专题08线段精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学导学案聚焦线段、射线、直线的概念辨析，涵盖长短比较、尺规作图、中点及等分点计算等核心内容。通过生活实例如钉钉子固定木条、流星划过夜空导入，衔接点线面体关系，搭建从现实情境到几何概念的学习支架。 资料通过三线对比表、易错辨析及分题型设计（基础到拔高），强化几何直观与抽象能力，培养分类讨论的数学思维。规范作图步骤与几何书写，提升数学语言表达，助力学生建立图形意识，发展推理能力与创新意识。

专题08线段精讲学案 核心立意 分清直线、射线、线段的概念差异，掌握线段长短比较与尺规作图操作；熟练运用中点、等分点求解线段长度；规范几何书写和作图习惯，建立图形意识，初步形成分类讨论的几何思维。 线段、射线、直线的概念、表示方法 1. 定义 线段：直线上两点和两点之间的部分，有 2 个端点，可以度量长度。 射线：将线段的一端无限延长得到，1 个端点，不可度量。 直线：将线段两端无限延长得到，没有端点，不可度量。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 基本事实（公理，必须背诵） 1.两点确定一条直线 释义：经过两点，有且只有一条直线。 生活实例：钉钉子固定木条。 2.两点之间，线段最短 释义：连接两点的所有路径中，线段长度最短。 👉两点之间的距离：联结两点的线段的长度。 ⚠️易混辨析： 线段是图形；距离是长度（数值），不能说 “两点之间距离是线段”。 线段的长短比较 尺规作图：作一条线段等于已知线段 （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 线段相关知识 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 重点辨析 1. 仅线段具备可度量属性，射线、直线不能量取长度。 2. 距离代表长度，属于数量，线段是几何图形，二者不能等同。 3. 中点必须落在线段之上，延长线上的点不是中点。 4. 尺规作图需要保留圆弧痕迹，不可直接用直尺量画。 ①判断题混淆三线能否度量； ②将两点间距离错误理解为线段图形； ③统计图中射线、线段数量，发生漏数、重复计数； ④中点计算题忽略点在延长线上的情况，造成漏解； ⑤尺规作图省略圆弧痕迹，作图格式不合规范； ⑥n等分点题型误判目标线段对应的份数； ⑦书写延长线时方向混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 点、线、面、体四者之间的关系 ★★ 题型二 两点确定一条直线 ★★ 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 ★★ 题型四 两点之间线段最短 ★★★ 题型五 两点间的距离 ★★★ 题型六 直线、线段、射线的数量问题 ★★★ 题型七 线段的和与差 ★★★ 题型八 作线段 ★★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★提升；★★★★★难题 题型一：点、线、面、体四者之间的关系 解题思路：①熟记核心规律：点动成线，线动成面，面动成体；②分清基本属性：点只有位置，无大小；线只有长短，无粗细；面只有长宽，无厚薄；③看清运动方式是平移还是旋转，判断运动后形成的几何图形。 1．2025年12月，有“全年最强流星雨”的双子座流星雨如期而至，流星划破夜空，留下美丽的弧线，从数学的角度解释为_____． 2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”．下列现象中能反映“线动成面”的是（） A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周 C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动 3．《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 题型二 两点确定一条直线 解题思路：①牢记公理：经过两点有且只有一条直线；②审题找出题目中的两个定点；③作图或者说理时，直接引用这条公理，判断能够画出直线的条数。 4．如图所示，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_______________． 5．有下列现象： （1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上； （2）从A地到B地架设电线，尽可能地沿着线段来架设； （3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； （4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 6．如图，是两根木条，用两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为___________________． 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 解题思路：①从端点数量、能否延伸、可否度量三个维度区分三者；②看清端点，规范书写名称；③判断正误题重点核查延伸性、长度能否测量这类易错表述。 7．手电筒发出的光线，给我们的感觉是一条（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．弧线 8．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图，点在线段上 B．如图，点在射线上 C．如图，线段和射线有一个交点 D．如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点 9．平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（   ） A．点C在线段AB的延长线上 B．点C在线段AB上 C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 题型四 两点之间线段最短 解题思路：①熟记公理：两点之间，线段最短；②对比多条路径，分清折线、曲线、线段；③找最短路线直接选取线段；回答理由时规范写出公理原文。 10．如图，港珠澳大桥工程有效缩短城市间交通里程，推动前海、横琴等合作平台建设，共建优质生活圈．下面能解释里程缩短原因的是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．前三个选项都符合 11．“景莫妙于曲”，故园林中的桥多做成折角（如图），以形成一条折线，达到延长风景线，扩大景观画面的效果．其中蕴含的数学道理是________． 12．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 题型五 两点间的距离 解题思路：①明确概念：两点间的距离是两点之间线段的长度，是一个数量，不是线段这个图形；②定位两个端点；③算出线段对应的长度。 13．如图，在同一直线上有、、、四点．已知，，，则线段的长____． 14．在直线上顺次取不重合的，，，四点，则下列不一定正确的是(  ) A． B． C． D． 15．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型六 直线、线段、射线的数量问题 解题思路：①标出图中全部端点；②直线：任意两点只能确定一条直线，去重计数；③射线：一个端点朝两个方向各对应一条射线，按端点逐个统计；④线段：可以有序枚举或者套用公式计算，做到不漏数、不重复。 16．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 17．有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 18．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 19．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有、、、、、六个点，点沿直线从右往左移动，当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（    ）处 A．14 B．15 C．16 D．17 题型七 线段的和与差 解题思路：①观察图形，写出线段之间加减关系式；②代入已知线段的长度；③整理算式，求出目标线段长。 20．根据所示图形填空： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )( )； （5）( )( )． 21．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为、，如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则______． 22．已知为射线上两点，且，点为线段上一点，且．若点分别为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 作线段 解题思路：①用直尺画出一条起始射线；②圆规量取已知线段的长度；③在射线上截取对应长度，标出端点；④保留圆规画弧的痕迹，标注字母。 23．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，小明用尺规作图进行了如下操作：作射线，在射线上依次截取，在线段上点的左侧截取，分别找到线段，的中点，，则线段的长为______．（用含，的代数式表示） 25．如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 题型九 线段中点的有关计算 解题思路：①根据中点定义得到倍分关系：中点把线段分成相等的两段；②把相关短线段用未知数表示；③根据题给的长度条件列等式求解；④注意分类讨论：点在线段上、点在线段延长线上两种情形。 26．如图，为线段的中点，是线段的中点，，______． 27．已知线段的长度是20，是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，则____________． 28．如图，M是线段的中点，点C在线段上，N为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 29．如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段、的中点，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十 线段 n 等分点的有关计算 解题思路：①理解定义：n等分点将整条线段平均分成n等份；②先求出每一小份的长度；③确认所求线段包含多少个等分小段；④列式计算；⑤必要时对点的位置进行分类讨论。 30．线段，把它七等分，相邻两个等分点之间的距离是_____________． 31．如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是__________． 32．如图，C、D是线段上两点（点C在点D左侧），M、N分别是线段、的中点．若，，则的长度为________ ． 33．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 题型十一 线段之间的数量关系 解题思路：①选取最短线段设为未知数；②结合中点、等分点条件，把其余相关线段统一用该未知数表示；③根据题干给出的和、差、倍数关系建立方程；④算出结果后带回题图核验，检查点的位置是否合理，不要遗漏多解。 34．点C在线段上，若三条线段中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是（   ） A．6 B．4或6或8 C．4或6 D．6或8 35．如图， 点， ， ，在同一条直线上，，点为线段中点， 点为线段中点．则线段，，之间的关系为________________________． 36．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 解答题 1．如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    2．如图，已知直线，点P是直线外一点． (1)用直尺和圆规依次完成以下作图（保留作图痕迹）： ①作射线，且使射线经过点A； ②在射线上作线段，使； ③分别连接． (2)比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： 因为， 所以， 又因为______（   ）（填推理的依据）， 所以______． 3．如图，已知A，B，C，D四点． (1)经过这四点最多能确定______条线段． (2)若A，B，C，D为4个居民小区，现要在它们中间建一个购物中心E，使4个居民小区到购物中心E的距离之和最小，请在图中标出购物中心E的位置（保留作图痕迹），并说明理由． 4．如图，线段，延长至点，使得． (1)求线段的长； (2)若点是线段的中点，点是线段的中点，求的长． 5．如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08线段精讲学案 核心立意 分清直线、射线、线段的概念差异，掌握线段长短比较与尺规作图操作；熟练运用中点、等分点求解线段长度；规范几何书写和作图习惯，建立图形意识，初步形成分类讨论的几何思维。 线段、射线、直线的概念、表示方法 1. 定义 线段：直线上两点和两点之间的部分，有 2 个端点，可以度量长度。 射线：将线段的一端无限延长得到，1 个端点，不可度量。 直线：将线段两端无限延长得到，没有端点，不可度量。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 基本事实（公理，必须背诵） 1.两点确定一条直线 释义：经过两点，有且只有一条直线。 生活实例：钉钉子固定木条。 2.两点之间，线段最短 释义：连接两点的所有路径中，线段长度最短。 👉两点之间的距离：联结两点的线段的长度。 ⚠️易混辨析： 线段是图形；距离是长度（数值），不能说 “两点之间距离是线段”。 线段的长短比较 尺规作图：作一条线段等于已知线段 （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 线段相关知识 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 重点辨析 1. 仅线段具备可度量属性，射线、直线不能量取长度。 2. 距离代表长度，属于数量，线段是几何图形，二者不能等同。 3. 中点必须落在线段之上，延长线上的点不是中点。 4. 尺规作图需要保留圆弧痕迹，不可直接用直尺量画。 ①判断题混淆三线能否度量； ②将两点间距离错误理解为线段图形； ③统计图中射线、线段数量，发生漏数、重复计数； ④中点计算题忽略点在延长线上的情况，造成漏解； ⑤尺规作图省略圆弧痕迹，作图格式不合规范； ⑥n等分点题型误判目标线段对应的份数； ⑦书写延长线时方向混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 点、线、面、体四者之间的关系 ★★ 题型二 两点确定一条直线 ★★ 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 ★★ 题型四 两点之间线段最短 ★★★ 题型五 两点间的距离 ★★★ 题型六 直线、线段、射线的数量问题 ★★★ 题型七 线段的和与差 ★★★ 题型八 作线段 ★★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★提升；★★★★★难题 题型一：点、线、面、体四者之间的关系 解题思路：①熟记核心规律：点动成线，线动成面，面动成体；②分清基本属性：点只有位置，无大小；线只有长短，无粗细；面只有长宽，无厚薄；③看清运动方式是平移还是旋转，判断运动后形成的几何图形。 1．2025年12月，有“全年最强流星雨”的双子座流星雨如期而至，流星划破夜空，留下美丽的弧线，从数学的角度解释为_____． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，根据点动成线进行回答即可，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 【详解】解：流星划破夜空，留下美丽的弧线，从数学的角度解释为点动成线． 故答案为：点动成线． 2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”．下列现象中能反映“线动成面”的是（） A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周 C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动 【答案】C 【分析】本题主要考查点、线、面，熟练掌握点线面的关系是解题的关键．根据点、线、面的关系可进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意； B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意； C、打开折扇是线动成面，符合题意； D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意； 故选：C． 3．《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． 题型二 两点确定一条直线 解题思路：①牢记公理：经过两点有且只有一条直线；②审题找出题目中的两个定点；③作图或者说理时，直接引用这条公理，判断能够画出直线的条数。 4．如图所示，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_______________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质，正确理解直线的概念是解题的关键． 根据题意可直接进行解答． 【详解】解：由题意可得：这一实际应用符合“两点确定一条直线”这个数学知识点， 故答案为：两点确定一条直线． 5．有下列现象： （1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上； （2）从A地到B地架设电线，尽可能地沿着线段来架设； （3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； （4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】B 【分析】本题考查直线的基本性质“两点确定一条直线”的应用，需逐一判断每个现象是否基于该性质． 【详解】解：（1）中两个钉子固定木条，相当于两点确定一条直线，符合性质； （2）中沿线段架设电线，是基于“两点之间，线段最短”，不符合性质； （3）中两棵树确定一行树所在的直线，是基于两点确定一条直线，符合性质； （4）中公路改直缩短路程，是基于“两点之间，线段最短”，不符合性质； 综上，符合性质的现象有（1）和（3）． 故选：B． 6．如图，是两根木条，用两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为___________________． 【答案】两点确定一条直线(过所点有且只有一条直线或过一点不能确定一条直线) 【分析】分别分析木条a、b，各得出一个数学知识. 【详解】用一根钉子钉木条时，木条会转动，是因为：过一点有无数条直线 用两根钉子钉木条时，木条被固定不动，是因为：过两点有且只有一条直线 故答案为：两点确定一条直线(过所点有且只有一条直线或过一点不能确定一条直线) 【点睛】本题主要考查直线的概念，注意要分析a、b两根木条，故答案要写2句话. 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 解题思路：①从端点数量、能否延伸、可否度量三个维度区分三者；②看清端点，规范书写名称；③判断正误题重点核查延伸性、长度能否测量这类易错表述。 7．手电筒发出的光线，给我们的感觉是一条（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．弧线 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段的概念辨析，需结合三者的端点数量与延伸特性，联系实际场景判断即可． 【详解】解：因为直线无端点，向两方无限延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；线段有两个端点，长度有限；弧线是弯曲的线， 又因为手电筒发出的光线有一个端点（手电筒处），并向一个方向无限延伸， 所以其符合射线的特征， 故选：B． 8．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图，点在线段上 B．如图，点在射线上 C．如图，线段和射线有一个交点 D．如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线和线段有关的概念辨析，掌握相关概念是解题的关键．根据直线、射线、线段的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点在线段的延长线上，不在线段上，故原说法错误，不符合题意； B、点在直线上，不在射线上，故原说法错误，不符合题意； C、线段和射线有一个交点，故原说法正确，符合题意； D、直线没有延长线，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9．平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（   ） A．点C在线段AB的延长线上 B．点C在线段AB上 C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 【答案】B 【分析】根据AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC＋BC进行判断即可． 【详解】解答：解：如图，在平面内，AB＝10， ∵AC＝7，BC＝3， ∴点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径的两个圆的交点， 由于AB＝10＝7＋3＝AC＋BC， 所以，点C在线段AB上， 故选：B． 【点睛】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键． 题型四 两点之间线段最短 解题思路：①熟记公理：两点之间，线段最短；②对比多条路径，分清折线、曲线、线段；③找最短路线直接选取线段；回答理由时规范写出公理原文。 10．如图，港珠澳大桥工程有效缩短城市间交通里程，推动前海、横琴等合作平台建设，共建优质生活圈．下面能解释里程缩短原因的是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．前三个选项都符合 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，里程缩短的原因是两点之间，线段最短． 故选：C． 11．“景莫妙于曲”，故园林中的桥多做成折角（如图），以形成一条折线，达到延长风景线，扩大景观画面的效果．其中蕴含的数学道理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】根据线段的性质解答即可． 【详解】解：根据题意，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短． 12．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 【答案】A 【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可． 【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意； ②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意； ③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算． 题型五 两点间的距离 解题思路：①明确概念：两点间的距离是两点之间线段的长度，是一个数量，不是线段这个图形；②定位两个端点；③算出线段对应的长度。 13．如图，在同一直线上有、、、四点．已知，，，则线段的长____． 【答案】 【分析】根据，，，求得、的长度，再根据即可求解． 【详解】∵，，， ∴, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据条件先利用线段之间的关系得到、的长度． 14．在直线上顺次取不重合的，，，四点，则下列不一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是比较线段的长短，根据题意，画出图形，根据线段的比较大小可得答案． 【详解】解：如图： 根据图形可知：，，不一定小于，， 故选：C． 15．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由图可得最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段，枚举出不同的走法，即可求解． 【详解】解：最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段， 不同的走法有： 、右走段，再下走段； 、右走段，再下走段，最后右走段； 、右走段，再下走段，然后右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段； 、下走段，再右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段，然后下走段，最后右走段； ∴不同的走法共有种． 题型六 直线、线段、射线的数量问题 解题思路：①标出图中全部端点；②直线：任意两点只能确定一条直线，去重计数；③射线：一个端点朝两个方向各对应一条射线，按端点逐个统计；④线段：可以有序枚举或者套用公式计算，做到不漏数、不重复。 16．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 17．有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 【答案】 【分析】要得到最多线段，任意三个点不共线，按顺序统计不重复的线段即可求出总数． 【详解】解：要连成最多不同线段，需要任意三个点不共线，任意两点可连一条不同线段，按顺序统计不重复线段：第一个点可和其余个点连条线段，第二个点已和第一个点连线，可再连条不重复的新线段，第三个点已和前两个点连线，可再连条不重复的新线段，第四个点可再连条不重复的新线段，第五个点可再连条不重复的新线段，第六个点已和所有点完成连线，没有新线段，总线段数为 ． 18．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【答案】 【分析】先确定总站点数，车票与出发地和目的地的顺序有关，往返两站的车票为不同车票，计算所有不同顺序的两站组合数即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，线路两端分别为泰兴和太湖，加上中间的3个站点，总站点数为 个． ∵任意两站间往返车票不同， ∴每个站点可到达其余个站点， ∴不同车票的总数为． 19．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有、、、、、六个点，点沿直线从右往左移动，当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（    ）处 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据题意可知当点P为、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报，要使发出警报的位置最多，那么这两个点的中点位置要最多，即任意两个点的连线的中点不重合，则构成线段的条数即为发出警报的位置的最多数量． 【详解】解：∵当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候， ∴当点P为、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报， ∵要使发出警报的位置最多， ∴、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点互不重合， ∵、、、、、六个点可组成线段，，，，共15条线段， ∴直线上会发出警报的位置最多有15处． 题型七 线段的和与差 解题思路：①观察图形，写出线段之间加减关系式；②代入已知线段的长度；③整理算式，求出目标线段长。 20．根据所示图形填空： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )( )； （5）( )( )． 【答案】 【分析】根据线段的和与差，结合图形求解即可． 【详解】略 21．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为、，如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意得，设，则，然后通过重叠后的总长度为，得出一元一次方程，最后解方程即可． 【详解】解：∵甲纸条的与乙纸条的叠合在一起， ∴， 设，则， ∴重叠后的总长度为：， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 22．已知为射线上两点，且，点为线段上一点，且．若点分别为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算．由作图可得，，再结合线段的和差与线段中点的含义逐一分析即可． 【详解】解：由题意得：，， ，，， ∴， ， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 题型八 作线段 解题思路：①用直尺画出一条起始射线；②圆规量取已知线段的长度；③在射线上截取对应长度，标出端点；④保留圆规画弧的痕迹，标注字母。 23．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 24．如图，小明用尺规作图进行了如下操作：作射线，在射线上依次截取，在线段上点的左侧截取，分别找到线段，的中点，，则线段的长为______．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，线段中点的含义，线段的和差运算，掌握相关知识点是解题的关键． 由作图可得，，再结合线段的和差与线段中点的含义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由作图可得，，再结合线段的和差与线段中点的定义逐一分析即可． 【详解】解：由作图可得：，， ∴，，， 故①②③正确； ∵线段，的中点分别为E，F， ∴，， ∴，故④正确； ，故⑤正确， 综上，正确的有5个． 题型九 线段中点的有关计算 解题思路：①根据中点定义得到倍分关系：中点把线段分成相等的两段；②把相关短线段用未知数表示；③根据题给的长度条件列等式求解；④注意分类讨论：点在线段上、点在线段延长线上两种情形。 26．如图，为线段的中点，是线段的中点，，______． 【答案】 【分析】根据线段中点的性质解答即可． 【详解】解：点是线段的中点，， ． 点是线段的中点， ． 故答案为：． 27．已知线段的长度是20，是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，则____________． 【答案】20 【分析】根据线段中点的定义，结合线段的和差关系，将所求式子转化为已知长度的线段，即可计算出结果. 【详解】解：是线段的中点， ，即. ∵，， ∴. ∴； 又， ， ∴. 28．如图，M是线段的中点，点C在线段上，N为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点的定义得出，求出，再根据中点定义得出，最后根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：∵N为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∴． 29．如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段、的中点，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差．设，，求得，，据此求解即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，， ∵P、Q分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 题型十 线段 n 等分点的有关计算 解题思路：①理解定义：n等分点将整条线段平均分成n等份；②先求出每一小份的长度；③确认所求线段包含多少个等分小段；④列式计算；⑤必要时对点的位置进行分类讨论。 30．线段，把它七等分，相邻两个等分点之间的距离是_____________． 【答案】5 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 线段七等分，相邻等分点之间的距离等于总长度除以等分数． 【详解】解：线段，把它七等分，则相邻两个等分点之间的距离是 故答案为：5． 31．如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是__________． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 32．如图，C、D是线段上两点（点C在点D左侧），M、N分别是线段、的中点．若，，则的长度为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算． 根据得到，，根据中点的定义得到，进而得到，求出，即，根据中点的定义得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，， ∵M是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 33．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得． 由线段的和差，得，． 由线段的中点E、F，得： 由线段的和差，得， 解得：， （）， 故选：A． 题型十一 线段之间的数量关系 解题思路：①选取最短线段设为未知数；②结合中点、等分点条件，把其余相关线段统一用该未知数表示；③根据题干给出的和、差、倍数关系建立方程；④算出结果后带回题图核验，检查点的位置是否合理，不要遗漏多解。 34．点C在线段上，若三条线段中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是（   ） A．6 B．4或6或8 C．4或6 D．6或8 【答案】B 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况，分类讨论计算即可． 【详解】解：当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况： ①时，； ②时，； ③时，； 综上分析可知：的长是4或6或8． 故选：B． 35．如图， 点， ， ，在同一条直线上，，点为线段中点， 点为线段中点．则线段，，之间的关系为________________________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差运算，设，，得出，，根据中点的定义可得，，再进一步求解即可．掌握线段的中点的含义是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵点， ， ，在同一条直线上，， ∴， ∴， ∵点为线段中点， 点为线段中点， ∴，， ∴ ， ∴线段，，之间的关系为． 故答案为：． 36．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 解答题 1．如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    【答案】     【分析】本题考查了点动成线以及利用圆规画图等知识，画图时找准两段弧的半径是解答本题的关键． 根据点动成线，找到两段弧的半径画弧即可解答． 【详解】解：如图所示：    2．如图，已知直线，点P是直线外一点． (1)用直尺和圆规依次完成以下作图（保留作图痕迹）： ①作射线，且使射线经过点A； ②在射线上作线段，使； ③分别连接． (2)比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： 因为， 所以， 又因为______（   ）（填推理的依据）， 所以______． 【答案】(1) 所作出图形如图所示: ； (2) ，两点之间，线段最短；． 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了两点之间的距离． （1）根据几何语言画出几何图形； （2）利用两点之间线段最短得到，从而可判断． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，已知A，B，C，D四点． (1)经过这四点最多能确定______条线段． (2)若A，B，C，D为4个居民小区，现要在它们中间建一个购物中心E，使4个居民小区到购物中心E的距离之和最小，请在图中标出购物中心E的位置（保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】（1）连接各点，即可解答． （2）根据“两点之间，线段最短”，连接，，相交于点E，则点E为购物中心的位置． 【详解】（1）解：连接各点，可得线段，，，，，共6条线段． （2）解：购物中心E的位置如图所示， 理由：根据“两点之间，线段最短”， ， 所以将A与C，B与D分别用线段连起来，路程最短，在两线段的交点处建购物中心E时，4个居民小区到购物中心的距离之和最小． 4．如图，线段，延长至点，使得． (1)求线段的长； (2)若点是线段的中点，点是线段的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，根据图形得出线段之间的数量关系是解题的关键． （1）由，求出的长，继而求出的长； （2）根据线段中点的定义求出的长，继而求出的长，再根据线段中点的定义求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：点是线段的中点，， ， ， 点是线段的中点， ， ． 5．如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【答案】(1)15，，0和5； (2)4或1； (3)3秒或秒或10秒． 【分析】（1）由知线段的长为15；由，知线段的中点表示的数为；列式计算可得线段的三等分点表示的数为0和5； （2）设点表示的数为，可得表示的数为，故，解得或，即点表示的数为4或1； （3）设运动时间为秒，当时，表示的数为，求出，可得或，当时，表示的数为，可得或，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， 线段的长为15； ， 线段的中点表示的数为； ，， 线段的三等分点表示的数为0和5； （2）解：设点表示的数为， 将数轴沿点向右对折，点恰好与点重合， 是的中点， 表示的数为， ， ， 或， 解得或， 点表示的数为4或1； （3）解：设运动时间为秒， 根据题意，表示的数为，，点Q先向左运动时表示的数为， 由，得， 即时，点Q与P相遇， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得或； 当，相遇时，，相遇点表示的数为0， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为3或或10； 运动时间为3秒或秒或10秒． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $