优用一张正方形卡纸制作了一副七巧板，并设计了如图所示的作品，请你帮他计算出图中标出的角的度数（　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，直线与相交于点O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在的内部有3条射线．若，，，则 3．如图，直线、相交于点O，是内的一条射线，是内的一条射线，．若，，求的度数． 题型十二　实际问题中角度计算 34．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 35．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 36．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 巩固训练 1．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 2．如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ． 3．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？ 题型十三　角平分线的有关计算 37．如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 39．如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．把一副三角尺如图拼在一起，点在同一直线上，平分平分，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使，若，则的度数为 ． 3．如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 题型十四　求一个角的余角、补角 40．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 41．如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，相交于点O，平分，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．下列结论中不正确的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角． B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，那么． D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度． 2．若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 3．如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 题型十五　与余角、补角有关的计算 43．已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．如图，点在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 度． 3．如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 题型十六　余角、补角的应用 46．如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 47．下列说法中错误的有（    ） ①一个锐角的余角比这个角大；②一个角的补角比这个角大；③一个钝角的补角比这个角小；④同角或等角的补角相等；⑤若与互余，与互余，则与互余 A．2 B．3 C．4 D．5 48．如图，点是直线上的一点，，，平分，图中互余的角有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 巩固训练 1．如图，已知，且，则的余角是（     ） A． B． C．与 D．与 2．数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 3．已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题： (1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度． (2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数． (3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 线段与角知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点二．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点三．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点四．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点五．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点六．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 知识点七．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点八．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 03 题型归纳 题型一　直线、射线、线段的联系与区别 1．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选A． 3．如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线表示同一条射线 B．射线和射线表示同一条射线 C．射线和射线表示同一条射线 D．以点为端点的射线有4条 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握射线的表示方法是解题的关键. 根据射线的表示方法逐项判定即可． 【详解】解：A、射线和射线的端点不同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意； B、射线和射线的端点相同，方向相同，是表示同一条射线，故此选项符合题意； C、射线和射线的端点不相同，方向也不相同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意； D、以点为端点的射线有2条，故此选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．如图，给出下列语句：①直线l经过点A和点B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A，B两点所确定的直线；④线段是直线l的一部分．其中能正确表达出图形特点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直线和点的表示方法，直线的性质，掌握直线的表示方法是解题的关键．根据直线与点的表示方法以及直线的性质即可解答． 【详解】解：①直线l经过点A和点B，能正确表达出图形特点； ②点A和点B都在直线l上，能正确表达出图形特点； ③因为两点确定一条直线，所以直线l是A，B两点所确定的直线，能正确表达出图形特点； ④线段在直线l上，即是线段是直线l的一部分，能正确表达出图形特点． 综上分析可知，能正确表达出图形特点的有4个． 故选：D． 2．如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 3．判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确； （2）直线和直线是同一条直线，正确； （3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确． 综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系． 题型二　直线相交的交点个数问题 4．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 5．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【分析】根据直线两两都相交时，交点的个数最多，画图计算即可． 本题考查了直线的相交，熟练掌握两两相交时，交点个数最多是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则最多有18个交点， 故选B． 6．同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了直线相交的交点问题，根据10条不同的直线最多有个不同的交点，4条不同的直线最多有个不同的交点，进而可得，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：10条不同的直线最多有个不同的交点， 4条不同的直线最多有个不同的交点， 所以这10条直线的公共点个数最多是个． 故选C． 巩固训练 1．平面内两两相交的4条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（　　） A．6 B．11 C．7 D．17 【答案】C 【分析】4条直线两两相交，有3种位置关系，画出图形，求出m、n的值，再代入进行解答． 【详解】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示： 则交点有1个，或4个，或6个． 故， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，直线相交的交点个数，解题的关键是掌握直线相交的交点个数，不重不漏． 2．如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 3．按要求完成作图及作答： (1)如图1，平面上有四个点，，，，作射线； (2)如图1，取一点，使点既在直线上又在直线上； (3)如图1，若点到，，，四点距离之和最短．画出点的位置； (4)如图2，平面内三条直线交于、、三点，点、是平面内另外两点，若分别过点、各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增__________个交点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，直线的性质：两点之间，线段最短，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． （1）按要求作射线即可． （2）根据题干的条件点既在直线上又在直线上，所以点是直线与直线的交点． （3）本题考查“两点之间，线段最短”，结合图形理解概念即可解题． （4）本题考查两直线相交，有且只有一个交点，结合图形和题干的条件分析，即可解题 【详解】（1） （2） （3） （4）解：平面内有3条直线，过点作的直线，最多与这3条直线都有交点，则增加3个交点，过点作的直线，最多与平面内现有的4条直线都有交点，则增加4个交点，综上所述，最多可增加7个交点． 故答案为：7． 题型三　两点间的距离 7．下列说法错误的是（    ） A．经过一点可以画无数条直线 B．经过两点的直线有且只有一条 C．射线和射线是同一条射线 D．连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离 【答案】C 【分析】此题考查直线、线段、射线，根据直线、射线、线段的定义以及两点间的距离的定义即可得到结论． 【详解】解：A、经过一点可以画无数条直线，说法正确，故本选项不符合题意； B、根据直线的性质：两点确定一条直线可知经过两点的直线有且只有一条，说法正确，故本选项不符合题意； C．射线和射线不是同一条射线，原说法错误，故本选项符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．下列说法中：①两点之间的所有连线中，线段最短．②射线与射线表示一条射线．③0是绝对值最小的有理数．④若，那么．⑤连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．那么其中正确的有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，射线的定义和两点的距离定义，绝对值的意义等知识，根据这些定义以及意义依次判断即可． 【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①正确； ②射线的端点是A，射线的端点是B，不是同一条射线，故②错误． ③0是绝对值最小的有理数， 故③正确； ④若，那么，故④错误． ⑤连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故⑤错误． ⑥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故⑥正确； 则正确的有：①③⑥，一共3个， 故选：B． 9．如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．点C在线段上 B．点A在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，根据两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，逐项判断即可． 【详解】解：点在线段的延长线上， 选项A不符合题意； 点在线段的反向延长线上， 选项B不符合题意； 射线与射线是两条射线， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短； ②射线与射线是同一条射线； ③连接两点的线段叫做这两点的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线． 其中说法正确的有（　　） A．① ③ B．① ④ C．① ③ ④ D．② ③ 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线的定义，线段的性质，两点距离；逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短，故①正确，符合题意； ②射线与射线不是同一条射线；故②不正确，不符合题意； ③连接两点的线段的长度叫做这两点的距离；故③不正确，不符合题意； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，故④正确，符合题意；． 故选：B． 2．已知线段a，b的长分别为，如果在射线OP上截取，那么线段的长度为 cm． 【答案】10或2/2或10 【分析】分两种情况，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当C在线段上，， 当C在线段的延长线上，， 故答案为：10或2． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 3．如图，线段上有两点C、D，，，且比小4，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段之间的比例关系、和差关系是正确解答的关键．由于，可设，则，根据线段的比例关系以及和差关系求出x的值即可． 【详解】解：由于，可设，则， ∵， ∴，， 又∵比小4，即， ∴， 解得， ∴． 题型四　尺规作线段 10．用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了线段的大小比较．根据尺规法比较线段的大小的原理，确定线段的长短即可． 【详解】解：∵点A与重合时，点在点B的右端， ∴， 故选：B． 11．如图，点C、D分别是线段上两点（，），用圆规在线段上截取，，若点E与点F恰好重合，，则长为（　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，． 根据题意可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：∵，，点E与点F恰好重合， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 12．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 巩固训练 1．如图，已知线段，，，求作一条线段，使它等于．作法：①画射线；②在射线上顺次截取，；④在线段上截取．那么所求作的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的和差即可得． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了作线段，熟练掌握线段的和差是解题关键． 2．如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：如图，当点在点的左侧， ；    当点在点的右侧， ；    综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键． 3．如图，点C是线段外一点，用没有刻度直尺和圆规画图： (1)画射线； (2)画直线； (3)延长线段到E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画出直线、射线、线段，理解相关定义是解答的关键． （1）根据射线定义画图即可； （2）根据直线定义画图即可； （3）根据线段定义画出线段，再利用圆规截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：如图，点E即为所求作： 题型五　线段的和与差 13．如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 14．如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差以及线段中点的定义，利用线段和差作为等量关系列方程是解决问题的关键．根据线段的差求出，由，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 15．已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．已知线段，延长线段至，使得，延长线段至，使得，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查线段的数量关系，线段的和与差，先求出的长，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故选C． 2．如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查线段的和差计算，根据题意，分别求出以、、、，这5个点为端点线段数，再根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：以为端点的线段有：，，，， 以为端点的线段有：，，， 以为端点的线段有：，， 以为端点的线段有：， ， 故答案为：． 3．如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有______条线段，以A为端点的线段有_____条； ②___________． (2)若D是线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6；3，②； (2) 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算； （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段，其中以A为端点的线段有3条； ②由题意得，； （2）解：∵D是线段的中点，， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型六　线段中点的有关计算 16．已知点D是线段的中点，点C是线段的中点，若，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的中点．根据线段中点的性质即可求得答案． 【详解】解：如图所示， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 故选：A． 17．如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 18．如图，已知线段，点在上，，是中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：由M是中点，得 ， 由线段的和差，得 ， 故选：B． 巩固训练 1．如图，C，D为线段上的两点，且，E是线段的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． 根据，可得到，，由点E是线段的中点，可求得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D 2．同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点为中点，，可得的值，图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或 ． 3．如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 【答案】(1)20；10； (2)． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）根据线段中点的定义得到，则，，再由线段中点的定义得到，则； （2）根据线段中点的定义得到，则可得． 【详解】（1）解：∵点M是的中点，， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴． 题型七　与线段有关的动点问题 19．如图，已知线段AB=8，点C是线段AB是一动点，点D是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（    ） A．3.2 B．4 C．4.2 D． 【答案】A 【分析】根据题意设AD=x,根据中点的定义得到CD,CE,BE的长，再根据AB=8求出x即可求解. 【详解】根据题意设AD=x, ∵点D是线段AC的中点，∴CD=AD=x, ∵C刚好为线段DE的中点 ∴CD=CE=x， ∵点E是线段BD的中点 ∴BE=DE=2x ∵AB=8 ∴x+x+x+2x=8 解得x=1.6 ∴AC=2x=3.2. 故选A. 【点睛】此题主要考查线段的中点，解题的关键是熟知中点的定义，及列方程的关系. 20．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置． 【详解】解：设BC＝x， ∴AC＝x+5 ∵AC+BC＝AB ∴x+x+5＝30， 解得：x＝20， ∴BC＝20，AC＝10， ∴BC＝2AC，故①成立， ∵AP＝2t，BQ＝t， 当0≤t≤15时， 此时点P在线段AB上， ∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t， ∵M是BP的中点 ∴MB＝BP＝15﹣t ∵QM＝MB+BQ， ∴QM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQ＝QM＝， ∴AB＝4NQ， 当15＜t≤30时， 此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∵M是BP的中点 ∴BM＝BP＝t﹣15 ∵QM＝BQ﹣BM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQ＝QM＝， ∴AB＝4NQ， 当t＞30时， 此时点P在Q的右侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∵M是BP的中点 ∴BM＝BP＝t﹣15 ∵QM＝BQ﹣BM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQ＝QM＝， ∴AB＝4NQ， 综上所述，AB＝4NQ，故②正确， 当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上， ∴AP＝2t，BQ＝t ∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t， ∴30﹣2t＝t， ∴t＝12， 当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∴2t﹣30＝t， t＝20， 当t＞30时，此时点P在Q的右侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∴2t﹣30＝t， t＝20，不符合t＞30， 综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想． 21．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 巩固训练 1．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 2．如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为 ． 【答案】1或4或16． 【分析】当运动时间为t秒时，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在效轴上对应的数为-4t+9，然后分三种情况：点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点，找出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点A始终在点B的左侧， 点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在数轴上对应的数为-4t +9， 当点B为线段AC的中点时， -t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1）， 解得：t=1； 当点C为线段AB的中点时， -4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9）， 解得：t=4； 当点A为线段CB的中点时， -2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3） 解得：t= 16. 故答案为：1或4或16． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．已知：如下图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左同时运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，此时___________，____________；（直接填空） （2）若点、运动时，总有，求的值． （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】（1）2cm，4cm；（2）4cm；（3）或1 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得； （2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB； （3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）根据、的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴cm； （3）①当点在线段上时，如图， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述或1． 【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 题型八　角的相关概念 22．上午时，时针与分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查钟面角，根据午时，钟面上时针指向9，分针指向12，每一个大格是即可求解． 【详解】上午时，钟面上时针指向9，分针指向12，每一个大格是 9和12之间有3个大格， ∴时针与分针的夹角为 故选：D． 23．在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角． 利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶如图， 在灯塔处测到轮船位于北偏西20°的方向， ， 轮船位于南偏东50°的方向， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 则在灯塔处观测轮船A的方向为北偏东， 故选∶A． 24．观察下图的位置关系，其中说法错误的是（    ）    A．学校在公园西偏北方向400米处 B．公园在少年宫东偏北方向300米处 C．公园在学校东偏南方向400米处 D．少年宫在公园东偏北方向300米处 【答案】B 【分析】本题考查了方向与位置知识，根据“上北下南左西右东”的图上方向，结合比例尺和图上距离，求出实际距离，分析解答即，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解∶A，学校在公园西偏北方向400米处，本选项说法正确． B，公园在少年宫西偏南方向300米处，所以本选项说法错误． C，公园在学校东偏南方向400米处，本选项说法正确． D，少年宫在公园东偏北方向300米处，本选项说法正确． 故选：B． 巩固训练 1．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 2．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方位角，先根据角的和差得到的度数，根据得到的度数，再根据角的和差得到的方向． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ∴， ∵， ∴， ， 故的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 3．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 题型九　角的单位与大小比较 25．已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键．依据，，，即可得到三个角的大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 26．已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选B． 27．已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查角度的换算，根据，进行求解判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 2．比较大小： （填、或） 比较大小： ．（填、或） 【答案】 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和比较度数大小，单位统一后进行比较即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： ，， ∴， 故答案为： 3计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）根据同单位的相加，满时向上一单位进，可得答案； （2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借转为，可得答案； （3）根据满时向上一单位进，可得答案； （4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十　三角板中角度计算 28．如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算．注意数形结合． 先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵的度数是的倍， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 29．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角之间的关系，根据题意得，，可得，则，即可得；掌握角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 30．把两个同样大小的三角尺像如图那样放在一起，两个直角顶点互相重合，即，如果，那么 ． 【答案】144 【分析】本题考查了几何图形的角的运算，利用角的和差定义进行列式计算求解； 【详解】解：， ∴ ∴ ∴ 故答案为：144 巩固训练 1．将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形互余及平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，两个直角有公共的顶点，若，则 ．（用度，分表示） 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握三角板中的特殊角． 根据三角板的性质得到，结合已知角，计算可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 3．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） 【分析】本题考查了角的运算，熟练掌握角的和、差的计算方法是解题的关键． （1）只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出； （2）先利用周角及，求出，再利用，求出，，可得，结合即可求解． 【详解】解：（1）因为三角板自带，，，的角， 所以只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出， 如：，，，，等， 所以用三角板除了画出自带的角外，还能作出、、的角等（不唯一）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 题型十一　几何图形中角度计算 31．如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，如画，，下列角度中不能用这一副特制的三角板画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的和差计算，角的画法，一副三角板中的度数，用三角板画出角，根据几个已知角的和或差组合成新的角，逐一分析即可．解题的关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，再标出角的度数． 【详解】解：A．，则角能画出； B．角能画出，故此选项不符合题意； C．不能写成、、、的和或差的形式，则角不能画出，故此选项符合题意； D．，则角能画出，故此选项不符合题意． 故选：C． 32．如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，弄清楚角之间的关系成为解题的关键. 先求得,然后即可解答. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 故选B. 33．在学习完“七巧板”相关知识后，优优用一张正方形卡纸制作了一副七巧板，并设计了如图所示的作品，请你帮他计算出图中标出的角的度数（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，熟知七巧板的特点是解题关键．由题意可知由一个的角和一个的角拼成，进而即可求解． 【详解】解：由图可知由一个的角和一个的角拼成， ∴． 故选C． 巩固训练 1．如图，直线与相交于点O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，先求出，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，在的内部有3条射线．若，，，则 【答案】17 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据角之间和差关系和数量关系，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：17． 3．如图，直线、相交于点O，是内的一条射线，是内的一条射线，．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，先由对顶角相等得到，设，则，，再由得到，解方程求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型十二　实际问题中角度计算 34．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 35．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 36．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转． 巩固训练 1．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转． 2．如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 3．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？ 【答案】把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份． 【分析】利用360度除以平分的份数就是每份的度数，除以每份的度数就可以得到份数． 【详解】解：360°÷8=45°； 360°÷15°=24． 答：把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键． 题型十三　角平分线的有关计算 37．如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，以及角的和差计算，可以根据角平分线结合直角进行解答．由角平分线的定义可得，根据，结合角的和差可得，由此可以得到答案． 【详解】解：射线平分，， ， ∵， ∴， 故选：C． 38．如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，设，则，根据角之间的等量关系求出、、的大小，然后根据平角的定义建立关于的方程，求解即可．掌握角平分线的定义是解答的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 39．如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据题意得出，是解题的关键． 根据角平分线的概念得出，，从而得出． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ． 故选：C． 巩固训练 1．把一副三角尺如图拼在一起，点在同一直线上，平分平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查以三角板为背景的角度求解问题，涉及直角三角形性质、角平分线定义等知识，熟记相关定义，数形结合，准确求出相关角度是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， 由图可知，， 平分平分， ，， ， ， ， 故选：B． 2．如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是几何图形中角度的计算，分情况进行求解是解答此题的关键． 首先由角平分线的概念得到，然后分两种情况讨论：当点A在位置时和当点A在位置时，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴ 当点A在位置时， ∴； 当点A在位置时， ∵， ∴ ∴． 故答案为：或． 3．如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 题型十四　求一个角的余角、补角 40．如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关计算与角平分线的定义．结合已知条件与角平分线的定义解题即可． 【详解】解：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：B． 41．如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 42．如图，相交于点O，平分，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，求一个角的补角，根据角平分线的定义可得出，再利用补角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．下列结论中不正确的是（    ） A．一个角的补角一定大于这个角． B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，那么． D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度． 【答案】A 【分析】此题考查的是对角的性质的理解，根据余角、补角的性质、同角的余角相等的性质进行判断即可． 【详解】解：A、角的补角等于这个角，故原说法错误，符合题意； B、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，故原说法正确，不符合题意； C、若，那么，故原说法正确，不符合题意； D、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，故原说法正确，不符合题意． 故选：A． 2．若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的运算，求一个角的补角，先根据，结合补角为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个角的度数为， ∴， ∴它的补角的度数为， 故答案为：． 3．如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了余角的性质． （1）利用余角的性质求得，，据此求解即可； （2）利用余角的性质求得，即可得到平分． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为和互余，与互余， 所以，， 所以； （2）解：平分，理由如下： 因为平分，所以， 因为和互余，与互余， 所以，， 即． 所以平分． 题型十五　与余角、补角有关的计算 43．已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的知识，根据题意可得，化简求解即可． 【详解】由题意得：， 解得： 故选：C． 44．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角、平角定义．根据同角的余角相等，补角定义，平角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第1个图中，，符合题意； 第2个图中，根据同角的余角相等，，符合题意； 第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：，， ∴，符合题意； 第4个图中，根据图形可知与是邻补角， ∴，不符合题意； 综上， 的图形有3个． 故选：C． 45．如图，点在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角定义是解答本题的关键． 根据余角和补角定义求解即可得出答案． 【详解】解：，， ， 由补角的定义可得，， 故答案为：B． 巩固训练 1．在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考考查了补角和余角的知识，几何中角度的计算，理解补角和余角的性质是解答本题的基础．根据补角和余角的性质求出和，即可求出． 【详解】解： ∵的补角是，的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 2．若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据题意列出方程是解题的关键．题中的等量关系为：这个角的补角它的余角． 【详解】解：设这个角为度，则：． 解得：． 故这个角的度数为45度． 故答案为：45 3．如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 与互余， ， ， ， 平分， ， ． 题型十六　余角、补角的应用 46．如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 47．下列说法中错误的有（    ） ①一个锐角的余角比这个角大；②一个角的补角比这个角大；③一个钝角的补角比这个角小；④同角或等角的补角相等；⑤若与互余，与互余，则与互余 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是余角和补角．根据余角和补角的定义，余角和补角的性质进行解答即可． 【详解】解：①一个锐角的余角不一定比这个角大，原说法错误； ②一个角的补角不一定比这个角大，原说法错误； ③一个钝角的补角比这个角小，正确； ④同角或等角的补角相等，正确； ⑤若与互余，与互余，则与相等，原说法错误； 故选：B 48．如图，点是直线上的一点，，，平分，图中互余的角有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】直接根据余角的定义进行判断即可．本题考查了余角的定义（两个角相加为度的关系，即为余角），正确理解余角的定义是解题的关键． 【详解】解：， 与互余①． ， 与互余②． ． 点是直线上一点，且． ． 与互余③． 平分， ． 与互余④． 与互余⑤． 与互余⑥． 故选：D． 巩固训练 1．如图，已知，且，则的余角是（     ） A． B． C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据余角的定义和“等角的余角相等”可得到． 【详解】解：∵∠AOC=∠COD=∠DOF=∠AOF=90°， ∴∠AOB+∠BOC=∠DOE+∠EOF=90°， ∵∠COB=∠EOF， ∴∠BOC+∠DOE=90°， ∴∠COB的余角是∠AOB和∠DOE， 故选：C． 【点睛】本题主要考查余角的定义，熟知和为90°的两个角互余是解题基础． 2．数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查等角或同角的余角相等．由图可得与互余，与互余，得到是运用“同角的余角相等”，据此可解答． 【详解】∵是刻度线， ∴， ∴与互余， ∵支杆垂直地面，是水平线， ∴， ∴与互余， 根据“同角的余角相等”可得． 故答案为：同角的余角相等． 3．已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题： (1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度． (2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数． (3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)平分，理由见解析 【分析】（1）根据正方形各角等于，得出，再根据，，即可得出答案； （2）结合图形可得，再利用即可求出的度数； （3）根据和等角的余角相等得出，，再根据角平分线的性质得出，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形的每个角都等于， ∴，， ∴， ∵， ∴。 故答案为：； （2）∵正方形的每个角都等于， ∴， ∵，， ∴。 ∴的度数为； （3）平分，理由如下： ∵正方形的每个角都等于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分。 【点睛】本题考查角的计算，余角，角平分线的性质．根据所给出的图形，找到角与角的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$