暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦相似三角形三种判定方法的系统训练，通过典例与变式结合，适配暑假预习的高频考点突破，培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用两角对应相等判定|3例+3变式（含安徽池州等多地区期末真题）|证明为主，结合等边三角形、直角三角形等背景|从角的关系切入，建立“公共角+已知角”的判定模型，强化图形分解能力| |利用两边对应成比例及夹角相等判定|3例+3变式（含上海期中、浙江金华二模）|证明与计算结合，涉及四边形、线段比计算|突出“比例线段+夹角”的关键条件，培养比例式构建与转化思维| |利用三边对应成比例判定|2例+2变式（含网格图形、正方形拼接）|网格与几何图形结合，侧重边长计算与比例验证|通过方格背景具象化边长关系，建立“度量—计算—比例”的判定路径，发展空间观念|

暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 考点目录 利用两角对应相等判定相似 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 利用三边对应成比例判定相似 考点一 利用两角对应相等判定相似 例1．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 例2．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，求出即可得到的长． 【详解】（1）证明：在和中，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，则直接写出的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定义及性质是解决问题的关键． （1）由题意得到，，从而由两角对应相等的两个三角形相似即可判定； （2）由（1）知，再由，由两角对应相等的两个三角形相似即可判定，得到相似比代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，是斜边上的高，则，， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， 则， ， 即，解得． 变式1．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 变式2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知：四边形的两条对角线相交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形的两条对角线相交于点， ， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由四边形的两条对角线相交于点，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； 由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，而，，，所以，求得． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ，，， ， ， 的长是． 变式3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 例1．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 例2．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）略 变式1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 变式2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】略． 变式3．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 考点三 利用三边对应成比例判定相似 例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 例2．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在和中，已知．    (1)求证：； (2)求与的长； (3)求和这两个三角形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)4 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，相似三角形的判定和性质． （1）设每小格的长度为a，由勾股定理得，，推出，即可证明； （2）根据，计算出a的值，结合（1）中得出的，，即可求解； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】（1）证明：， ． 设每小格的长度为a， 则，， ， ， ； （2）解：设每小格的长度为a， 则， 又， ， 解得， 由（1）知，， ，； （3）解：，， ． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 变式2．（25-26九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 考点目录 利用两角对应相等判定相似 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 利用三边对应成比例判定相似 例1.(25-26九年级上安徽池州期末)如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上， 连接DE,DF,EF,且∠DEF=6O°. 考点一A 利用两角对应相等判定相似 E (I)求证：△BDE∽△CEF (2)添加一个条件_求证：△BDE≌△CEF. 例2.(25-26九年级上~安徽马鞍山期末)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD,己知∠ABD=∠C. B (I)求证：△ABD∽△ACB； ②若4B=26.D=4,求线段CD的长。 CD 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 例3.(25-26九年级上湖北武汉·期末)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. C D B (I)求证：△ACD∽△CBD: (2)若BC=4,AB=10,则直接写出BD的长. 变式1.(25-26九年级上：江西抚州期中)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,AD=BD. B (I)求证：△ABCABDC」 (2)若∠C=90°，BC=2,求AB的长. 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 变式2.(25-26九年级上浙江宁波·阶段检测)已知：四边形ABCD的两条对角线相交于点P,∠ADB=∠BCA. B (I)求证：△APDABPC: (2)若DP=3,AP=5,CD=4,求AB的长. 变式3.(25-26九年级上·福建漳州：阶段检测)如图.AC⊥BC,BD⊥BC,AC>BC>BD. B (I)若∠A=∠BCD,证明：△ABCACDB (2)若DB=3,BC=4,在(1)的条件下.求AC的长度. 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 考点二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 例1.(25-26九年级上·上海·期中)如图，已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OA=1, OB=1.5,OC=3,OD=2.求证：△OAD与△OBC是相似三角形. 例2.(2026浙江金华二模)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CD·AC=6. (I)求证：△CBD∽△CAB (2)若BD=AC=3,求AB的长 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 例3.(25-26九年级上浙江绍兴期中)如图，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15 DF=25 D B F E (1)求CE的长： (2)求证：△ABCOADEF 变式1.(2425九年级上浙江金华期末)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且AC=AB·AD, D (I)求证：△ABC∽△ACD. (2)若LBCD=150°，求∠BAC的度数. 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 变式2.(2425九年级上湖南衡阳期末)已知如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1, CD=2,DB=4.求证：△ACPAPDB A C D B 变式3.(25-26九年级上：湖南株洲期中)如图，四边形ABCD是某校一块学农基地，其中△ABD是蔬菜园， △CDB是水果园，已知AB∥CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m, D B (I)求证：△ABD∽△BDC: (2)若蔬菜园△ABD的面积为800m,求水果园△CDB的面积. 6 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 考点三 利用三边对应成比例判定相似 例1.(25-26九年级上·安徽阜阳期末)如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上.请判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. 例2.(25-26九年级上河南开封阶段检测)如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4 (I)求证：△ABCAEDC: (2)求AC与EC的长： (3)求△ABC和△EDC这两个三角形的面积比. > 暑假预习：相似三角形的判定3种高频考点专项训练 变式1.(25-26九年级上福建福州期中)如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD.求证： △BCEP△BED A B C D 变式2.(25-26九年级上广西期中)如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方 形的顶点上， D (I)填空：∠BAC= -,EF= (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论.