精品解析：江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考 高一数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 将分解因式，结果正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】等价于，解得，即. 所以. 3. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 4. 已知对任意实数，式子 都有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 对任意实数，式子都有意义，，，解得． 5. 已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设描述的规律总结分析，求第2003个三角形周长. 【详解】由题设，第个三角形的周长是第个三角形的周长的一半，且第1个三角形周长为1， 所以第2003个三角形周长为. 故选：C 6. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，进而依据交集定义求得. 【详解】，，则， 则. 故选：A 7. 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 8. 已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数在上单调递减 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数定义、反比例函数的单调性，结合复合函数定义域的性质、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，根据函数的图象可知， 在和上单调递减，故B正确； 对于C，在函数中，，则， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D，若方程有两个不等的正实数根， 则解得，故D正确． 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数，则的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数式，对赋值4代入计算即得. 【详解】因为函数， 取，可得. 故答案为：9. 13. 已知命题“，”，则为____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题的规则，更换量词并否定原命题结论即可求解. 【详解】 根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题，需将全称量词替换为存在量词， 同时否定原命题的结论， 结论的否定为， 因此为。 14. 已知集合，，若，则实数的值为________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若，满足求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到不等式，求出实数的取值范围； （2）由根与系数的关系得出和的值，再代入得到关于的方程计算即可. 【小问1详解】 由题意得， ． 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 依题意有，， ， ，由（1）知，， 解得，舍去． 故的值是． 16. 已知集合，集合或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 当时，或，则， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 17. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为.无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为. （1）求两点之间的距离； （2）求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）.（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中根据已知的角度利用三角函数的定义求解即可； （2）在与中利用正弦函数和正切函数分别求出的长即可得出. 【小问1详解】 在中，， 由题意知， 所以， 即， 所以两点之间的距离大约为. 【小问2详解】 在中，， 所以， 即， 在中，， 所以， 由题意可得， 所以 所以， 即无人机从点到点的上升高度大约是. 18. 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （2）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得，∴实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知， 当，，得； 当，，得. 综上所述：实数的取值范围为. 19. 设函数. （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，若时，的最大值为10，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可. （2）根据二次函数的性质，结合区间定轴动问题求解方法求解即可. （3）根据二次函数在固定区间的最值求解即可. 【小问1详解】 函数开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，恒成立，等价于当时，. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，， 所以，即，此时无解，不符合题意； 当时，在上单调递减，所以. 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，令，则，即. 令，函数开口向上，对称轴为. 因为在上的最大值只能在区间端点处取得，而，， 当时，，所以，解得，满足题意； 当，，所以，解得，与矛盾，不满足题意. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考 高一数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 将分解因式，结果正确的是（   ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 4. 已知对任意实数，式子 都有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数在上单调递减 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数，则的值是___________ 13. 已知命题“，”，则为____________________________________． 14. 已知集合，，若，则实数的值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若，满足求的值． 16. 已知集合，集合或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为.无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为. （1）求两点之间的距离； （2）求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）.（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 18. 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 19. 设函数. （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，若时，的最大值为10，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $