江西九江市武宁县尚美中学2026-2027学年高一上学期开学考数学试题

**基本信息** 高一开学考数学试卷注重初高中知识衔接，通过家具厂利润计算（模型意识）、韦恩图应用（几何直观）等题，检测基础与能力，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|代数式比较、不等式解集、函数奇偶性|基础概念辨析，如充要条件判断| |多选题|3/18|方程根、基本不等式、命题真假|选项分层，如方程实根条件的逻辑推理| |填空题|3/15|集合运算、函数恒成立|实际情境，如强基班培优调查（数据意识）| |解答题|5/77|集合化简、一次函数、二次函数综合|综合应用，如利润函数最值（运算能力）、韦恩图证明（推理意识）|

参考答案 1.【答案】C 【分析】通过作差法结合基本不等式比较各选项代数式的大小，或代入符合条件的特殊值验证即可得出结果. 【详解】方法一：作差比较结合基本不等式 比较C与B： 计算差值：， 由，得、，故差值为正，即，排除B； 比较C与D： 计算差值：，故，排除D； 比较C与A：，等号成立条件为，与矛盾，故等号不成立，即，排除A. 方法二：特殊值验证法 取满足的特殊值、. 代入各选项计算：A：；B：；C：；D：. 显然为最大值，对应选项C. 2.C 【分析】利用七边形内角和和外角和性质即可. 【详解】在七边形中，其内角和为， 即 ， 因为七边形的外角和为，即， 则， 故选：C. 3.【答案】B 【详解】因为，，由不等式的解集可得, 令，得，得或， 由不等式的解集可得、是方程的解， 所以，所以. 4.【答案】B 【分析】由二次根式的运算逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，等式左边是无理数，右边是有理数，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 5.【答案】B 【解析】， 当且仅当 ，即 时取等。故选B。 6．D 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】因为，，当且仅当取等号，故A错误； 当时，满足，但是，B选项错误； 利用乘1法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确 7.【答案】B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 8．B 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 9.【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 10.【答案】ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 11.【答案】AC 【分析】逐项判断各选项的正确性即可. 【详解】对于A，显然为真命题； 对于B，一定为偶数，故B选项为假命题； 对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题； 对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题， 故选：AC. 12．【解答】解：设参加数学物理的人数为x人，参加物理和化学的有z人，参加数学化学的有y人， 则只参加物理的人数有60﹣24﹣x﹣z＝（36﹣x﹣z）人，只参加数学的有80﹣24﹣x﹣y＝（56﹣x﹣y）人，只参加化学的有50﹣24﹣y﹣z＝（26﹣y﹣z）人， 由题意得x+y+z＝22，故共有15+36+56+26﹣（x+y+z）+24＝135人．故答案为：135． 13.答案：7 解析：。 14.【答案】 【分析】设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可. 【详解】设，可得， 1.若，则， 可得对恒成立， 则，解得， 所以成立； 2.若，设，则， 可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上， 可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增， 可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减， 可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得， 即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 15．（1），；（2） 【分析】（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果； （2）由交集定义求得，根据可分为和两种情况构造出不等式求得结果. 【详解】（1）， （2）由（1）知： 当时，，解得：；当时，，解得： 综上所述： 【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误. 16.【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的增减性，随的增大而增大列不等式，求解即可； （2）由一次函数图象过原点的特征，代入原点坐标列方程，求解即可； （3）由一次函数图象经过的象限与系数的关系，列不等式组，求解即可． 【详解】（1）随的增大而增大， ，解得； （2）函数图象经过原点， 当时，，； （3）图象经过第二、三、四象限， ，解得． 17.【答案】（1）； （2）当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 【解析】 【分析】（1）分且和且两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【小问1详解】 当且时， ， 当且时， ， 综上，； 【小问2详解】 当且时， ， 当时，取得最大值，最大值为； 当且时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 18.【答案】(1)（i）   （ii）   ，两科都不喜欢的人数为5人 (2)     显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 【解析】略 19.【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2026-2027学年度上学期开学考 高一数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．已知下列四个代数式，若，则代数式的值最大的是（     ） A． B． C． D． 2．如下图所示，（    ）    A． B． C． D． 3.不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．-2 C．1 D． 4.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5.已知 ，则代数式 的最小值为（　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 6.已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 8.已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 10．设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 11．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有 　 　 人． 13.已知 . 14．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，. （1）化简集合A，B； （2）已知集合，若集合，求实数m的取值范围. 16．已知一次函数． (1)当为何值时，随的增大而增大； (2)当为何值时，函数图象经过原点； (3)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 17. 2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. （1）求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； （2）当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 18．在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 19．已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $