第3章 一元一次方程 知识归纳与题型突破（17类题型清单）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第3章 一元一次方程知识归纳与题型突破（17类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 03 题型归纳 题型一　方程的定义 1．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 3．下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在①；②；③；④中，等式有 ，方程有 ．（填入式子的序号） 3．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型二　列方程 4．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在“垃圾分类行动”中，实践组有23人，宣传组有16人．应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的两倍？设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ． 3．按要求列方程（不需要求解） （1）一个方程的解为，请写出一个符合条件的方程 （2）根据“的倍与的和比的少”列出方程 题型三　方程的解 7．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 8．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 9．在下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 2．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 3．判断下列的值是不是一元一次方程的解： (1)． (2)． (3)． 题型四　一元一次方程的定义 10．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 12．下列各式中，属于一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 2．若关于x的方程是一元一次方程，则这个方程的解是 ． 3．已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 题型五　等式的性质 13．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．已知，下列等式变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 巩固训练 1．下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 题型六　解一元一次方程 16．解方程，下列去分母的过程正确的（    ） A． B． C． D． 17．方程的解是（　　） A． B． C． D． 18．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 巩固训练 1．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 2．已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型七　解一元一次方程的拓展问题 19．关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 20．如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 21．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 3．当k为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大6？ 题型八　行程问题 22．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 23．甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 24．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 巩固训练 1．小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在一条笔直的公路上，有一辆长为10米的公交车，以8米/秒的速度匀速前进，此时，司机发现前方200米的人行道上有个行人，正以1米/秒的速度匀速同向前进，则从发现行人到公交车完全超过行人时，公交车共行驶了 米． 3．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 题型九　工程问题 25．某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（    ） A． B． C． D． 26．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 27．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．举世瞩目的北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要天完成．现计划由部分车间先生产天，然后再增加两个车间一起生产天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排 个车间进行生产． 3．一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 题型十　配套问题 28．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 29．某车间有45名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 30．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 巩固训练 1．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 2．一机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，那么需要安排 名工人加工大齿轮， 名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套． 3．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 题型十一　销售盈亏 31．超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 32．小明一共有34元钱，买了笔和本子，笔1元钱一支，本子3元钱一本，本子和笔总数为20，最后正好花完钱，则本子买了（    ）本． A．10 B．9 C．8 D．7 33．疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共77万个，当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润35万元．两种口罩的成本和售价如下表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） 医用口罩 0.8 1.2 口罩 2.5 5 设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，根据题意可列方程得（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．青神德迈盛超市在“六一”儿童节，将一种儿童玩具按标价9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为（    ） A．29元 B．30元 C．31元 D．32元 2．某商场先将彩电按进价提高，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获得利润240元，则每台彩电的进价是 元． 3．某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 题型十二　方案选择 34．把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 35．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 36．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 巩固训练 1．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 2．国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为 ．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 3．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 题型十三　数字问题 37．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 38．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36，则原来的两位数为（     ） A．35 B．26 C．17 D．53 39．幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求九宫格中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x的值为（    ） 5 x 13 7 A．25 B．20 C．15 D．30 2．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用82的每位数字乘34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788． 如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的数值为 ． 3．下列三行数： 第一行：，2，，8，… 第二行：0，3，，9，… 第三行：，4，，16，… (1)直接写出每一行的第7个数________，________，________； (2)在第二行中，存在三个连续的数的和为99，这三个数分别是________，________，________； (3)设x，y，z分别为每一行的第10个数，求的值． 题型十四　几何问题 40．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（　　） A． B． C．1或 D．7或 41．如图所示，长为4，宽为3的长方形内有一正方形，若直线将长方形的面积分为的两部分，则正方形的边长为（   ）    A．1 B． C． D． 42．如图，一个正方形先剪去宽为2的长方形，再剪去宽为的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，那么原正方形的边长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 巩固训练 1．如图，长方形被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形，若小长方形的两边，则大长方形的两边的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 3． 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 题型十五　和差倍分问题 43．在《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．求人数是多少？若设人数为x，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 44．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 45．某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．如果每天生产服装20套，那么就比订货任务少生产100套；如果每天生产服装23套，那么就可超过订货任务20套．这批服装的订货任务是（    ）套． A．880 B．890 C．900 D．910 巩固训练 1．某中学七年（5）班原有学生43人，本学期该班转出一名男生后，男生的人数恰好是女生人数的一半．设该班原有男生人，则下列方程中正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．五年级学生中女生比男生多10人，在体育达标测试中，男生全部达标，而女生有未达标，这样男、女生共有180人达标，则五年级学生共有 人． 3．在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 题型十六　水电费问题 46．如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 47．为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2元：若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费2.5元，已知小明家这个月的水费为15元，则小明家这个月的用水量是（    ） A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米 48．某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（　　）． A．38 B．28 C．34 D．44 巩固训练 1．某城市按以下规定收取每月的煤气费，用气不超过60立方米，按每立方0.8元收；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收，已知小明家某月共缴纳煤气费72元，那么他家这个月共用（    ）立方米的煤气？ A．90 B．78 C．98 D．80 2．某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家月份用水立方米，交水费元，若李阿姨月份交水费元，则李阿姨月份用水量是 ． 用水量立方米 单价元 剩余部分 3．综合与实践 为提倡节约用水，某地实施价格调控．该地自来水公司的收费价格如下表：（水费按月结算，表示立方米） 价 目 表 每月用水量 价格 不超过的部分 3元/ 超过不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 根据表中的内容，解答下列问题： (1)小张家四月份的用水量为，应缴水费________元． (2)若小张家某月的用水量为，试用含a的式子表示应缴水费． (3)已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量． 题型十七　其他问题 49．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 50．新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 51．如图，将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线，得到图①；将图①右下方正方形继续按上述方式进行操作，得到图②……按此规律操作下去，则有101个正方形的图形的序号是（    ）． A．49 B．50 C．51 D．52 巩固训练 1．有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人．这个班共有（    ）名同学． A．54 B．36 C．27 D．18 2．有两根同样长度但粗细不同的蜡烛 ，粗蜡烛可燃，细蜡烛可燃．一次停电，同时点燃两根蜡烛，恢复供电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，则停电的时间为 ． 3．根据税法，公民应按下表缴纳个人所得税： 级数 全月应纳税所得额 税率% 1 不超过500元的部分 5 2 超过500元至2000元的部分 10 3 超过2000元至5000元的部分 15 4 超过5000元至20000元的部分 20 …… …… …… 如果上表中“全月应纳税所得额”是指当月的工资、薪金收入中超出2000元的部分（不超出2000不必纳税），税款按上表累加计算． (1)某职员月工资、薪金3500元，那么他应缴纳个人所得税多少元？ (2)某职员月交个人所得税250元，他该月的工资、薪金是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一元一次方程知识归纳与题型突破（17类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 03 题型归纳 题型一　方程的定义 1．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 2．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 3．下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案． 【详解】解：∵不是等式， ∴A选项不是方程， ∵不是等式， ∴B选项不是方程， ∵是代数式，没有等号， ∴C选项不是方程， ∵符合方程的定义， ∴是方程， 故选：D． 巩固训练 1．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键． 【详解】、，不是方程，不符合题意； 、是代数式，不是方程，不符合题意； 、是不等式，不符合题意； 、是方程，符合题意； 故选：． 2．在①；②；③；④中，等式有 ，方程有 ．（填入式子的序号） 【答案】 ②③④ ②④ 【分析】方程是含有未知数的等式，因而方程是等式，等式不一定是方程，只有含有未知数的等式是方程． 【详解】等式有②③④，方程有②④． 故答案为②③④，②④． 【点睛】本题考查了方程的定义，方程与等式的关系，是一个考查概念的基本题目． 3．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型二　列方程 4．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6， 则， 故选：D． 5．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键． 6．根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 巩固训练 1．在“垃圾分类行动”中，实践组有23人，宣传组有16人．应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的两倍？设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，a的2倍为，则比a的2倍大5的数为，据此列出方程即可． 【详解】解：“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为， 故答案为：． 3．按要求列方程（不需要求解） （1）一个方程的解为，请写出一个符合条件的方程 （2）根据“的倍与的和比的少”列出方程 【答案】（1）2x-1=3（答案不唯一）；（2） 【分析】（1）根据方程的解写出方程即可； （2）利用x的3倍与5的和为3x+5，x的为，根据和差关系列出方程． 【详解】解：（1）∵方程的解为x=2， ∴符合条件的方程可以为：2x-1=3（答案不唯一）； （2）由题意可得： 该方程为：． 【点睛】此题主要考查了方程的解，由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等式是解题关键． 题型三　方程的解 7．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，注意掌握方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值． 将代入各方程，能满足左边=右边的，即是正确选项． 【详解】解：A、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； B、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； C、将代入，左边，右边，左边=右边，故本选项正确； D、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； 故选：C． 8．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 9．在下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的概念，熟练掌握方程解的概念以及方程解的检验方法是解题的关键．把分别代入各选项的方程中进行检验即可得答案． 【详解】解：A、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； B、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； C、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； D、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以是方程的解，此选项符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程解的定义，将所给的数代入方程，看是否能使方程的左右两边相等． 根据方程解的定义，将分别代入各选项的方程，看是否能使方程的左右两边相等． 【详解】A、把代入，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解，故本选项错误； B、把代入，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解，故本选项错误； C、把代入，左边，右边，左边右边，即是该方程的解，故本选项正确； D、把代入，左边，右边，左边≠右边，即不是该方程的解，故本选项错误， 故选C． 2．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 3．判断下列的值是不是一元一次方程的解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)不是原方程的解． (2)不是原方程的解． (3)是原方程的解． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．先求出方程的解，再根据方程的解的定义逐个判断即可（也可以把的值代入方程，看看方程的两边是否相等）． 【详解】（1）解：当时，，， ， 不是方程的解； （2）解：当时，，， ， 不是方程的解； （3）解：当时，，， ， 是方程的解． 题型四　一元一次方程的定义 10．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 11．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：A：含有两个未知数，不符合题意； B：为一元一次方程，符合题意； C：未知数的最高次数为，不符合题意； D：含有分式，不符合题意； 故选：B ． 12．下列各式中，属于一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义的应用，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、未知数次数为2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、整理方程得，是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 2．若关于x的方程是一元一次方程，则这个方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程，掌握一元一次方程的定义是含有一个未知数并且未知数的指数为1的整式方程是解题关键，根据一元一次方程的定义，求出的取值，再分别代入解方程即可． 【详解】解：是一元一次方程， ，， 或， 当时，，解得：； 当时，，解得： 这个方程的解是或， 故答案为：或． 3．已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵方程为关于x的一元一次方程， ∴项的系数为0．且x的系数不为0， ，即， 解得：， ， ， ． ∴． 题型五　等式的性质 13．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 14．已知，下列等式变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、等式两边同加4，得，故本选项的等式变形正确； B、由于，等式两边同除以，得，故本选项的等式变形正确； C、等式两边同乘，得，再在等式两边同加3，得，故本选项的等式变形正确； D、若，等式两边同除以a，则，故本选项的等式变形错误． 故选：D 15．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 2．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【详解】①若，则，变形正确；②若，则，原变形不正确；③若，则，原变形不正确；④若，则，变形正确；⑤若，则，变形正确． 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 题型六　解一元一次方程 16．解方程，下列去分母的过程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次一次方程，根据等式的性质，方程的两边同时乘以最小公倍数6，去分母即可． 【详解】解：， 去分母得：， 故选：D． 17．方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解题的关键． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 故选：A． 18．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 【答案】A 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：方程，去分母得， 选项A符合题意； 方程，去括号得， 选项B不符合题意； 方程，系数化为1得， 选项C不符合题意； 方程，移项得， 选项D不符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 【答案】A 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：方程，去分母得， 选项A符合题意； 方程，去括号得， 选项B不符合题意； 方程，系数化为1得， 选项C不符合题意； 方程，移项得， 选项D不符合题意． 故选：A． 2．已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键 （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【详解】（1） 移项，得：， 合并同类项，得：， （2） 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； （3） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； （4） 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； 题型七　解一元一次方程的拓展问题 19．关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 20．如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入方程求解即可． 【详解】解：当时，方程为， 解得， 故选：A． 21．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，根据已知条件得出方程，求出方程的解即可，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， 故选：． 巩固训练 1．小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的错解问题．把代入，可得，再把把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ，解得：， 把代入，得： ， 解得：． 故选：C 2．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．将所求方程两边同乘，整理可得，进而可求出． 【详解】解：将所求方程两边同乘， 对照 比较发现， ，而， 所以． 故答案为：． 3．当k为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大6？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含的方程求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程的解比关于x的方程的解大6 ∴， 解得：． 题型八　行程问题 22．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 23．甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时，利用时间、路程、速度并结合从乙地回到甲地用7．5小时，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中计算即可解答． 【详解】解：设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时， 根据题意得：，解得：， ∴， ∴甲、乙两地间的山岭路程有24千米． 故选：A． 24．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运用时间，设运用时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 巩固训练 1．小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据放学及上学路上所花时间之间的关系，可得出放学路上所花的时间小时，利用路程=速度×时间，结合从家到学校的距离不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵放学路上比上学所花的时间多小时，上学路上所花的时间为x小时， ∴放学路上所花的时间小时， 根据题意得：， 故选：C． 2．在一条笔直的公路上，有一辆长为10米的公交车，以8米/秒的速度匀速前进，此时，司机发现前方200米的人行道上有个行人，正以1米/秒的速度匀速同向前进，则从发现行人到公交车完全超过行人时，公交车共行驶了 米． 【答案】240 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设从发现行人到公交车完全超过行人所用时间为x秒，根据公交车所走路程等于200米加上车身长度10米再加上行人所走路程列出方程求解即可 ． 【详解】解：设从发现行人到公交车完全超过行人所用时间为x秒，根据题意： 解得：， 则（米） 故答案为：240． 3．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 题型九　工程问题 25．某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；关系式为：甲4天的工作量甲乙合作天的工作量，把相关数值代入即可求解．找到工作量之间的等量关系解决本题的关键． 【详解】解：甲4天的工作量为：； 甲乙合作其余天数的工作量为：， 可列方程为：， 故选：． 26．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得． 【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为， 由题意得： 故选：A． 27．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握工作总量与单位时间的工作量和时间的关系列式，列方程，是解题的关键． 根据“每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．”列出方程，解出即可求解． 【详解】设原计划每小时生产 x 个零件，实际生产每小时生产 个零件， 12小时的零件数量是件， 原计划13小时生产的零件数量是件， 由此得到方程 ， 故答案为：B． 巩固训练 1．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故选：B． 2．举世瞩目的北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要天完成．现计划由部分车间先生产天，然后再增加两个车间一起生产天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排 个车间进行生产． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应先安排个车间进行生产， 依题意得，解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】设应先安排个车间进行生产， 依题意得：， 解得：． 则应先安排个车间进行生产， 故答案为：． 3．一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 题型十　配套问题 28．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母， 由题意得：， 故选：C． 29．某车间有45名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据生产的螺母数量为螺栓的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 依题意，得：． 故选：D． 30．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键． 设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可． 【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个， 根据题意得：，解得：（人）， 所以每天最多生产的配套零件的套数为：套． 故选：A． 巩固训练 1．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ，即， 解得：， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 2．一机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，那么需要安排 名工人加工大齿轮， 名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套． 【答案】 25 60 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，设安排x名工人加工大齿轮，根据如果2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套列得方程求解，正确理解题意列得一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，根据题意得 ， 解得 ∴安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮， 故答案为：25，60． 3．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 题型十一　销售盈亏 31．超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 盈利的一台的进价为元，利用利润率的意义列出方程，解得；再设亏本的一台的进价为元，同样列出方程，解得，即可求解． 【详解】解：设盈利的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 设亏本的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 因为（元）， 所以在这次买卖中超市亏了元． 故选：B． 32．小明一共有34元钱，买了笔和本子，笔1元钱一支，本子3元钱一本，本子和笔总数为20，最后正好花完钱，则本子买了（    ）本． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设本子买了本，则笔买了支，根据一共有34元钱，买了笔和本子，再建立方程求解即可． 【详解】解：设本子买了本，则笔买了支， ∴， 解得：， ∴本子买了7本； 故选D 33．疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共77万个，当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润35万元．两种口罩的成本和售价如下表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） 医用口罩 0.8 1.2 口罩 2.5 5 设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，根据题意可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题，从实际问题抽象出一元一次方程是解题的关键． 若设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，则每天定量生产口罩万个，根据当日全部售出时，则可获得利润35万元，列出方程即可． 【详解】解：若设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，则每天定量生产口罩万个， 根据题意，得 ， 故选：C． 巩固训练 1．青神德迈盛超市在“六一”儿童节，将一种儿童玩具按标价9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为（    ） A．29元 B．30元 C．31元 D．32元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设该玩具进货价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该玩具进货价为元， 根据题意得，， 解得：， 故选：B． 2．某商场先将彩电按进价提高，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获得利润240元，则每台彩电的进价是 元． 【答案】2000 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设每台彩电的进价是元，根据利润等于售价减进价，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每台彩电的进价是元，由题意，得： ， 解得：， 答：每台彩电的进价是2000元； 故答案为：2000． 3．某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 【答案】(1)商品的原价是940元； (2)将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设商品的原价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设商品的原价是x元， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：商品的原价是940元； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元， ∵（元），（元），， ∴． 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算； 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算． 答：将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元． 题型十二　方案选择 34．把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两种分法书的本数不变可列方程为：，进而可得答案． 【详解】解：设这个班有x名学生，根据题意得： ； 故选B． 35．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 【答案】D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 36．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 【答案】A 【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】解：设人数为x， 由题意得： 解得：， ∴该物品价值的钱数为， 故答案选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示． 巩固训练 1．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 【答案】D 【分析】设一共有x人，然后根据两种购买方式中物品的价格相同建立方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得， 解得， ∴元， ∴一共有7人，物品的价格为53元， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程求解是解题的关键． 2．国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为 ．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 【答案】； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论，根据不同情况列式求出的值．分情况讨论，分两件商品一起付款或单独付款两种情况分别列方程即可； 【详解】解：当两件商品分别付款时，第二件商品实际付款为：（元）， ，，， 或 解得：或（不合题意，舍去）， 当两件商品一起付款时， 解得： 故答案为：； 3．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 题型十三　数字问题 37．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 38．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36，则原来的两位数为（     ） A．35 B．26 C．17 D．53 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设个位数字为x，则十位数字为，根据“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大36”列方程求解即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 解得， 则， ∴原来的两位数为， 故选：B． 39．幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，先假设未知数，再根据题意列出方程，解之即可，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵每行、每列和每条对角线上的数字和都相等， ∴，，，， ∴，，，，， ∴， 解得：， 故选：． 巩固训练 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求九宫格中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x的值为（    ） 5 x 13 7 A．25 B．20 C．15 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据定义完善九宫格，列方程求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是， 完善九宫格如下： 5 x 13 7 ∴， 解得：， 故选A． 2．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用82的每位数字乘34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788． 如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的数值为 ． 【答案】3 【分析】设的十位数是m，个位数是n，根据“铺地毯”法则，建立等式计算即可． 本题主要考查一元一次方程的应用，以及新概念的快速理解运用能力，解答的关键是根据题意列出相应的方程． 【详解】设的十位数是m，个位数是n，根据题意，如图， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．下列三行数： 第一行：，2，，8，… 第二行：0，3，，9，… 第三行：，4，，16，… (1)直接写出每一行的第7个数________，________，________； (2)在第二行中，存在三个连续的数的和为99，这三个数分别是________，________，________； (3)设x，y，z分别为每一行的第10个数，求的值． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，根据题意得出规律是解此题的关键． （1）根据题干中所给数据得出规律，从而即可得解； （2）由（1）可得：第二行中第个数为，设第二行三个连续数为，，，根据题意列方程，求解即可得解； （3）分别求出、、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：第一行：，，，，，…，第个数为，故第7个数为； 第二行：，，，，…，第个数为，故第7个数为； 第三行：，，，，…，第个数为，故第7个数为； （2）解：由（1）可得：第二行中第个数为， 设第二行三个连续数为，，， ∵在第二行中，存在三个连续的数的和为99， ∴， 解得：， ∴，， ∴这三个连续的数为，，； （3）解：∵设x，y，z分别为每一行的第10个数， ∴，，， ∴． 题型十四　几何问题 40．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（　　） A． B． C．1或 D．7或 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，先由已知条件得的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可． 【详解】解：∵B表示数2， ∴， ∵将点A向右平移3个单位长度，得到点C． ∴， ∴， ∴或， ∵点A、B在原点O的两侧， ∴， 故选：B． 41．如图所示，长为4，宽为3的长方形内有一正方形，若直线将长方形的面积分为的两部分，则正方形的边长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； 如图所示，交于H，根据题意先求出，然后设正方形的边长为x，再根据列方程求出x即可． 【详解】解：如图所示，交于H，    由题意得：， ∴， ∴， 设正方形的边长为x，则，， ∴， 整理得：， 解得：， 即正方形的边长为， 故选：B． 42．如图，一个正方形先剪去宽为2的长方形，再剪去宽为的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，那么原正方形的边长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】设原正方形的边长为x,根据题意，第一个长方形的面积为，第二个长方形的面积为，列方程，得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 【详解】设原正方形的边长为x,根据题意，第一个长方形的面积为，第二个长方形的面积为， 列方程，得， 解得． 故选B． 巩固训练 1．如图，长方形被分割成5个不同大小的小正方形和一个小长方形，若小长方形的两边，则大长方形的两边的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；设最小的正方形的边长为a，再分别表示，，，再建立方程求解即可． 【详解】解：设最小的正方形的边长为a，， 则其余四个正方形的边长从小到大依次为5，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 2．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 【答案】 秒或秒 【分析】本题考查了数轴与有理数的对应关系，中点的计算，数轴上动点问题，根据中点的计算可得原点的位置，根据行程问题可得点相距2个单位时数量关系列式求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等， ∴数轴的原点对应的刻度为， ∴点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是， ∵点P从点A向右移动，速度为4个单位长度/秒，点Q从点B向右移动，速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P在点Q左边时，， 解得，； 当点P在点Q右边时，， 解得，； 综上所述，当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为秒或秒 故答案为：①；② 秒或秒． 3． 如图，在长方形中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积会等于？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，一元一次方程的应用，分三种情况：当P在上时， 当P在上时，当点P在上时，分别画出图形，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：在长方形中，， ∵点是的中点， ∴， 当P在上时，如图1所示：此时， ∵的面积等于， ∴ ， 解得：； 当P在上时，，如图2所示：， ， ， ∵的面积等于， ∴ 解得：，不符合要求，舍去； 当点P在上时，如图3所示： ， ， ∵的面积等于10， ∴， 解得，符合要求； 综合上述，当或时，的面积会等于10 ． 题型十五　和差倍分问题 43．在《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．求人数是多少？若设人数为x，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 根据“物品价格不变”可列方程． 【详解】解：设人数为， 则可列方程为：， 故选：B． 44．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设分派站现有包裹x件， 依题意得：， 解得：， 故选：A． 45．某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．如果每天生产服装20套，那么就比订货任务少生产100套；如果每天生产服装23套，那么就可超过订货任务20套．这批服装的订货任务是（    ）套． A．880 B．890 C．900 D．910 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．设完成这批服装的订货任务需天，根据每天生产服装套，那么就比订货任务少生产套．如果每天生产服装套，那么可超过订货任务20套．列一元一次方程求解． 【详解】解：设完成这批服装的订货任务需天， 由题意得， 解得， ∴（套）， 答：这批服装的订货任务是套． 故选C． 巩固训练 1．某中学七年（5）班原有学生43人，本学期该班转出一名男生后，男生的人数恰好是女生人数的一半．设该班原有男生人，则下列方程中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到正确的等量关系． 【详解】解：设男生人数为x人，则女生为， 根据题意得：， 故选：A． 2．五年级学生中女生比男生多10人，在体育达标测试中，男生全部达标，而女生有未达标，这样男、女生共有180人达标，则五年级学生共有 人． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设五年级女生共有人，根据题意列出等式即可． 【详解】解：设五年级女生共有人，则男生人， 由题意得， ， 解得， 故男生人， 则五年级学生共有人． 故答案为：． 3．在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【答案】(1)女23人，男21人 (2)24人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 题型十六　水电费问题 46．如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．设小刘在该月的主叫通话时间为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设小刘在该月的主叫通话时间为， 则可列方程为， 故选：A． 47．为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2元：若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费2.5元，已知小明家这个月的水费为15元，则小明家这个月的用水量是（    ） A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小明家每月用水x吨，由，可得，从而列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小明家每月用水x吨， ∵， ∴， ∴， 解得:， 故选：B． 48．某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（　　）． A．38 B．28 C．34 D．44 【答案】C 【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答． 【详解】解：设他家该月用水，根据题意得： ， 解得：， 答：他家该月用水． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 巩固训练 1．某城市按以下规定收取每月的煤气费，用气不超过60立方米，按每立方0.8元收；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收，已知小明家某月共缴纳煤气费72元，那么他家这个月共用（    ）立方米的煤气？ A．90 B．78 C．98 D．80 【答案】D 【分析】根据煤气费＝不超过60立方米的费用＋超过60立方米的费用，列出方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴设他家这个月共用x立方米的煤气 由题意得： 解得：． 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系累出方程是解题关键． 2．某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家月份用水立方米，交水费元，若李阿姨月份交水费元，则李阿姨月份用水量是 ． 用水量立方米 单价元 剩余部分 【答案】立方米/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“李阿姨家月份用水立方米，交水费元”求得的值；然后由“李阿姨月份交水费元”知＞，根据阶梯收费标准列出方程并解答． 【详解】解：由题意知：， 解得． 所以元． 设李阿姨月份用水量是立方米，则： ． 解得． 故答案为：立方米． 3．综合与实践 为提倡节约用水，某地实施价格调控．该地自来水公司的收费价格如下表：（水费按月结算，表示立方米） 价 目 表 每月用水量 价格 不超过的部分 3元/ 超过不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 根据表中的内容，解答下列问题： (1)小张家四月份的用水量为，应缴水费________元． (2)若小张家某月的用水量为，试用含a的式子表示应缴水费． (3)已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量． 【答案】(1) (2)当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元； (3)小张家八月份的用水量为吨 【详解】（1）解：元， ∴小张家四月份的用水量为，应缴水费元； 故答案为：； （2）解：当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； （3）解：∵， ∴小张家八月份用水量超过不超过， ∴， 解得， ∴小张家八月份的用水量为吨． 题型十七　其他问题 49．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设该分派站现有快递员x人，根据“每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，”列出方程，解出即可． 【详解】解：设该分派站现有快递员x人，根据题意得： ， 解得：， 故选：B． 50．新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，设加入篮球社团有人，得到加入音乐社团有人，结合七年级一班共有30位同学报名加入了社团，且两个社团都加入的有8人，即可得到答案，读懂题意，准确根据等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设加入篮球社团有人，根据题意列方程为， 故选：B． 51．如图，将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线，得到图①；将图①右下方正方形继续按上述方式进行操作，得到图②……按此规律操作下去，则有101个正方形的图形的序号是（    ）． A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元一次方程的应用，由前三个图形中正方形的个数即可总结第出n个图形中正方形的个数为，据此规律建立方程求解即可． 【详解】解：第1个图形中正方形的个数为， 第2个图形中正方形的个数为， 第3个图形中正方形的个数为， ……， 以此类推可知第n个图形中正方形的个数为， 由题意得，， 解得， ∴有101个正方形的图形的序号是50， 故选：B． 巩固训练 1．有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人．这个班共有（    ）名同学． A．54 B．36 C．27 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设有x条船，根据增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人得出，解方程即可． 【详解】解：设有x条船，根据题意得： ， 解得：， （人）， 即这个班共有36名同学． 故选：B． 2．有两根同样长度但粗细不同的蜡烛 ，粗蜡烛可燃，细蜡烛可燃．一次停电，同时点燃两根蜡烛，恢复供电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，则停电的时间为 ． 【答案】2.4// 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设停电x小时，把蜡烛长度看成1，根据粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍为等量关系列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解∶设停电x小时， 由题意得：， 解得：， 则停电的时间为2.4小时． 故答案为：2.4. 3．根据税法，公民应按下表缴纳个人所得税： 级数 全月应纳税所得额 税率% 1 不超过500元的部分 5 2 超过500元至2000元的部分 10 3 超过2000元至5000元的部分 15 4 超过5000元至20000元的部分 20 …… …… …… 如果上表中“全月应纳税所得额”是指当月的工资、薪金收入中超出2000元的部分（不超出2000不必纳税），税款按上表累加计算． (1)某职员月工资、薪金3500元，那么他应缴纳个人所得税多少元？ (2)某职员月交个人所得税250元，他该月的工资、薪金是多少元？ 【答案】(1)125元 (2)4500元 【分析】此题考查了一元一次方程，解答关键是分类缴税，正确列式是解答此题的难点所在． （1）先求出某职员工资、薪金超过2000元的部分，再按照对应的税率缴税，列式计算，即可作答． （2）已知某职员某月份缴纳了250元个人所得税，因为（元，所以，再按照税率缴税，再列式得，进而计算解决问题． 【详解】（1）解：该职员全月应纳税所得额为：（元）， 则他应缴纳个人所得税为： （元）， ∴某职员应缴纳个人所得税125元； （2）解：∵， ∴设某职员月工资、薪金为x元，且 ， 可得：， 解之得， ∴某职员该月的工资、薪金是4500元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$