专题01有理数的引入精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数的引入，实现小学算术数到初中有理数的数域扩充，通过相反意义的量定义负数，依托数轴建立数形结合模型，涵盖相反数、绝对值等核心概念，为有理数四则运算及综合题型奠定概念基础。 资料亮点在于突出易错点精准辨析、分层题型设计（基础到压轴）及解题思路指导，注重培养符号意识、分类思想与数形结合思想，助力学生发展抽象能力和几何直观，提升运算能力与推理意识，适合教师教学与学生自主学习。

专题01有理数的引入精讲学案 核心立意 本节实现小学算术数到初中有理数的数域扩充，通过负数定义相反意义的量，依托数轴建立数形结合模型，以相反数、绝对值精准定义有理数符号与距离属性。为本章有理数四则运算、大小比较、数轴综合题型奠定全部概念基础，核心培养符号意识、分类思想、数形结合思想。 相反意义的量 1.定义：日常生活中，属性相同、意义彼此相反的两类量。 ✅示例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下、盈利与亏损。 2. 判断两大条件： ① 属于同一类量；② 意义相反；数量大小可以不相等。 ⚠️易错：“上升 5 米” 和 “下降 3 千克”不是相反意义的量（量的类型不同）。 正数、负数的定义 1.正数：大于 0 的数；数字前可带 “+”（正号），正号通常省略。 例：+3、2.4、，一般直接写作3、2.4、 2.负数：在正数前面添加 “(-)”（负号）得到的数，负号不能省略。 例：-5、-1.6、- 3.0 的核心性质：0既不是正数，也不是负数；0 是正数与负数的分界。 正负数的应用规则 先规定其中一种意义为正，则相反意义规定为负。 例：规定向东为正，向东走8m记作+8m，向西走6m记作-6m。 拓展：0 不单单代表 “没有”，在实际情境中代表基准水平面、基准温度、标准位置。 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数 分类 1：按定义划分 分类 2：按正负性划分 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 👉 数轴三要素（三者缺一不可）：原点、正方向、单位长度 1.原点：数轴上表示0的点，是正负数分界点； 2.正方向：一般规定向右为正方向（箭头向右）； 3.单位长度：选取统一长度作为标准，同一数轴单位长度必须一致。 数轴画法步骤 1.画一条水平直线； 2.在直线上取一点标注原点O； 3.向右画出箭头，标明正方向； 4.选取合适长度作为单位长度，依次标注数字。 数轴核心性质 所有有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示； ⚠️反过来：数轴上的点不都代表有理数（将来学习无理数）。 2.数轴上数的分布规律： 原点右侧：全部是正数；原点左侧：全部是负数；原点代表0； 3.在数轴上，右边的数总大于左边的数； 4.数轴上两点距离：若两点代表数a、b，两点距离=|a-b|。 易错题提醒 ❌错误：没有箭头、原点左右单位长度不一样、不标注原点的直线不是数轴。 数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 绝对值几何定义 数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点10:绝对值代数法则（去绝对值核心） 重要结论 1.若|a|=|b|，则a=b 或 a=-b； 2.绝对值最小的有理数是0。 绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 有理数大小比较 方法 1：数轴比较法（数形结合，通用方法） 数轴上，右侧的数 > 左侧的数 可得：正数>0，负数<0，正数>负数。 方法 2：负数大小比较法则 两个负数比较大小：绝对值大的负数，数值反而更小 例：比较-4和-2 |-4|=4, |-2|=2，4>2，所以-4<-2 相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 重点辨析（高频易混精准区分） 1. 符号与数的属性辨析：带负号的代数式不一定是负数，-a的正负由a的取值决定，不可凭表面符号判定。 2. 小数分类辨析：并非所有小数都是有理数，仅有限小数、无限循环小数属于有理数。 3. “非类数”范围辨析：非负数=正数+0；非正数=负数+0；非负整数=正整数+0；非正整数=负整数+0，所有非类数均包含0。 4. 数轴点的对应辨析：有理数与数轴点不是一一对应关系，数轴包含无理数对应点。 5. 绝对值取值辨析：绝对值等于自身相反数的数是负数和0，极易遗漏0。 6. 概念功能辨析：相反数用于改变数的符号，绝对值用于统一数的非负属性，二者功能完全不同。 1. 有理数分类时遗漏0，出现分类不全的错误。 2. 主观认为带负号的数一定是负数，忽略字母取值的分类讨论。 3. 绘制数轴时缺失三要素、单位长度不统一，作图不规范。 4. 多重符号化简时负号个数统计错误，导致最终符号出错。 5. 计算负数绝对值时，误将结果写为负数，违背绝对值非负性。 6. 比较两个负数大小时，直接比较绝对值大小，颠倒原数大小关系。 7. 多个绝对值相加为0的题型，仅单独令一项为0，忽略全部项需同时为0。 8. 判定非负整数、非正整数时，错误纳入分数、小数。 9. 混淆无限循环小数与无限不循环小数的有理数归属。 10. 忽略0的基准意义，实际正负数应用题解读结果出错。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★★ 题型二 相反意义的量 ★★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义 ★★ 题型五 有理数的分类 ★★★ 题型六 带 “非” 字的有理数 ★★★ 题型七 数轴的三要素及其画法 ★★ 题型八 用数轴上的点表示有理数 ★★ 题型九 相反数的定义 ★★ 题型十 化简多重符号 ★★★ 题型十一 相反数的应用 ★★★ 题型十二 绝对值的几何意义 ★★★ 题型十三 求一个数的绝对值 ★★ 题型十四 有理数大小比较 ★★ 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 ★★★ 题型十六 有理数大小比较的实际应用 ★★★ 题型十七 数轴上两点之间的距离 ★★★ 题型十八 数轴上点的平移 ★★★★ 题型十九 数轴上找原点 ★★★★ 题型二十 数轴上整点覆盖问题 ★★★★ 题型二十一 数轴上的规律探究 ★★★★★ 题型二十二 绝对值非负性 ★★★★ 题型二十三 绝对值的其他应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：正负数的定义 解题思路：①依据定义判定正负，牢记0既不属于正数，也不属于负数。②带有负号的代数式需先化简，再判定正负，不可仅凭表面符号直接下结论。 1．有一种计分方法：以分记为分，分记为分，小明同学得了分应记为______分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义解答即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵分记为分，分记为分， ∴小明同学得了分应记为分， 故答案为：． 2．早在两千多年前的《九章算术》中就有用算筹记录负数的记载．如：表示“”，而表示“”，按照这样的表示法，下面算筹所表示的数中，（    ）表示“”． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算筹表示数的方法，根据题意可知：算筹的计数方法是：横式中一“竖”表示1、二“竖”表示2、三“竖”表示3；纵式一“横”表示1；个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，筹上面斜着放一支算筹表示负数，据此解答即可． 【详解】 解：根据题意，得：表示“” 故选：C． 3．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 题型二 相反意义的量 解题思路：①确认两个量的物理属性一致、意义互斥。②指定其中一类量为正，与之对应的另一类记作负。③搭配对应数值完成书写。 4．有一种记分方法：以80分为标准，88分记为分，某同学得分为74分，则该同学分数应记为（     ） A．分 B．0分 C．2分 D．分 【答案】D 【详解】解：∵以80分为标准，88分记为分，即， ∴记分规则为：实际分数减去标准分，所得结果即为最终记分． ∵， ∴ 74分应记为分． 5．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，指在解决实际问题时，常会遇到两种意义相反的“量”，如盈利与亏损、增加与减少等，为了区分这两种相反意义的量，需要用正负数来表示．下面表示互为相反意义的量的是（     ） A．比标准体重多4千克与低于标准身高4厘米 B．足球比赛中，进5个球与失3个球 C．向南走100米与向东走100米 【答案】B 【分析】先明确互为相反意义的量的判定条件：属于同一类量，且意义相反，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：∵互为相反意义的量需要同时满足两个条件：①属于同一范畴的同一类量；②意义相反. 对选项A：两个量分别是体重和身高，不属于同一类量，不满足条件； 对选项C：向南和向东不是相反意义，向南的相反意义是向北，不满足条件； 对选项B：进球和失球是描述足球得分得失的同一类量，且意义相反，满足互为相反意义的量的要求. 6．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 题型三 正负数的实际应用 解题思路：①提取题干基准值。②根据正负约定表示偏离基准的数据。③运算后还原结果对应的实际含义。 7．祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据定义找出气温为负数的城市，统计个数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴气温为负数的城市共3个． 8．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 9．如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 题型四 有理数的定义 解题思路：①整数与分数统称为有理数。②有限小数、无限循环小数能够化为分数，属于有理数；无限不循环小数不属于有理数。 10．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 11．在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵0是整数， ∴0是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵ π是无限不循环小数， ∴π不是有理数； ∵是整数， ∴是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数， ∴有理数有5个， 故选：D 12．下列说法不正确的是（    ） A．任意一个有理数的绝对值一定是正数 B．既不是正数也不是负数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．的绝对值是 【答案】A 【分析】根据为有理数，的绝对值是，既不是正数也不是负数，得出错误；然后再根据既不是正数，也不是负数；整数和分数统称为有理数；的绝对值是；判断出、、正确，即可得出答案． 【详解】解：、是有理数，的绝对值是，既不是正数也不是负数，故本选项错误，符合题意； 、既不是正数也不是负数，本选项正确，不符合题意； 、整数和分数统称为有理数，本选项正确，不符合题意； 、的绝对值是，本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】考查有理数的相关概念，绝对值的意义，掌握有理数的相关概念是解题的关键． 题型五 有理数的分类 解题思路：①区分两套分类标准：按整数、分数划分；按正数、零、负数划分。②先判定所属数系，再判断符号属性。③分类过程中切勿遗漏0。 13．下列各数中：．属于非负数的有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．根据大于或等于0的数成为非负数，即可得出结果． 【详解】解： 其中属于非负数的有：   故答案为 ：3. 14．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 15．已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 题型六 带 “非” 字的有理数 解题思路：①明确术语含义：非正数≤0，非负数≥0；非负整数、非正整数在此范围内再限定整数。②先划定取值区间，再筛选整数。③注意纳入0。 16．绝对值小于4的所有非负整数的积等于______． 【答案】0 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：绝对值小于4的所有非负整数有，它们的积为0． 故答案为：0． 17．把下列各数中：，，0，，，，，非负数有_____________个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，多重符号化简，非负数的定义，解题的关键是掌握非负数的定义． 先利用求一个数的绝对值，多重符号化简的法则求出结果，再根据非负数的定义求解即可． 【详解】解：，，， 非负数有：，0，，， 故答案为：4． 18．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 题型七 数轴的三要素及其画法 解题思路：①绘制直线，依次标注原点、规定正方向、设定统一的单位长度。②核查三要素完备。③保证相邻刻度间距相等。 19．画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【知识点】数轴的三要素及其画法 20．下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：A、此数轴无正方向，本选项不符合题意； B、此数轴无原点，本选项不符合题意； C、此数轴表示正确，本选项符合题意； D、此数轴单位标注错误，本选项不符合题意； 故选：C． 21．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 题型八 用数轴上的点表示有理数 解题思路：①依据正负判断点位处于原点左侧或右侧。②对照单位长度确定精确位置。③在数轴上标注对应点。 22．如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴上的点的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； 因为， 故数轴上的点表示的数在和之间的是点； 故选C 23．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是________， 【答案】1或5 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 24．下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 题型九 相反数的定义 解题思路：①只有符号存在差异的两个数互为相反数。②规定0的相反数是0。③求一个数的相反数，只需改变它前面的符号。 25．已知是的相反数，则______． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵是的相反数， ∴． 26．下列各组数中，互为相反数的有（    ） ①与； ②与； ③与． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再依据“只有符号不同两个数互为相反数；特别的，0的相反数为0”的定义，逐一判断每组数是否互为相反数，最后统计符合条件的组数． 【详解】①∵，∴与是同一个数，不是相反数， ②∵，∴与只有符号不同，互为相反数，即：与互为相反数， ③∵，∴与只有符号不同，互为相反数，即：与互为相反数． 综上，②③两组数互为相反数，共有组． 27．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 题型十 化简多重符号 解题思路：①统计负号的总个数。②负号个数为偶数，化简结果取正；负号个数为奇数，化简结果取负。③数字本体保持不变。 28．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 29．比较大小：_____________．（填“”、“”或“ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，化简绝对值和多重符号，先化简绝对值和多重符号，再比较有理数大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 30．下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 题型十一 相反数的应用 解题思路：①互为相反数的两数之和为0。②依托该等量关系建立方程。③求解方程得到未知量。 31．若 ，则 的值是 (   ) A． B． C．无意义 D．或无意义 【答案】D 【分析】分，两种情形计算即可． 【详解】当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴无意义， ∴的值是或无意义， 故选D． 【点睛】本题考查了相反数的意义，及其商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 32．和互为相反数，那么________． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 33．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为______．    【答案】 【分析】根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，绝对值的意义，相反数的意义计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，绝对值，相反数的意义，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 题型十二 绝对值的几何意义 解题思路：①|a|表示数轴上代表a的点到原点的距离。②距离具有非负性。③把文字描述转化为对应的绝对值表达式。 34．数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：∵位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点到原点的距离先减小后增大， ∴根据绝对值的几何意义可得，这个点所对应的数的绝对值先减小后增大， 故选：D． 35．下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质． 根据绝对值的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：绝对值不大于3的整数包括，共7个，∴ A错误； B：若，则，a可以是0或负数，不一定是负数，∴ B错误； C：任意有理数的绝对值都是非负数，∴ C正确； D：若，则，但反之若，则，∴ D错误； 故选：C． 36．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 37．已知a、b为整数，，且，则a的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 题型十三 求一个数的绝对值 解题思路：①判断该数为正数、负数或零。②正数的绝对值等于自身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0。 38．计算：_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个数的绝对值，当a是负数时，，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 39．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的计算公式，根据当一个代数式的绝对值等于它的相反数时，该代数式为非正数，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴； 故选：C． 40．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 题型十四 有理数大小比较 解题思路：①正数＞0＞负数，正数大于任意负数。②比较两个负数时，绝对值越大，原数越小。③亦可借助数轴：右侧点对应的数大于左侧点对应的数。 41．下列各数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较．通过比较各数的大小，负数小于正数，且绝对值大的负数更小，即可求解． 【详解】解：负数小于正数， 和均小于和； ， 是最小的数． 故选：A． 42．在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分数化为小数，统一数的形式后比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴最小的数是． 43．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值的定义化简各组中的数，再根据有理数大小比较法则判断：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． 44．若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质与比大小，掌握好等式的两条性质是解题关键． 利用等式的性质，将已知等式转化为用a表示b和c，然后比较大小． 【详解】解：根据等式的性质，等价于， ∴， 等价于， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 解题思路：①将所有待比较的数标注于数轴。②利用数轴自左向右数值递增的规律排序。③按需按升序或降序写出结果。 45．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 46．有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 47．数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键；先根据数轴，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴， ∴可能表示数的点是C． 故选∶C． 题型十六 有理数大小比较的实际应用 解题思路：①把实际问题中的量化为有理数。②选用合适规则比较数值。③将比较结论对应回实际背景进行解释。 48．手机导航中常用“”（交通信息频道）来实时反映路况拥堵情况．通常用“”到“3”之间的整数表示，数值越小表示越拥堵．以下是某城市四个路段在早高峰时的值：甲：，乙：1，丙：，丁：0．则最拥堵的路段是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据值的定义，数值越小表示越拥堵，直接比较四个路段的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵数值越小表示越拥堵， ∴最拥堵的路段是丙， 故选：C． 49．如图，加工一种轴时，轴直径在毫米到毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通常用来表示这种轴的加工要求，这里表示直径是300毫米，表示最大限度可以比300毫米多毫米，表示最大限度可以比300毫米少毫米．现加工四根轴，轴直径的加工要求是．下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数的知识，先求出合格的范围是解题的关键．根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格． 【详解】解：由题意得：合格范围为：到， ∵， ∴选项A不合格． 故选：A． 50．根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 【答案】A 【详解】解：小杰的速度：＝3.4米/秒， 小丽的速度：＝米/秒， 小磊的速度：＜3米/秒， 小明的速度：＝3.2米/秒， ∵3.4是最大的数， ∴步行速度最快的是小杰； 故选：A． 【点睛】本题考查了行程问题中的速度的计算和有理数大小比较，熟练掌握路程÷时间＝速度是关键． 题型十七 数轴上两点之间的距离 解题思路：①设两点对应的有理数分别为a、b。②两点距离公式：|a-b|。③去掉绝对值符号，算出距离。 51．如图，数轴上标出了、、、四点，其中两点间距离为的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离，根据数轴写出两点间距离为的情形，即可求解． 【详解】解：数轴上标出了、、、四点，其中两点间距离为的有，共2种． 故选：B． 52．在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 53．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D．2.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了刻度尺与数轴上的刻度对应变换．熟练掌握两点间的距离公式，是解决问题的关键． 根据数轴与刻度尺上对应的起点到终点的距离相等，列式计算即可． 【详解】刻度尺上“”对应数轴上的数为：． 故选：C． 题型十八 数轴上点的平移 解题思路：①确定动点初始对应的数值。②向右平移执行加法运算，向左平移执行减法运算。③列式计算平移之后对应的数。 54．如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故选：B． 55．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 56．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 题型十九 数轴上找原点 解题思路：①根据已知点的坐标和刻度间距求出单位长度。②沿数轴反向推算原点位置。③标记原点。 57．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中______可能是数轴的原点． 【答案】C或D 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，分当原点在数b右侧时，原点在数a和数b之间，根据和，据此建立关于b的方程，解方程求出b，进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数的绝对值是的绝对值的3倍，且两个数之间的距离为， ∴当原点在数b右侧时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为， 此时点D是数轴的原点， 当原点在数a和数b之间，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， 此时点C是数轴的原点， 当原点在数a左侧时，，不符合题意， 综上所述：、可能是数轴的原点． 故答案为：C或． 58．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 59．如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义、在数轴上表示点的位置、确定数轴的原点，根据相反数的定义和数轴的单位长度为1，可得数轴上的点A和点C表示的数分别为、2，再根据数轴上点B的位置求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等， ∴点A和点C表示的数互为相反数， ∵数轴的单位长度为1， ∴的中点是数轴的原点， ∴数轴上的点A和点C表示的数分别为、2， ∴数轴上的点B表示的数是， 故选：D． 题型二十 数轴上整点覆盖问题 解题思路：①区分线段端点是否落在整点上。②端点为整点：覆盖整点数量＝线段长度+1；端点不为整点：覆盖整点数量取长度的整数部分。③核验边界特例。 60．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 61．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 62．如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 题型二十一 数轴上的规律探究 解题思路：①列举前几项对应的数值。②识别周期变化或者递推关系。③归纳通用规律。④代入序号求得目标项。 63．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 64．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是________． 【答案】Q 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为4，且，，，为圆的四等分点，可得数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点，求得到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点， ∵数轴上表示的点到2的距离为，， ∴圆上落在数轴上的点是Q， 故答案为：Q． 65．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 题型二十二 绝对值非负性 解题思路：①任意有理数的绝对值满足|a|0。②若干个绝对值相加等于0，则每一项绝对值均等于0。③分别列方程求解未知数。 66．如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 67．若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查绝对值非负性，理解题意是解决问题的关键． 由题意可知，当最小时，式子存在最大值，再结合可得当时，取得最大值，为，即可得到答案． 【详解】解：当最小时，式子存在最大值， ， 当时，取得最大值，为， 故选：B． 68．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 题型二十三 绝对值的其他应用 解题思路：①依据题意建立绝对值关系式。②按绝对值内部代数式的正负分类讨论，去掉绝对值符号。③分别求解，检验解是否符合对应分类的前提条件。 69．足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数的含义，绝对值的意义．根据正负数的意义，绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴最接近标准质量的足球是． 故选：D． 70．在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是______号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用． 71．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，，， ∴， ∴． 故选：C． 【考点】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 解答题 1．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{____________ }； 分数：{____________ }； 非负整数：{____________ }； 正有理数：{____________ }． 【答案】；；； 【分析】本题重点考查​有理数的分类（包括整数、分数、非负整数、正有理数）​，​明确各类数的定义并准确判断每个数所属类别是解题的关键． 根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：，， 整数：； 分数：； 非负整数：； 正有理数：． 2．操作与探索： (1)如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数； (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：； (3)如图2，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？ 【答案】(1)A、B、C、D表示的数分别是，，0，2 (2) 如图，即为所求， (3)①，，0，1，2；②或0 【分析】本题主要考查了对数轴知识的掌握，关键是能读懂数轴，能从数轴上找出各数． （1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的数值． （2）根据数轴的知识，准确的画出数值在数轴上的位置． （3）从数轴上找到这些点． 【详解】（1）解：A、B、C、D表示的数分别是，，0，2； （2）略 （3）解：①由数轴得，大于并且小于3的整数有5个：，，0，1，2； ②；． 即在数轴上到表示的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是或0． 3．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 4．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C中的其中1个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2) 当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）略 5．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 6．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2) ∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数的引入精讲学案 核心立意 本节实现小学算术数到初中有理数的数域扩充，通过负数定义相反意义的量，依托数轴建立数形结合模型，以相反数、绝对值精准定义有理数符号与距离属性。为本章有理数四则运算、大小比较、数轴综合题型奠定全部概念基础，核心培养符号意识、分类思想、数形结合思想。 相反意义的量 1.定义：日常生活中，属性相同、意义彼此相反的两类量。 ✅示例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下、盈利与亏损。 2. 判断两大条件： ① 属于同一类量；② 意义相反；数量大小可以不相等。 ⚠️易错：“上升 5 米” 和 “下降 3 千克”不是相反意义的量（量的类型不同）。 正数、负数的定义 1.正数：大于 0 的数；数字前可带 “+”（正号），正号通常省略。 例：+3、2.4、，一般直接写作3、2.4、 2.负数：在正数前面添加 “(-)”（负号）得到的数，负号不能省略。 例：-5、-1.6、- 3.0 的核心性质：0既不是正数，也不是负数；0 是正数与负数的分界。 正负数的应用规则 先规定其中一种意义为正，则相反意义规定为负。 例：规定向东为正，向东走8m记作+8m，向西走6m记作-6m。 拓展：0 不单单代表 “没有”，在实际情境中代表基准水平面、基准温度、标准位置。 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 👉 数轴三要素（三者缺一不可）：原点、正方向、单位长度 1.原点：数轴上表示0的点，是正负数分界点； 2.正方向：一般规定向右为正方向（箭头向右）； 3.单位长度：选取统一长度作为标准，同一数轴单位长度必须一致。 数轴画法步骤 1.画一条水平直线； 2.在直线上取一点标注原点O； 3.向右画出箭头，标明正方向； 4.选取合适长度作为单位长度，依次标注数字。 数轴核心性质 所有有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示； ⚠️反过来：数轴上的点不都代表有理数（将来学习无理数）。 2.数轴上数的分布规律： 原点右侧：全部是正数；原点左侧：全部是负数；原点代表0； 3.在数轴上，右边的数总大于左边的数； 4.数轴上两点距离：若两点代表数a、b，两点距离=|a-b|。 易错题提醒 ❌错误：没有箭头、原点左右单位长度不一样、不标注原点的直线不是数轴。 数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 绝对值几何定义 数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点10:绝对值代数法则（去绝对值核心） 重要结论 1.若|a|=|b|，则a=b 或 a=-b； 2.绝对值最小的有理数是0。 绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 有理数大小比较 方法 1：数轴比较法（数形结合，通用方法） 数轴上，右侧的数 > 左侧的数 可得：正数>0，负数<0，正数>负数。 方法 2：负数大小比较法则 两个负数比较大小：绝对值大的负数，数值反而更小 例：比较-4和-2 |-4|=4, |-2|=2，4>2，所以-4<-2 相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 重点辨析（高频易混精准区分） 1. 符号与数的属性辨析：带负号的代数式不一定是负数，-a的正负由a的取值决定，不可凭表面符号判定。 2. 小数分类辨析：并非所有小数都是有理数，仅有限小数、无限循环小数属于有理数。 3. “非类数”范围辨析：非负数=正数+0；非正数=负数+0；非负整数=正整数+0；非正整数=负整数+0，所有非类数均包含0。 4. 数轴点的对应辨析：有理数与数轴点不是一一对应关系，数轴包含无理数对应点。 5. 绝对值取值辨析：绝对值等于自身相反数的数是负数和0，极易遗漏0。 6. 概念功能辨析：相反数用于改变数的符号，绝对值用于统一数的非负属性，二者功能完全不同。 1. 有理数分类时遗漏0，出现分类不全的错误。 2. 主观认为带负号的数一定是负数，忽略字母取值的分类讨论。 3. 绘制数轴时缺失三要素、单位长度不统一，作图不规范。 4. 多重符号化简时负号个数统计错误，导致最终符号出错。 5. 计算负数绝对值时，误将结果写为负数，违背绝对值非负性。 6. 比较两个负数大小时，直接比较绝对值大小，颠倒原数大小关系。 7. 多个绝对值相加为0的题型，仅单独令一项为0，忽略全部项需同时为0。 8. 判定非负整数、非正整数时，错误纳入分数、小数。 9. 混淆无限循环小数与无限不循环小数的有理数归属。 10. 忽略0的基准意义，实际正负数应用题解读结果出错。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★★ 题型二 相反意义的量 ★★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义 ★★ 题型五 有理数的分类 ★★★ 题型六 带 “非” 字的有理数 ★★★ 题型七 数轴的三要素及其画法 ★★ 题型八 用数轴上的点表示有理数 ★★ 题型九 相反数的定义 ★★ 题型十 化简多重符号 ★★★ 题型十一 相反数的应用 ★★★ 题型十二 绝对值的几何意义 ★★★ 题型十三 求一个数的绝对值 ★★ 题型十四 有理数大小比较 ★★ 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 ★★★ 题型十六 有理数大小比较的实际应用 ★★★ 题型十七 数轴上两点之间的距离 ★★★ 题型十八 数轴上点的平移 ★★★★ 题型十九 数轴上找原点 ★★★★ 题型二十 数轴上整点覆盖问题 ★★★★ 题型二十一 数轴上的规律探究 ★★★★★ 题型二十二 绝对值非负性 ★★★★ 题型二十三 绝对值的其他应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：正负数的定义 解题思路：①依据定义判定正负，牢记0既不属于正数，也不属于负数。②带有负号的代数式需先化简，再判定正负，不可仅凭表面符号直接下结论。 1．有一种计分方法：以分记为分，分记为分，小明同学得了分应记为______分． 2．早在两千多年前的《九章算术》中就有用算筹记录负数的记载．如：表示“”，而表示“”，按照这样的表示法，下面算筹所表示的数中，（    ）表示“”． A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 相反意义的量 解题思路：①确认两个量的物理属性一致、意义互斥。②指定其中一类量为正，与之对应的另一类记作负。③搭配对应数值完成书写。 4．有一种记分方法：以80分为标准，88分记为分，某同学得分为74分，则该同学分数应记为（     ） A．分 B．0分 C．2分 D．分 5．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，指在解决实际问题时，常会遇到两种意义相反的“量”，如盈利与亏损、增加与减少等，为了区分这两种相反意义的量，需要用正负数来表示．下面表示互为相反意义的量的是（     ） A．比标准体重多4千克与低于标准身高4厘米 B．足球比赛中，进5个球与失3个球 C．向南走100米与向东走100米 6．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 题型三 正负数的实际应用 解题思路：①提取题干基准值。②根据正负约定表示偏离基准的数据。③运算后还原结果对应的实际含义。 7．祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 9．如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 题型四 有理数的定义 解题思路：①整数与分数统称为有理数。②有限小数、无限循环小数能够化为分数，属于有理数；无限不循环小数不属于有理数。 10．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 11．在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 12．下列说法不正确的是（    ） A．任意一个有理数的绝对值一定是正数 B．既不是正数也不是负数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．的绝对值是 题型五 有理数的分类 解题思路：①区分两套分类标准：按整数、分数划分；按正数、零、负数划分。②先判定所属数系，再判断符号属性。③分类过程中切勿遗漏0。 13．下列各数中：．属于非负数的有______个． 14．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 15．已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 题型六 带 “非” 字的有理数 解题思路：①明确术语含义：非正数≤0，非负数≥0；非负整数、非正整数在此范围内再限定整数。②先划定取值区间，再筛选整数。③注意纳入0。 16．绝对值小于4的所有非负整数的积等于______． 17．把下列各数中：，，0，，，，，非负数有_____________个． 18．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型七 数轴的三要素及其画法 解题思路：①绘制直线，依次标注原点、规定正方向、设定统一的单位长度。②核查三要素完备。③保证相邻刻度间距相等。 19．画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 20．下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   21．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 用数轴上的点表示有理数 解题思路：①依据正负判断点位处于原点左侧或右侧。②对照单位长度确定精确位置。③在数轴上标注对应点。 22．如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 23．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是________， 24．下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 题型九 相反数的定义 解题思路：①只有符号存在差异的两个数互为相反数。②规定0的相反数是0。③求一个数的相反数，只需改变它前面的符号。 25．已知是的相反数，则______． 26．下列各组数中，互为相反数的有（    ） ①与； ②与； ③与． A．组 B．组 C．组 D．组 27．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 题型十 化简多重符号 解题思路：①统计负号的总个数。②负号个数为偶数，化简结果取正；负号个数为奇数，化简结果取负。③数字本体保持不变。 28．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 29．比较大小：_____________．（填“”、“”或“ 30．下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 相反数的应用 解题思路：①互为相反数的两数之和为0。②依托该等量关系建立方程。③求解方程得到未知量。 31．若 ，则 的值是 (   ) A． B． C．无意义 D．或无意义 32．和互为相反数，那么________． 33．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为______．    题型十二 绝对值的几何意义 解题思路：①|a|表示数轴上代表a的点到原点的距离。②距离具有非负性。③把文字描述转化为对应的绝对值表达式。 34．数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 35．下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 36．如果，那么______． 37．已知a、b为整数，，且，则a的最小值为______． 题型十三 求一个数的绝对值 解题思路：①判断该数为正数、负数或零。②正数的绝对值等于自身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0。 38．计算：_________________ ． 39．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 题型十四 有理数大小比较 解题思路：①正数＞0＞负数，正数大于任意负数。②比较两个负数时，绝对值越大，原数越小。③亦可借助数轴：右侧点对应的数大于左侧点对应的数。 41．下列各数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 42．在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 43．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 44．若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 解题思路：①将所有待比较的数标注于数轴。②利用数轴自左向右数值递增的规律排序。③按需按升序或降序写出结果。 45．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 46．有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 47．数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型十六 有理数大小比较的实际应用 解题思路：①把实际问题中的量化为有理数。②选用合适规则比较数值。③将比较结论对应回实际背景进行解释。 48．手机导航中常用“”（交通信息频道）来实时反映路况拥堵情况．通常用“”到“3”之间的整数表示，数值越小表示越拥堵．以下是某城市四个路段在早高峰时的值：甲：，乙：1，丙：，丁：0．则最拥堵的路段是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 49．如图，加工一种轴时，轴直径在毫米到毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通常用来表示这种轴的加工要求，这里表示直径是300毫米，表示最大限度可以比300毫米多毫米，表示最大限度可以比300毫米少毫米．现加工四根轴，轴直径的加工要求是．下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（   ） A． B． C． D． 50．根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 题型十七 数轴上两点之间的距离 解题思路：①设两点对应的有理数分别为a、b。②两点距离公式：|a-b|。③去掉绝对值符号，算出距离。 51．如图，数轴上标出了、、、四点，其中两点间距离为的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 52．在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 53．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D．2.6 题型十八 数轴上点的平移 解题思路：①确定动点初始对应的数值。②向右平移执行加法运算，向左平移执行减法运算。③列式计算平移之后对应的数。 54．如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 55．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 56．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 题型十九 数轴上找原点 解题思路：①根据已知点的坐标和刻度间距求出单位长度。②沿数轴反向推算原点位置。③标记原点。 57．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中______可能是数轴的原点． 58．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 59．如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 题型二十 数轴上整点覆盖问题 解题思路：①区分线段端点是否落在整点上。②端点为整点：覆盖整点数量＝线段长度+1；端点不为整点：覆盖整点数量取长度的整数部分。③核验边界特例。 60．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 61．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 62．如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二十一 数轴上的规律探究 解题思路：①列举前几项对应的数值。②识别周期变化或者递推关系。③归纳通用规律。④代入序号求得目标项。 63．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 64．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是________． 65．如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 题型二十二 绝对值非负性 解题思路：①任意有理数的绝对值满足|a|0。②若干个绝对值相加等于0，则每一项绝对值均等于0。③分别列方程求解未知数。 66．如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 67．若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 68．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 题型二十三 绝对值的其他应用 解题思路：①依据题意建立绝对值关系式。②按绝对值内部代数式的正负分类讨论，去掉绝对值符号。③分别求解，检验解是否符合对应分类的前提条件。 69．足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 70．在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是______号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 71．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{____________ }； 分数：{____________ }； 非负整数：{____________ }； 正有理数：{____________ }． 2．操作与探索： (1)如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数； (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：； (3)如图2，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？ 3．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 4．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C中的其中1个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 5．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 6．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $