专题07一元一次方程的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程的应用，引导学生掌握列方程解应用题的完整流程，从算术思维过渡到方程建模思维，通过审设列解验答标准步骤搭建学习支架，连接方程解法与实际问题，涵盖直接间接设元、等量关系分析等核心内容。 资料亮点在于15种常见题型分类（含配套、工程、行程等）并标注难度星级，结合画图列表等方法培养几何直观，双重检验强化推理意识，贴近生活的问题设计发展模型意识，助力学生规范解题书写与数学思维提升。

专题07一元一次方程的应用精讲学案 核心立意 掌握列一元一次方程解应用题的完整流程，精准挖掘题干内的等量关系，合理选用直接、间接设元；熟练处理各类常见实际题型，落实方程解与实际意义双重检验；完成算术思维向方程建模思维过渡，养成规范解题的书写习惯。 列一元一次方程解应用题标准步骤 审：梳理已知量、未知量，定位核心等量关系。 设：选定未知量，注明单位；分为直接设元、间接设元。 列：以代数式表示其余关联量，依托等量关系列方程，统一各项单位。 解：规范求解一元一次方程。 验：先回代方程验证解的正确性；再检验结果符合现实情境。 答：完整作答，标注对应单位。 两种设元方法对比 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 解题通用思路技巧 1.遇到复杂文字题，可以画图（线段图）帮助寻找等量关系；行程、和差倍分画图效果最好 2.优先寻找题目里带有 “相等、等于、刚好、总和、剩余” 这类语句，一般就是等量关系式 3.尽可能选择更容易列式的量设为未知数，降低计算难度 常见题型、等量关系汇总表 重点辨析 1. 检验分为方程检验、实际意义检验两步，后者不可省略。 2. 方程式左右两边单位必须统一。 3. 间接设元求出未知数后，不可直接作答，需要换算成题干所求量。 4. 工程问题中，合作效率不等于单人效率的简单相加以外的错误，严格按照单人效率求和计算。 ①审题疏漏，关键字遗漏，等量关系判断失误； ②设元遗漏单位，等式两侧计量单位不统一； ③间接设元求出未知数直接写进答句，未换算目标量； ④忽略现实约束，保留人数、物品数为负数或非整数的无效解； ⑤行程问题混淆相遇、追及对应的和差关系； ⑥分段计费误判数据所处计费区间； ⑦答句书写简略，缺失单位，格式残缺。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★★ 题型二 工程问题 ★★★ 题型三 销售盈亏 ★★★ 题型四 比赛积分 ★★★ 题型五 方案选择 ★★★★ 题型六 数字问题 ★★★ 题型七 几何问题 ★★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★★ 题型十 电费和水费问题 ★★★★ 题型十一 行程问题 ★★★★ 题型十二 比例分配 ★★★ 题型十三 日历问题 ★★★ 题型十四 古代问题 ★★★★ 题型十五 其他问题 ★★★ 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★提升；★★★★★难题 题型一：配套问题 解题思路：①确定配套部件以及对应的配比；②设定未知数，表示两类部件的产量；③依据配套比例建立等量关系式；④解方程，检验结果符合实际。 1．用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 2．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（     ） A． B． C． D． 3．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 4．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 题型二 工程问题 解题思路：①总工作量记作单位1，求出对应工作效率；②设工作时间为未知数；③利用关系式：工作量=效率×时间，表示各部分工作量；④各部分工作量之和等于总工作量，列方程求解。 5．刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 6．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 7．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 8．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 题型三 销售盈亏 解题思路：①区分进价、标价、折扣、售价、利润；②选定未知量设元；③套用公式：利润=售价‑进价；④依据盈亏条件列出方程求解。 9．某商店的宣传海报如图所示，已知购买一份炸鸡加一杯可乐的套餐价为22元/份；若单独购买，炸鸡为20元/份，可乐为5元/杯．某天该商店共卖出炸鸡150份，可乐80杯，收入3250元，问该商店共卖出套餐几份？设该商店共卖出套餐x份，则可列方程是____． 10．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，若各自付款，能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是（   ） A．100元 B．75元 C．75元或100元 D．85元或100元 11．某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：    甲     乙 进价（元/件）    12     20 售价（元/件）    19     30 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 12．2024龙年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买，两种型号智能机器人共台进行快递分拣．若型机器人单价为万元/台，型机器人的单价为万元/台，原价购买共需万元． (1)求购买两种型号智能机器人的数量； (2)购买两种型号机器人的数量不变，若商家对机器人进行打折促销，活动一：台和台为一套，成套打九折，其余按原价；活动二：每满减元．两种活动不可重复参与，请问该快递企业应该参与哪种活动更省钱？并说明理由． 题型四 比赛积分 解题思路：①明确胜、负、平对应的分值；②设某一类场次为未知数，其余场次用场次总数表示；③总积分等于各类场次积分相加；④列出方程求解。 13．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一支球队一共进行了9场比赛，输了3场，得16分．设该球队胜了x场，则得方程（    ） A． B． C． D． 14．某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，不答或答错倒扣分．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 25 0 100 24 1 94 23 2 88 参赛者说他得70分，他答对了______道题． 15．交城县某中学举行篮球赛，在一周的比赛结束后，公布出的积分榜如下： 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 七（1）班 6 3 3 9 七（2）班 6 1 5 7 七（3）班 6 5 1 11 七（4）班 6 6 0 12 (1)分析积分榜，胜一场比负一场多得几分？ (2)某班的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？请说明理由． 16．某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计： 队伍 胜场数 平场数 负场数 总积分 A队 3 1 1 15 B队 2 3 0 14 C队 2 0 3 11 D队 1 1 3 E队 2 3 0 14 F队 0 2 3 7 (1)胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分； (2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数； (3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场． 题型五 方案选择 解题思路：①设核心未知量；②写出每种方案费用的代数式；③令代数式相等，求出费用平衡点；④分区间比较代数式大小，确定最优方案。 17．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 18．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生________人． 19． 某学校开展“足球进校园”活动，计划采购一批足球．现有两种购买方式： 方式一：直接从工厂批发，每个足球68元，但需要额外支付运费300元； 方式二：从商场购买，足球标价为110元/个，学校采购可以打八折． (1)当学校采购多少个足球时，两种方式的费用相等？ (2)若学校需要采购30个足球，采用哪种购买方式更划算？节省了多少钱？ 20．【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 题型六 数字问题 解题思路：①选定某一数位上的数字设元；②利用数位权值写出原数、变换后的数；③根据题干中和、差、倍的关系建立方程；④求出数位数字，还原完整数值。 21．如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000，原来的数是_________． 22．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 23．同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 24．图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 题型七 几何问题 解题思路：①调取对应周长、面积或体积公式；②设关键线段长为未知数；③用未知数表示其余相关线段；④锁定不变量（周长、体积恒定）列方程求解。 25．若三角形三边长之比为，且，则这个三角形的周长等于（   ） A．12 B．24 C．18 D．36 26．长方形可以分割成如图所示的七个正方形．若，则_____． 27．如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（取3.14）？ 28．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 题型八 动点问题 解题思路：①设运动时间为未知数；②结合速度写出动点移动路程；③利用线段和差，表示目标线段；④根据长度、面积条件列方程；⑤核验时间不为负值。 29．数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，若点B再向左移动2个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 30．已知数轴，上两点、对应的数分别为和10，点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．当、两点之间的距离为3时，的值为______． 31．如图，在一条未标出原点的数轴上，点所表示的数分别为，4． (1)线段的长为_____； (2)若是数轴的原点，请在图中标出点的位置； (3)点在该数轴上，位于点右侧，且点表示的数为m．若点到点，点的距离之和等于20，求的值． 32．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图1，，是线段的“好点”，且，则 ． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是 个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求t的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点，，三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 题型九 和差倍分问题 解题思路：①标注题干中和、差、倍、分关键词；②选取基准量设元；③其余量用含未知数的代数式表达；④依照和差条件建立方程求解。 33．甲数为80，求乙数．如果设乙数为，可以用方程“”来表示两数之间等量关系．横线上需要补充的信息是（    ）． A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 34．某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 35．今年甲、乙的年龄和是甲、乙的年龄差的2倍．5年前，甲的年龄是乙的4倍．今年甲、乙各多少岁？ 36．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 题型十 电费和水费问题 解题思路：①确定分段计费临界点与各段单价；②设用水/用电量为未知数；③分段计算费用后求和得到总费用；④结合已知总费用列方程，核验解所在计费区间是否匹配。 37．为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 38．某市水费收费标准为用水不超过，每立方米元，超过，超过部分按n元/米收费，该市某户今年用水情况： 月份 用水量（） 水费（元） 7 6 m 8 10 60 则______ ______． 39．某地居民用水收费标准如表： 家庭每年用水量 收费 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元/ (1)小亮家去年实际用水量为，则小亮家去年应缴水费多少元？ (2)小明家去年缴水费1200元，他家去年实际用水量是多少？ 40．珠海市夏季天气炎热，空调用电量较大，因此电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，实施居民阶梯电价，收费标准划分如下： 夏季标准（5月~10月） 非夏季标准（1月~4月，11月~12月） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 260及以下 0.6 第一档 200及以下 0.6 第二档 261~600 0.65 第二档 201~400 0.65 第三档 601及以上 0.9 第三档 401及以上 0.9 例如：按夏季标准，用电量600度时，其中260度按0.6元/度收费，超出260度的部分按0.65元/度收费． (1)在用电量同为600度的情况下，非夏季电费___________夏季电费（填选项）． A．大于        B．小于        C．大于等于        D．小于等于 (2)珠海的中学生小周发现家里1月份用电410度，请计算小周家1月份总电费． (3)已知小周家7月份缴纳电费312元，请通过计算求出小周家7月份的用电量． 题型十一 行程问题 解题思路：①辨别题型类别：相遇、追及、航行；②选定未知量设元；③依托路程=速度×时间，表示运动路程；④相遇用路程和、追及用路程差建立等式；⑤航行问题要叠加水流速度。 41．在光明区举办的“周年艺术季”期间，小颖一家去欣赏了一台音乐剧，路上预计用时分钟，但由于堵车，所以实际车速比预计的每小时慢了千米，且路上多用了分钟．设预计车速为千米/时，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 42．小明在400米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间里，他每秒跑5米，后一半时间里，他每秒跑3米，他跑后半圈路程用了( )秒． 43．小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 44．如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 题型十二 比例分配 解题思路：①设每份的量为未知数；②各项数量写成比例系数与未知数的乘积；③各分量相加等于总量；④求出单份数值，再计算各项对应量。 45．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 46．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 47．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 48．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 题型十三 日历问题 解题思路：①明确日历规律：横向相邻差1，纵向相邻差7；②选定其中一个日期设元；③写出其余相关日期；④根据和差条件列方程；⑤检验日期处于1～31的有效区间。 49．如下表是2025年8月的月历，用如图所示的“”形框出4个数，若移动这个“”形框，则这4个数的和不可能是（    ） A．44 B．56 C．76 D．88 50．如图是2026年1月的月历，按照图中斜下的形式圈出3个数，若圈出的三个数的和恰好是48，则这三个数中最大的数是__________________． 51．如图是某月的月历：用去框出日期数，每次同时框出4个数． (1)框出的4个数的和的最大值是_________ ，最小值是_________． (2)用a表示框中的一个数，如图2所示，如果框出的四个数的和是93，求a的值； (3)框出的四个数之和能是105吗？如果能，请求出这四个数；如果不能，请说明理由． 52．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）． (1)如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为__________． (2)①如图3，当________时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则____________； (3)将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是126．”该同学的说法是否正确，请说明理由． 题型十四 古代问题 解题思路：①把古文题意转化为现代数学条件；②提取题目中的等量关系；③合理设定未知数；④依据等量关系列方程；⑤将结果代回原题核验文意。 53．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 54．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最后剩余1辆车无人乘坐；若每2人共乘一车，则最后剩余9个人无车可乘，请算出共有人______． 55．《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？”．这道题目的意思是，今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 56．在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 题型十五 其他问题 解题思路：①筛除冗余文字，提取有效数量条件；②识别不变量或等量关系；③恰当设置未知数；④根据等量关系列方程；⑤检验解具备现实意义。 57．现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器个，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 58．怪怪星球的居民们一直被大气污染困扰着．怪博士监测到星球上的三种污染物，分别是臭氧分子（）、甲醛分子（）、苯分子（），其中分别表示碳、氢、氧原子，右下角数字表示每种原子的个数，若没写则代表原子个数为个．例如：由个原子、个原子和个原子构成．怪博士第一天的监测结果是，这三种污染物一共有个分子，其中甲醛分子的数量是苯分子的倍，碳原子有个．那么臭氧分子有_________个． 59．1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数． 60．为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一元一次方程的应用精讲学案 核心立意 掌握列一元一次方程解应用题的完整流程，精准挖掘题干内的等量关系，合理选用直接、间接设元；熟练处理各类常见实际题型，落实方程解与实际意义双重检验；完成算术思维向方程建模思维过渡，养成规范解题的书写习惯。 列一元一次方程解应用题标准步骤 审：梳理已知量、未知量，定位核心等量关系。 设：选定未知量，注明单位；分为直接设元、间接设元。 列：以代数式表示其余关联量，依托等量关系列方程，统一各项单位。 解：规范求解一元一次方程。 验：先回代方程验证解的正确性；再检验结果符合现实情境。 答：完整作答，标注对应单位。 两种设元方法对比 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 解题通用思路技巧 1.遇到复杂文字题，可以画图（线段图）帮助寻找等量关系；行程、和差倍分画图效果最好 2.优先寻找题目里带有 “相等、等于、刚好、总和、剩余” 这类语句，一般就是等量关系式 3.尽可能选择更容易列式的量设为未知数，降低计算难度 常见题型、等量关系汇总表 重点辨析 1. 检验分为方程检验、实际意义检验两步，后者不可省略。 2. 方程式左右两边单位必须统一。 3. 间接设元求出未知数后，不可直接作答，需要换算成题干所求量。 4. 工程问题中，合作效率不等于单人效率的简单相加以外的错误，严格按照单人效率求和计算。 ①审题疏漏，关键字遗漏，等量关系判断失误； ②设元遗漏单位，等式两侧计量单位不统一； ③间接设元求出未知数直接写进答句，未换算目标量； ④忽略现实约束，保留人数、物品数为负数或非整数的无效解； ⑤行程问题混淆相遇、追及对应的和差关系； ⑥分段计费误判数据所处计费区间； ⑦答句书写简略，缺失单位，格式残缺。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★★ 题型二 工程问题 ★★★ 题型三 销售盈亏 ★★★ 题型四 比赛积分 ★★★ 题型五 方案选择 ★★★★ 题型六 数字问题 ★★★ 题型七 几何问题 ★★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★★ 题型十 电费和水费问题 ★★★★ 题型十一 行程问题 ★★★★ 题型十二 比例分配 ★★★ 题型十三 日历问题 ★★★ 题型十四 古代问题 ★★★★ 题型十五 其他问题 ★★★ 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★提升；★★★★★难题 题型一：配套问题 解题思路：①确定配套部件以及对应的配比；②设定未知数，表示两类部件的产量；③依据配套比例建立等量关系式；④解方程，检验结果符合实际。 1．用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 【答案】12 【分析】本题考查一元一次方程在实际配套问题中的应用．根据配套关系得到盒底数量是盒身数量的倍，据此设未知数列出方程，再解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：设需要张硬纸板做盒身，则做盒底的硬纸板为张．根据题意，得， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得． 2．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， ∵ 1千克瓷泥可做3个茶壶， ∴ 茶壶总数量为个， ∵ 1千克瓷泥可做9只茶杯， ∴ 茶杯总数量为个， ∵ 每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成，配套时总套数相等， ∴ ， 整理得． 3．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 4．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得，且长方形和正方形的纸板比为，即可求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张，根据（1）②的方法列出方程，可得，则长方形有40张，正方形27张，即可求解． 【详解】（1）解：①依题意，． ②当时， 由题可列方程：， 解得：，即图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． 此时最多可以做图3的无盖纸盒：（个）． （2）解：方法一：由（1）可知，13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，此时2张纸板按图1方法裁剪，1张纸板按图2方法裁剪，得4张长方形和3张正方形，可以再做一个纸盒，共最多做出13个纸盒； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张， 由题可列方程：， 解之得：，为了保证最多，则按图1方法共20张，按图2方法共9张， 此时长方形有40张，正方形27张， 可以做：；即最多可以做13个纸盒． 题型二 工程问题 解题思路：①总工作量记作单位1，求出对应工作效率；②设工作时间为未知数；③利用关系式：工作量=效率×时间，表示各部分工作量；④各部分工作量之和等于总工作量，列方程求解。 5．刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 【答案】 【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解． 【详解】李师傅单独完成订单需要：（天） 设两人合作天能完成这个订单，则 ， 解得． 即如果两人合作天能完成这个订单． 6．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 7．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 8．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 题型三 销售盈亏 解题思路：①区分进价、标价、折扣、售价、利润；②选定未知量设元；③套用公式：利润=售价‑进价；④依据盈亏条件列出方程求解。 9．某商店的宣传海报如图所示，已知购买一份炸鸡加一杯可乐的套餐价为22元/份；若单独购买，炸鸡为20元/份，可乐为5元/杯．某天该商店共卖出炸鸡150份，可乐80杯，收入3250元，问该商店共卖出套餐几份？设该商店共卖出套餐x份，则可列方程是____． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程． 求出单独卖出炸鸡份，可乐杯，根据价格列方程即可． 【详解】解：设该商店共卖出套餐x份， ∵买一份炸鸡加一杯可乐为一份套餐，共卖出炸鸡150份，可乐80杯， ∴单独卖出炸鸡份，可乐杯， ∵购买一份炸鸡加一杯可乐的套餐价为22元/份；若单独购买，炸鸡为20元/份，可乐为5元/杯，共收入3250元， ∴． 故答案为：． 10．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，若各自付款，能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是（   ） A．100元 B．75元 C．75元或100元 D．85元或100元 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设商品标价为x元，根据A券和B券的使用条件，分情况讨论小敏和小聪的实际付款，利用总付款150元列方程求解． 【详解】设所购商品的标价为x元． ∵小敏有A券：当时，付款元；当时，付款x元． 小聪有B券：当时，付款元；当时，付款x元． 两人总付款150元， ∴需分情况讨论： 情况1：当时， 小敏付款元，小聪付款x元， ∴ 解得：． 符合， 情况2：当时， 小敏付款元，小聪付款元， ∴， 解得：． 符合． 情况3：当时， 小敏付款x元，小聪付款x元， ∴， 解得：， 与假设矛盾，故无解． 综上，或100， 故选：D． 11．某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：    甲     乙 进价（元/件）    12     20 售价（元/件）    19     30 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件 (2)以五折售出的乙商品有120件 【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设五折的乙商品m件，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得： ， 解得， 则（件）， 答：超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件； （2）解：设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为件， 由题意得 ， 解得， 答：以五折售出的乙商品有120件． 12．2024龙年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买，两种型号智能机器人共台进行快递分拣．若型机器人单价为万元/台，型机器人的单价为万元/台，原价购买共需万元． (1)求购买两种型号智能机器人的数量； (2)购买两种型号机器人的数量不变，若商家对机器人进行打折促销，活动一：台和台为一套，成套打九折，其余按原价；活动二：每满减元．两种活动不可重复参与，请问该快递企业应该参与哪种活动更省钱？并说明理由． 【答案】(1)型机器人买台，型机器人买台 (2)该快递企业应该参与活动二更省钱，理由如下： 活动一：（万元）； 活动二：元万元，，取整数次， （万元）． ， 选择活动二更划算． 【分析】（1）设型机器人有台，型机器人有台，根据原价购买共需万元列方程求解即可； （2）根据题意算出购买机器人在两种活动中所需费用，比较得出结论. 【详解】（1）解：设型机器人有台，型机器人有台． 依题意得： ， 解得：， ∴（台）， 答：型机器人买台，型机器人买台． （2）解：略． 题型四 比赛积分 解题思路：①明确胜、负、平对应的分值；②设某一类场次为未知数，其余场次用场次总数表示；③总积分等于各类场次积分相加；④列出方程求解。 13．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一支球队一共进行了9场比赛，输了3场，得16分．设该球队胜了x场，则得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据比赛场次和得分规则，总比赛9场，输3场，因此胜场和平场共6场，依题意，该球队胜了x场，则平场，结合胜场得3分，平场得1分，总分为16分，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵总比赛9场，输3场， ∴（场） 依题意，该球队胜了x场，则平场， ∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为16分， ∴， 故选：B． 14．某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，不答或答错倒扣分．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 25 0 100 24 1 94 23 2 88 参赛者说他得70分，他答对了______道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况；设参赛者答对x道题，则答错道题，根据得分为70分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（分），（分）， 则每答对一道题得4分，每答错一道题扣2分； 设参赛者D答对x道题，则答错道题， 依题意，得：， 解得：． 则参赛者D答对了20道题， 故答案为：． 15．交城县某中学举行篮球赛，在一周的比赛结束后，公布出的积分榜如下： 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 七（1）班 6 3 3 9 七（2）班 6 1 5 7 七（3）班 6 5 1 11 七（4）班 6 6 0 12 (1)分析积分榜，胜一场比负一场多得几分？ (2)某班的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？请说明理由． 【答案】(1)胜一场比负一场多得1分 (2) 解：不能，理由如下： 设某班的负场数是场，那么胜场数是场， ， 解得：． 因为负场数是整数，不是整数，所以某班的负场总积分不能等于它的胜场总积分的2倍． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）根据七（4）班胜6场，积分12，得出胜一场的得分，设负一场得分，根据七（1）班积9分，列出方程，解方程即可； （2）设某班的负场数是场，那么胜场数是场，根据负场总积分等于它的胜场总积分的2倍，列出方程，解方程，进行判断即可． 【详解】（1）解：七（4）班胜6场，积分12，则胜一场得分：（分）， 任选一个班级例如七（1）班， 设负一场得分， ， 解得：， （分）． 答：胜一场比负一场多得1分． （2）略 16．某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计： 队伍 胜场数 平场数 负场数 总积分 A队 3 1 1 15 B队 2 3 0 14 C队 2 0 3 11 D队 1 1 3 E队 2 3 0 14 F队 0 2 3 7 (1)胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分； (2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数； (3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场． 【答案】(1)4；2；1；9 (2)G队总分至少是17分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），此时G队的胜场数为3场； (3)此次联赛共有8场平场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设胜一场得x分，则平一场得分，负一场得分，再根据A队的积分情况建立方程求解即可； （2）根据表格中的数据和（1）所求可得A队6场比赛最少要积16分，那么G队的积分至少为17分，设G队胜了m场，则G队负了场，平了场，据此建立方程求解即可； （3）可求出一共要进行21场比赛，设这21场比赛中有a场胜负场（分出胜负），则有场平场，每个胜负场中两个球队共积5分，每个平场中两个球队共积4分，根据总积分为97分建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场得x分，则平一场得分，负一场得分， 由题意得，， 解得， ∴，， ∴胜一场得4分，平一场得2分，负一场得1分， ∴表格中D队的总积分是分； （2）解：∵A队比赛了5场已经积15分，而A队剩下的那场比赛最少还要积1分， ∴A队6场比赛最少要积16分， ∵G队要取得总分第一名（不存在并列情况）， ∴其他6个队伍的总积分要尽可能的低， ∵除去A，G两队外，其他5个队伍的积分都有可能低于16分， ∴G队的积分一定要超过A队的积分， ∴G队最少要积17分； 设G队胜了m场，则G队负了场，平了场， ∴G队积分， 当时，解得， 答：G队总分至少是17分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），此时G队的胜场数为3场； （3）解：∵比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场）， ∴每个队伍都要与其他6个队伍之间比赛一场， 又∵相同两个队之间的比赛只算一场， ∴一共要进行场比赛， 设这21场比赛中有a场胜负场（分出胜负），则有场平场， ∵球队胜一场积4分，负一场积1分，平一场积2分， ∴每个胜负场中的两个球队共积分，每个平场中的两个球队共积分， ∴， 解得， ∴， 答：此次联赛共有8场平场． 题型五 方案选择 解题思路：①设核心未知量；②写出每种方案费用的代数式；③令代数式相等，求出费用平衡点；④分区间比较代数式大小，确定最优方案。 17．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 【答案】D 【分析】设一共有x人，然后根据两种购买方式中物品的价格相同建立方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得， 解得， ∴元， ∴一共有7人，物品的价格为53元， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程求解是解题的关键． 18．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生________人． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解∶共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为： (元)， ．购票的总费用是240元； 设6人中学生x人，则成年人人， 根据“时光影城”的优惠方式计算费用得： ， 解得：． 故答案为：2． 19． 某学校开展“足球进校园”活动，计划采购一批足球．现有两种购买方式： 方式一：直接从工厂批发，每个足球68元，但需要额外支付运费300元； 方式二：从商场购买，足球标价为110元/个，学校采购可以打八折． (1)当学校采购多少个足球时，两种方式的费用相等？ (2)若学校需要采购30个足球，采用哪种购买方式更划算？节省了多少钱？ 【答案】(1)15个 (2)方式一更划算，节省300元 【分析】（1）设采购x个足球，根据题意，得方式一需要支付的费用为；元；方式二需要支付的费用为：元，列方程求解即可． （2）把分别代入和中，求得代数式的值，比较大小计算即可． 【详解】（1）解：设采购x个足球，根据题意，得 方式一需要支付的费用为：元； 方式二需要支付的费用为：元， 列方程，得， ， 解得． 答：当学校采购15个足球时，两种方式的费用相等 （2）解：根据题意，得 方式一：当时，（元）， 方式二：当时，（元）， 且（元）， 故方式一更划算，节省300元． 20．【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【答案】(1)50名 (2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠 【分析】（1）设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元”建立一元一次方程求解； （2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案． 【详解】（1）解：设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元） 由题意得： 整理得： 解得： 答：该班有50名同学． （2）解：当时， 甲旅行社总费用：（元）； 乙旅行社总费用：（元） 丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关， 因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数． 设参加非遗宣讲活动的人数为m，该班总人数为50，全班人数的半数为25， 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社； 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社． 答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠． 题型六 数字问题 解题思路：①选定某一数位上的数字设元；②利用数位权值写出原数、变换后的数；③根据题干中和、差、倍的关系建立方程；④求出数位数字，还原完整数值。 21．如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000，原来的数是_________． 【答案】 666 【分析】设原来的数为，将写在原数个位后，原数整体扩大为原来的倍，新数可表示为，根据新数比原数增加建立方程求解． 【详解】解：设原来的数为， ∵把数字写在原数个位后，新数为，新数比原数增加 ∴列方程得 整理得 解得 ∴原数为666． 22．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 23．同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 【答案】 【分析】根据题意可设出对应圆圈的数，推出t与x的关系，再讨论x的值，从而确定其它数字即可得到答案． 【详解】解：根据题意可设对应圆圈的数如下图所示： 则， 所以， 所以， 因为表示的是1到10中的一个数， 所以的最大值为6， 当时，， 所以，符合题意； 此时填圆圈如下： 当时，，此时数字7用了2次，不符合题意； 当时，可求出此时t大于10，不符合题意； 综上所述，只有满足题意． 24．图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 【答案】(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型七 几何问题 解题思路：①调取对应周长、面积或体积公式；②设关键线段长为未知数；③用未知数表示其余相关线段；④锁定不变量（周长、体积恒定）列方程求解。 25．若三角形三边长之比为，且，则这个三角形的周长等于（   ） A．12 B．24 C．18 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程，根据题意列出方程即可． 设，，，代入列方程即可． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵， 将，，代入得：， 解得， ∴三角形的周长为． 故选：D． 26．长方形可以分割成如图所示的七个正方形．若，则_____． 【答案】30 【分析】根据题意，设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图 设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意得， ， ∵， ∴， 解得：， ∴； 27．如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（取3.14）？ 【答案】这筒纸的总长度大约是62.8米 【分析】设这筒纸的总长度大约是x米．因为环形面积等于外圆面积减去内圆面积，所以用圆的面积公式分别计算外圆和内圆的面积，再作差得到环形侧面积；环形侧面积又等于长度乘以厚度．列方程解方程即可，注意换算单位． 【详解】解：设这筒纸的总长度大约是x米， ∵外半径：，内半径：， ∴ 圆环面积为：， ∵每层纸的厚度为, ∴ 圆环面积又为：， ∴， 解得． 答：这筒纸的总长度大约是62.8米． 28．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 题型八 动点问题 解题思路：①设运动时间为未知数；②结合速度写出动点移动路程；③利用线段和差，表示目标线段；④根据长度、面积条件列方程；⑤核验时间不为负值。 29．数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，若点B再向左移动2个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．根据左加右减的规律列式求解即可． 【详解】解：由题得，故A正确，C、B、D错误； 故选：A． 30．已知数轴，上两点、对应的数分别为和10，点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．当、两点之间的距离为3时，的值为______． 【答案】3或5 【分析】先表示出运动t秒后P，Q两点在数轴上对应表示的数，再根据两点间距离为3，利用绝对值列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据数轴上两点间的距离公式，得：， ， ， 或， 解得或． 31．如图，在一条未标出原点的数轴上，点所表示的数分别为，4． (1)线段的长为_____； (2)若是数轴的原点，请在图中标出点的位置； (3)点在该数轴上，位于点右侧，且点表示的数为m．若点到点，点的距离之和等于20，求的值． 【答案】(1)14 (2) 解：点的位置如图所示： (3)7 【分析】（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可求解； （2）直接根据点A及点B表示的数确定原点即可； （3）根据两点间距离公式列方程解答． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）由题意得， 解得． 32．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图1，，是线段的“好点”，且，则 ． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是 个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求t的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点，，三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）；（2）①；②或；③或． 【分析】（1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：根据“好点”定义得，，， ∴（）， 故答案为：； （2）解：①点，之间的距离为， 故答案为：； ②当时，； 当时，； 综上，或； ③秒后点表示的数为，点表示的数为， 则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 题型九 和差倍分问题 解题思路：①标注题干中和、差、倍、分关键词；②选取基准量设元；③其余量用含未知数的代数式表达；④依照和差条件建立方程求解。 33．甲数为80，求乙数．如果设乙数为，可以用方程“”来表示两数之间等量关系．横线上需要补充的信息是（    ）． A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 【答案】C 【详解】解：A．甲数比乙数的3倍多7，列方程为：．不符合题意． B．乙数比甲数的3倍多7，列方程为：．不符合题意． C．甲数比乙数的3倍少7，列方程为：．符合题意． 所以，横线上需要补充的信息是甲数比乙数的3倍少7． 34．某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 【答案】520 【分析】设洋葱批发了千克，根据三种蔬菜总重量和各重量的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设洋葱批发了千克，则西红柿批发了千克，辣椒批发了千克， 根据题意，可列方程， 解得， 则， 所以西红柿批发了520千克． 35．今年甲、乙的年龄和是甲、乙的年龄差的2倍．5年前，甲的年龄是乙的4倍．今年甲、乙各多少岁？ 【答案】今年甲45岁，乙15岁． 【分析】设5年前乙的年龄为岁，则5年前甲的年龄为岁，根据今年甲、乙的年龄和是甲、乙的年龄差的2倍列方程求解即可． 【详解】解：设5年前乙的年龄为岁，则5年前甲的年龄为岁，由题意，得 ， 解得， ∴岁，岁， 答：今年甲45岁，乙15岁． 36．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 【答案】 【分析】设这批水果有千克，根据题意，逐步计算分给大班、中班、小班、小托班水果重量及剩下水果重量，再列方程求解即可． 【详解】解：设这批水果有千克， 所以分给大班千克，剩下千克， 分给中班千克，剩下千克， 分给小班千克，剩下千克， 分给小托班千克，剩下千克， ，解得， 答：这批水果有千克． 题型十 电费和水费问题 解题思路：①确定分段计费临界点与各段单价；②设用水/用电量为未知数；③分段计算费用后求和得到总费用；④结合已知总费用列方程，核验解所在计费区间是否匹配。 37．为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 38．某市水费收费标准为用水不超过，每立方米元，超过，超过部分按n元/米收费，该市某户今年用水情况： 月份 用水量（） 水费（元） 7 6 m 8 10 60 则______ ______． 【答案】 8 【分析】此题考查了一元一次方程的应用和有理数乘法的应用等知识．用水不超过，每立方米元，据此列式即可求出m的值，用水不超过，每立方米元，超过，超过部分按n元/米收费，据此列方程即可求出n的值． 【详解】解：由题意可得，（元）， ， 解得， 故答案为：，8 39．某地居民用水收费标准如表： 家庭每年用水量 收费 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元/ (1)小亮家去年实际用水量为，则小亮家去年应缴水费多少元？ (2)小明家去年缴水费1200元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】(1)960元 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据表格中收费标准计算即可； （2）先判断小明家去年的用水量超过，然后设小明家去年用水量为，然后根据表格数据建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 答：小亮家去年应缴水费元； （2）解： 小明家去年的用水量超过 设小明家去年用水量为 根据题意，得 解得 答：小明家去年用水量为． 40．珠海市夏季天气炎热，空调用电量较大，因此电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，实施居民阶梯电价，收费标准划分如下： 夏季标准（5月~10月） 非夏季标准（1月~4月，11月~12月） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 260及以下 0.6 第一档 200及以下 0.6 第二档 261~600 0.65 第二档 201~400 0.65 第三档 601及以上 0.9 第三档 401及以上 0.9 例如：按夏季标准，用电量600度时，其中260度按0.6元/度收费，超出260度的部分按0.65元/度收费． (1)在用电量同为600度的情况下，非夏季电费___________夏季电费（填选项）． A．大于        B．小于        C．大于等于        D．小于等于 (2)珠海的中学生小周发现家里1月份用电410度，请计算小周家1月份总电费． (3)已知小周家7月份缴纳电费312元，请通过计算求出小周家7月份的用电量． 【答案】(1)A (2)259元 (3)500度 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用表格数据判断即可； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为度，列出方程计算． 【详解】（1）夏季标准电费为（元）； 非夏季标准电费为（元）， 因为，所以非夏季电费大于夏季电费， 故答案为A； （2） （元） 答：小周家1月份总电费为259元； （3）元，； 元， 因为，所以小周家7月份的用电量属于第二档， 设小周家7月份用电量为度，则 解得． 答：小周家7月份的用电量为500度． 题型十一 行程问题 解题思路：①辨别题型类别：相遇、追及、航行；②选定未知量设元；③依托路程=速度×时间，表示运动路程；④相遇用路程和、追及用路程差建立等式；⑤航行问题要叠加水流速度。 41．在光明区举办的“周年艺术季”期间，小颖一家去欣赏了一台音乐剧，路上预计用时分钟，但由于堵车，所以实际车速比预计的每小时慢了千米，且路上多用了分钟．设预计车速为千米/时，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得到实际车速和实际用时，由总路程速度时间，利用总路程不变建立等量关系，需要统一时间单位，将分钟换算为小时． 【详解】解：预计车速为千米/时，实际车速比预计的每小时慢了千米， 实际车速为千米/时， 预计用时分钟小时，实际多用了分钟， 实际用时分钟小时， 由总路程不变，可得方程． 42．小明在400米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间里，他每秒跑5米，后一半时间里，他每秒跑3米，他跑后半圈路程用了( )秒． 【答案】 【分析】设小明跑一圈的一半时间为秒，根据总路程列方程求出一半时间的值，再计算后半圈路程中不同速度段的路程，分别计算时间求和． 【详解】解：设小明跑一圈的一半时间为秒， 由题意得，， 解得， （米）， （米）， （米）， （秒）， 秒， 所以他跑后半圈路程用了60秒． 43．小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 44．如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【答案】平均速度至少要达到米/分 【分析】先设起点到第一个补给站的时间为分钟，表示出两段路程，利用第一个补给站到第二个补给站路程为米列方程求出，再算出第二个补给站到终点的距离，最后根据求出最小平均速度． 【详解】解：设小杰从起点跑到第一个补给站用时分钟，则起点到第一个补给站路程为米， 从第一个补给站到第二个补给站用时分钟，这段路程为米． 由图可知第一个补给站到第二个补给站总路程为米： ， 解得， 起点到第一个补给站路程：​（米）， 总路线长米，所以第二个补给站到终点路程：（米）， 要求分钟内跑完，则这段路程的最低平均速度为（米/分）． 题型十二 比例分配 解题思路：①设每份的量为未知数；②各项数量写成比例系数与未知数的乘积；③各分量相加等于总量；④求出单份数值，再计算各项对应量。 45．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．设大和尚有人，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人， 由题意，得：； 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意正确的列出方程，是解题的关键． 46．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 47．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 48．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． 题型十三 日历问题 解题思路：①明确日历规律：横向相邻差1，纵向相邻差7；②选定其中一个日期设元；③写出其余相关日期；④根据和差条件列方程；⑤检验日期处于1～31的有效区间。 49．如下表是2025年8月的月历，用如图所示的“”形框出4个数，若移动这个“”形框，则这4个数的和不可能是（    ） A．44 B．56 C．76 D．88 【答案】C 【分析】本题考查了月历中数字的规律及一元一次方程的应用，解题的关键是根据“L”形框的实际位置（如1、8、15、16）设数，结合月历数字的范围与排列判断．设“L”形框中左上角的数为，则另外3个数为、、，表示出和的表达式后验证选项． 【详解】解：设“L”形框中左上角的数为，则4个数为、、、，和为. A、若，则，对应2、9、16、17，符合月历，此选项不符合题意； B、若，则，对应5、12、19、20，符合月历，此选项不符合题意； C、若，则，对应10、17、24、25，24右侧无数字，不符合“L”形框结构，此选项符合题意； D、若，则，对应13、20、27、28，符合月历结构，此选项不符合题意． 故选：C． 50．如图是2026年1月的月历，按照图中斜下的形式圈出3个数，若圈出的三个数的和恰好是48，则这三个数中最大的数是__________________． 【答案】24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；用代数式表示图中斜下的三个数，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设中间的数为，则最大数，最小数分别为， 由题意得：， 解得：， 则最大数：； 故答案为：24． 51．如图是某月的月历：用去框出日期数，每次同时框出4个数． (1)框出的4个数的和的最大值是_________ ，最小值是_________． (2)用a表示框中的一个数，如图2所示，如果框出的四个数的和是93，求a的值； (3)框出的四个数之和能是105吗？如果能，请求出这四个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)109；25 (2) (3) 不能，理由如下： 若， 则， 因为框中的a不能在日历的最左侧，所以不能． 【分析】关键是根据给出的表和图框的形状，找出所框出的数的规律，再由规律解决问题． （1）当框出的四个数为22，28，29，30时，4个数的和最大；当框出的四个数为1，7，8，9时，4个数的和最小； （2）根据表中的规律得出上面的数比a小7，a左边的数比a小1，a右边的数比a大1；根据框出的四个数之间的关系，得出四个数的和比a的4倍少7，由此求出a； （3）若， 则，此时在框中最左侧，不符合要求． 【详解】（1）解：最大值：， 最小值， 故答案为：109；25； （2）解：根据题意得，另外三个数分别为，，， 根据题意得：， 解得； （3）略 52．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）． (1)如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为__________． (2)①如图3，当________时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则____________； (3)将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是126．”该同学的说法是否正确，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)①；②2 (3) 解：不正确，理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为，由题意，得：， 解得：； 观察图形可知，不存在阴影方框，其中央数字为14； 故该同学的说法不正确． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，是解题的关键： （1）列式计算即可； （2）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，列出方程进行求解即可． （3）设阴影方框的中央位置的数为，根据题意，列出方程求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：；，， 故答案为：； （2）解：①由题意，得：， 解得：； 故答案为：； ②观察幻方可知：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍， ∴， 解得：； 故答案为：2； （3）略 题型十四 古代问题 解题思路：①把古文题意转化为现代数学条件；②提取题目中的等量关系；③合理设定未知数；④依据等量关系列方程；⑤将结果代回原题核验文意。 53．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设总人数为，根据车的总数不变建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：设共有人，总车数不变， ∵每3人共乘一车，最终剩余2辆车空，可得总车数为；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，可得总车数为， ∴由总车数相等，可得方程． 54．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最后剩余1辆车无人乘坐；若每2人共乘一车，则最后剩余9个人无车可乘，请算出共有人______． 【答案】33 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设共有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有x人， 依题意得：， 解得， 故答案为：． 55．《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？”．这道题目的意思是，今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】20人，6辆车 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设共有x辆车，根据“每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有x辆车， ∵每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐， ∴总人数为， ∵每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘， ∴总人数为， ∴， 解得， ∴车有6辆， ∴人数为． 答：共有20人，6辆车． 56．在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 题型十五 其他问题 解题思路：①筛除冗余文字，提取有效数量条件；②识别不变量或等量关系；③恰当设置未知数；④根据等量关系列方程；⑤检验解具备现实意义。 57．现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器个，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得小容器数量为个，再根据“每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升且现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升”进行列方程即可． 【详解】解：∵设大容器有个，且总共有20个容器， ∴小容器数量为个， ∵每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升， ∴大容器总容积：升，小容器总容积：升， ∴所有容器的总容积为：升， 根据题意得，． 58．怪怪星球的居民们一直被大气污染困扰着．怪博士监测到星球上的三种污染物，分别是臭氧分子（）、甲醛分子（）、苯分子（），其中分别表示碳、氢、氧原子，右下角数字表示每种原子的个数，若没写则代表原子个数为个．例如：由个原子、个原子和个原子构成．怪博士第一天的监测结果是，这三种污染物一共有个分子，其中甲醛分子的数量是苯分子的倍，碳原子有个．那么臭氧分子有_________个． 【答案】 【分析】设苯分子的个数为未知数，根据数量关系表示出甲醛和臭氧分子的个数，再根据碳原子总数列方程求解，即可得到臭氧分子的个数． 【详解】解：设苯分子有个， ∵甲醛分子的数量是苯分子的倍，三种污染物一共有个分子， ∴甲醛分子有个，臭氧分子有个， ∵每个苯分子含个碳原子，每个甲醛分子含个碳原子，臭氧不含碳原子，总碳原子有个， ∴， 即， 解得， 将代入，得， 即臭氧分子有个． 59．1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数． 【答案】10元面额的纸币张数为2张 【分析】设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为，再根据等量关系“共58元”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为， 由题意可得：， ， ， ， ． 答：10元面额的纸币张数为2张． 60．为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 【答案】(1)笔记本购买了10本，签字笔购买了8支 (2)k的值为4 【分析】（1）设签字笔数量为未知数，根据数量关系表示笔记本数量，结合奖品总费用列方程求解即可； （2）分别表示出两种套装的单价与数量，根据总费用的增长关系列方程，求解正整数k． 【详解】（1）解：设购买签字笔x支，则购买笔记本本，根据题意得： ， 解得：， 则笔记本数量为 （本）， 答：笔记本购买了10本，签字笔购买了8支； （2）解：由题意得： 套装A的单价为 元， 套装A的数量为： ， 套装B的单价为 元， 套装B的数量为8， ∵半期表彰总费用比之前的总费用（含运费）增加了，之前的总费用为198元， ∴半期总费用为 ， 列方程：， 解得： ， 答：k的值为4． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $