2.7有理数的混合运算题型综合压轴题专项训练 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 本专项聚焦有理数混合运算，构建“法则-运算-应用”三层递进的方法体系，通过错误分析、变式训练强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数乘除混合运算|1例+4变式|乘法法则（符号/绝对值）、除法转化倒数|从乘法到除法，强调符号确定与倒数应用| |含乘方的混合运算|1例+4变式|“先乘方再乘除后加减”顺序，符号优先|乘方拓展乘除，形成完整运算逻辑链| |新定义型问题|1例+3变式|新运算转化为常规运算，验证结果|抽象规则到具体计算，培养数学抽象能力| |实际应用|1例+2变式|用正负数表示量，列混合运算式|从数学运算到生活问题，体现应用意识|

第三讲 有理数的混合运算题型综合 类型一、有理数乘除混合运算 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 例1．计算： 解：原式……① ……② ……③ (1)上述解法有错误，错在哪一步？答：_________（填序号）； 错误的原因是___________________．(2)请写出这个计算题正确的计算过程． 【详解】（1）解：从第①步开始出现错误，原因是：同级运算没有按照从左到右的顺序进行； （2）解：． 【变式1】计算：(1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) . (2)18 . (3) . (4) 【详解】（1）解：（2）解： （4）解： ． （3）解： ； 类型二、含乘方的有理数的混合运算 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例2．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) （2）解： 【详解】（1）解： ； 【变式】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2） 原式． （3） ； （4） ． 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 例3．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）根据题意得，； （2） ． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． (1)的值为； (2)的值为． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得：． 【变式3-2】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) ∵， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ， 【详解】（1）解：∵， ∴ ； 【变式3】（23-24七年级上·云南临沧·期中）类比有理数乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，例如：，等，我们把记作，读作“2的括号3次方”；记作，读作“的括号4次方”． (1)求和的值； (2)结合有理数乘法和除法的关系可知： ；． 请仿照上述算式的计算规律，将一个非零有理数“a的括号n次方”写成幂的形式，并计算的值． 【答案】(1)，2 (2)，2 【详解】（1）解：，； （2）解：由题中的规律可得：； 类型四、有理数的混合运算的实际应用 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 例4．（24-25七年级上·四川南充·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 【变式4-1】在常州的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 【变式4-2】自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【详解】（1）解：辆， ∴前三天共生产了辆， 故答案为：； （2）解：由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆， 故答案为：； （3）解：， ， ， （元）， 答：工人这一周的工资总额是元． 例5．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点A、点B、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点A、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由． 3讲 巩固练习 一、单选题 1． 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．，故选项计算错误； B．，故选项计算错误； C．，故选项计算错误； D． ，故选项计算正确； 故选D． 2．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【详解】解： 故选 D． 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中），0，，，中，是正数的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：，结果是负数， 0既不是正数也不是负数， ，是负数， ，是正数， ，0既不是正数也不是负数， 是负数． 综上，只有第4个数是正数，共1个． 故选：A． 4．中考新趋势·新定义规定：，；，；则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新定义可得： 故选：C． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令， 两边乘以6，得：， 将两式相减：， 右边除首项和末项外，其余项均抵消， 得：，解得：，故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式；故答案为：． 7．（24-25七年级上·云南昭通·期中）计算：= ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和数字的规律，解答本题的关键是理解新定义中的运算法则，掌握有 【详解】解：当， 则第1次“”运算的结果是：，第2次“”运算的结果是：， 第3次“”运算的结果是：，第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：，第6次“”运算的结果是：， 第7次“”运算的结果是：，第8次“”运算的结果是：， 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵而第次是偶数， ∴最后结果是1．故答案为：1． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（1）计算：．（2）计算： （3）计算：（4）：计算： （5）计算：．（6）计算： （7）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）计算：； （6）计算： ； （7）． 13．老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式=（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程共存在_______处错误，分别是是第_______步和第_______步 (2)请你写出这道题正确的解答过程过程． 【答案】(1)两，二，三 (2)27 （2）解：． 14．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义新运算：，如． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1)8； (2)0． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)第1筐冬枣重_____千克． (2)这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (3)如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)1860元 【详解】（1）解：根据题意，得第1筐冬枣重（千克）， 故答案为：． （2）解：根据， 得到（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克． （3）解：冬枣的总质量为：． 故卖出的总钱数为（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $2026学年-秋季-七年级 第三讲 有理数的混合运算题型综合 类型一、有理数乘除混合运算 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 例1．计算： 解：原式……① ……② ……③ (1)上述解法有错误，错在哪一步？答：_________（填序号）； 错误的原因是___________________． (2)请写出这个计算题正确的计算过程． 【变式】计算：(1) (2) (3) ； (4)． 类型二、含乘方的有理数的混合运算 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例2． 计算：(1) (2) 【变式】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 例3．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【变式1】新定义运算：．例．求： (1)的值为； (2)的值为． 【变式2】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】类比有理数乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，例如：，等，我们把记作，读作“2的括号3次方”；记作，读作“的括号4次方”． (1) 求和的值； (2)结合有理数乘法和除法的关系可知： ；；． 请仿照上述算式的计算规律，将一个非零有理数“a的括号n次方”写成幂的形式，并计算的值． 类型四、有理数的混合运算的实际应用 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 例4．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【变式4-1】在常州的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【变式4-2】自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 例5．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点A、点B、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点A、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由． 第3讲 巩固练习 一、单选题 1． 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：的结果是（     ） A．9 B． C． D．36 3．，0，，，中，是正数的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．中考新趋势·新定义规定：，；，；则的值是（　　） A． B． C． D． 5．为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ； = ． 7．已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 8．定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ． 9．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 三、解答题 10．计算： (1) (2) 11. （1）计算：． （2） （3） 计算： （4）： （4） 计算：． （6） （7） 计算： 12．老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式=（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程共存在_______处错误，分别是是第_______步和第_______步 (2)请你写出这道题正确的解答过程过程． 13．定义新运算：，如． (1)求； (2)若，且，求． 14．荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓兰家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)第1筐冬枣重_____千克． (2)这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (3)如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $