2.2 解一元二次方程的4种高频考点专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦解一元二次方程四种核心方法，按直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法分考点设计，形成从特殊到一般的方法训练体系，培养运算能力与符号意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|3例+3变式，含选择、填空|多为平方形式方程，考查直接开方技能|从特殊形式切入，建立方程求解的直观认知| |配方法|3例+3变式，解答题为主|强调配方步骤训练，含系数不为1的方程|承接直接开平方，通过变形转化为平方形式，培养转化思维| |公式法|3例+3变式，解答题为主|需化为一般式应用求根公式，覆盖不同系数类型|基于配方法推导，形成普适解法，强化符号运算能力| |因式分解法|3例+3变式，含不同因式分解类型|侧重提公因式、十字相乘法等技巧应用|针对特殊可分解方程，体现简便解法，完善解法体系|

解一元二次方程的4种高频考点专项训练 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点一 直接开平方法解一元二次方程 考点目录 直接开平方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 例1.(26-27九年级上·福建福州·阶段检测)下列各数中，是一元二次方程x2-4=0的一个根的是() A.2 B.1 c.0 D.-1 例2.(25-26九年级上·陕西渭南期末)一元二次方程2x2=8的解为(） A.=6=-2 B.=5=2 C.=2为=-2 D.=052=2 侧3.(25山因日梁二模方座r-号0的根是一 变式1.(2526九年级上云南红河阶段检测)一元二次方程（：-2=1的根是《) A.t=1 B.K=-3 C.=5=3 D.=-1,5=-3 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式2.(2526九年级上陕西渭南期中)方程x+=16的根是（) A.=-5为3=3 B.=-3,为=5 C.=-山为2=5 D.x=-3 变式3。(2s26九年级上澜南岳阳期中)方程(x-刂=4的解是 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点二 配方法解一元二次方程 例1.(25-26九年级上·辽宁大连阶段检测)用配方法解一元二次方程： 1)r-2x-2=0 (24r+2=6r 例2.(25-26九年级上广东深圳阶段检测)用配方法解下列方程： 0)3r-4r-2=0 6x2-2x-1=0 (2) 6)3r2-6=3x ④x-0x+2)=-3 例3.(25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测)用配方法解下列方程： 1)x+6r=-7 2r-12x=4 3 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 6)t+x+1=7x+3 ④任-x-3)=8 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式1.(25-26九年级上·湖北十堰阶段检测)用配方法解方程： 0)r-42x-2=0 23r-5x-1=0 变式2.(25-26九年级上广西祟左期末)用配方法解方程： +3x-1=0 回r-子0 变式3.(25-26九年级上：广东揭阳阶段检测)用配方法解下列方程： 0)4r-4-1=0 a)x-5=25x 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点三 公式法解一元二次方程 例1.(25-26九年级上·湖南株洲：阶段检测)用公式法解下列方程. 02x2-7x=4 (2)2x(x-2)=3x+1 例2.(25-26九年级上河北唐山：阶段检测)用公式法解下列方程： a①r-8r-5=0 2(x-42)+8=0 83x-50x-2)=1 ④(x+6)=2(x-8) 例3.(25-26九年级上四川宜宾阶段检测)用公式法解方程： x-3x+2=0 2-1=20+1) 6 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 2x2-3x-1=0 (3) (④r+3r-4=0 > 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式1.(25-26九年级上广东汕头阶段检测)使用“公式法”解一元二次方程 1)x2-V2x-1=0. 4 22r-22x+1=0 同)3r+20-2r2+8x 变式2.(25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测)用公式法解下列方程： 2(x+3)=-1 (2)(x+(x-1)=22x 变式3.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)用公式法解方程： 1)x-3x-2=0 22xr+2x=1 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点四 因式分解法解一元二次方程 例1.(25-26九年级上浙江宁波阶段检测)解方程(2x-1°=(5-x 例2.(26-27九年级上北京西城开学考试)用适当的方法解方程 1r+2x-3=0 23x(x+l)=2(x+1） 例3.(25-26八年级下浙江台州期末)解方程： ①-2x=3 2r-3=20-3) 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 变式1.(25-26九年级上山东济南期末)解方程： )5x=4x 2r-5x-6=0 变式2.(25-26九年级上江苏南通期末)解方程： )2r-3x+1=0 ②2r+40x-2)=x+2 o解一元二次方程的4种高频考点专项训练 解一元二次方程的4种高频考点专项训练 考点目录 直接开平方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 考点一 直接开平方法解一元二次方程 例1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ． 故选：C． 例3．（2025·山西吕梁·二模）方程的根是_____． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程的方法：直接利用开平法求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， ∴或， ∴方程的根为，． 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）方程的解是_____________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 两边开方得，， 即或， 解得，； 故答案为，． 考点二 配方法解一元二次方程 例1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以6得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （4）解：， 变为一般形式得：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解． 例3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 变式1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 变式2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）用配方法解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据题意用配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ 解得： （2） ∴∴ ∴ ∴ 解得： 变式3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 考点三 公式法解一元二次方程 例1．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 例2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)方程无实数根 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 整理得， ，， ∴ 解得； （3）解： 整理得， ，， ∴ 解得，； （4）解： 整理得， ，， ∴方程无实数根． 例3．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． （1）直接利用公式法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可； （3）、（4）直接利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 则， 即，； （2）解：整理，得：， ∴，，，， 则， 即，； （3）解：∵， ∴， 则， 即，； （4）解：∵， ∴， 则， ∴，． 变式1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 变式3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1） ∵，，；     ∴， ∴， （2） 方程整理得：． ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是公式法解一元二次方程时要化成一般形式． 考点四 因式分解法解一元二次方程 例1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）解方程 【答案】， 【详解】解： 或 ，． 例2．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得； （2）解： ， ， ∴或， 解得． 例3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， 或， ． 变式2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $