周测04 一元二次方程的认识及解法 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程周测试卷，融合各地期末、中考真题及创新题型，通过赵爽弦图、新定义运算等情境，考查概念理解、解法应用及数学思想，强化运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、常数项、根的意义、判别式|结合中考真题（如2026广州中考题），基础概念辨析| |填空题|6/18|参数取值、根的变换、三角形边长应用|新定义运算（如实数新运算）、实际问题（三角形边长）| |解答题|6/58|解方程、判别式证明、整体代入、同族方程|阅读材料探究（整数根）、数学思想应用（换元法），综合考查创新意识与模型观念|

2026-2027学年度北师大版数学九年级上册 周测 周测04 一元二次方程的认识及解法 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 2．（25-26八年级下·广西百色·期末）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】一元二次方程的一般形式为， ∵给定方程为，符合一般形式， ∴对比可得，，． 3．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 5．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 6．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 8．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 9．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（12分）（25-26八年级下·山东青岛·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【详解】（1）解： ，，……………4分 （2）解： ，；……………4分 （3）解： ，．……………4分 12．（8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见详解 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴，……………3分 ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；……………4分 （2）解：把代入方程，得， 解得，……………6分 ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为.……………8分 13．（10分）（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得．……………3分 ，；……………4分 （2）解：， ， ，……………6分 ， 即，……………8分 ．……………10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大版数学九年级上册 周测 周测04 一元二次方程的认识及解法 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 4．（2026·广东广州·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 5．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，推出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵小正方形的边长为17， ∴， ∴，即， ∵大正方形的边长为25，， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 6．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 7．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（2025·四川雅安·一模）关于的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的含义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，再根据根的判别式大于零，方程有两个不相等的实数根，列不等式求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， 解得 ． ∴的取值范围是且． 故答案为：且 11．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 12．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 13．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（12分）（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 解得，；……………4分 （2）解： ∴或 解得，；……………4分 （3）解： ，， 解得，．……………4分 16．（8分）（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 17．（8分）（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设，求的值． 解：由得， 代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时， 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及整体代入法． 由是一元二次方程的一个根得，，然后代入所给计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，……………4分 ∴ ．……………8分 18．（6分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式：________． (2)若为正整数，，求的值． 【答案】(1)……………2分 (2)10 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ，……………4分 解得或（舍去）．……………6分 19．（12分）（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④……………2分 (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即．……………4分 ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有……………6分 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：，……………8分 ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数，……………10分 ∴正整数k的值为1或3．……………12分 20．（12分）（2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得：________①，由m为整数知：_②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③_或④_即或或． 当时，，同理⑤_或⑥_综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；……………2分 ②；……………4分 ③；……………6分 ④……………8分 ⑤当时，；……………10分 ⑥当时，……………12分 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大版数学九年级上册周测 周测04一元二次方程的认识及解法 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级下·浙江杭州期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.3x+2y=5 B.x2=x+2 c.x2+1=1+5 D.2x+5=3x-1 2.(25-26八年级下广西百色期末)用公式法解一元二次方程3x2-2x+5=0时，首先要确定a,b,c 的值，正确的是() A.a=3,b=2,c=5 B.a=-3,b=2,c=5 C.a=3,b=2,c=-5 D.a=3,b=-2,c=5 3.(2026山东济南中考真题)若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 4.(25-26九年级上北京·阶段检测)一元二次方 22-(m+1)x+1=x(x-)化成一般形式后二次项的系 数为1，一次项的系数为-1，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26九年级下·山东淄博期末)如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点，前n行的点数和可能是以下哪个结果() ● 。 ●●●●●●● A.100 B.93 C.86 D.78 113 6.(2026四川广元中考真题)若关于x的一元二次方程x+bx+3=0有两个相等的实数根，则b的值为 () 4.26 B.23 C v3 D.5 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)已知关于x的方程x2+ax+2=0有一个根为-2，则a的值为 8。（25-26八年级下河北张家口期末)若m是关于*的方程+x-1=0的一个根，则m(m+1)2026的 的 值为 9.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)对于实数，”，现定义一种运算“⑧”如下： m2+m+n(m≥n) m☒n= n2+m+n(m<n)若x⑧(-2)=10，则实数x的值为 10.(25-26九年级下·山东淄博期末)已知m,n是方程x2-2026x+1=0的两个实数根，则 (m2-2025m+20r-2025n+2）的值为 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11.(12分)(25-26八年级下·山东青岛期中)解方程： 0)x-4x-12=0 2x(x-3)=2x-6 6)x-2V2=4 12.(8分)(25-26八年级下浙江温州期中)已知关于x的一元二次方程 x2+(m-4)x-2m=0 (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根： 213 (2)若该方程的一个根为3，求m的值和方程的另一个根， 13.(10分)(25-26八年级下·安徽池州期末)请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x+br+c=0, 其中、C均为整数，且有个根为=5+2，水 2,求b、C的值. 晨晨同学根据二次根式的性质：（回=(a≥0），联想到了如下解法：由x=5+2得x-2=5,则 (x-2y=5,即2-4x+4=5,-4x-1=0.故b=4,0=1 请运用上述方法解决下列问题： Q已知关于”的方程2+：+c=0,其中、C均为整数，且有-个根为=2-5，求、C的位. x=5-1 (2)已知2，求代数式3x3+6x2+2025的值. 3132026-2027学年度北师大版数学九年级上册周测 周测04一元二次方程的认识及解法 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级下·福建厦门期末)下列是一元二次方程的是() A.x2+3=1 B.x2-x=2 C.2(x-1)=4x D.x2+3y=1 2.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)关于x的一元二次方程2x2+3x+3=0的常数项是（) A.4 B.0 C.3 D.-3 3.(25-26八年级下·安徽合肥期末)若关于x的方程ax2+2x+1=0的一个根为-1，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 4.(2026广东广州中考真题)已知关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为 () A.-1 B.1 C.-4 D.4 5.(2026四川雅安·一模)如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的 “弦图”.如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知 大正方形的边长AD为25，小正方形的边长EF为17，则AE的长为() F ICmE-14 G B 图① 图② A.5 B.6 C.7 D.8 1/5 口±V4-4×(-1) 6.(25-26八年级下河北张家口期末)用公式法解方程x2-1=2x时，得x= ,则“口” 处应填() A.1 B.-1 C.2 D.-2 mx2-6mx-1=0(m≠0） 7.(25-26九年级上四川宜宾阶段检测)已知关于的一元二次方程" 配方成 (C+=b的形式，且该方程的一个根为x=2,求a,b的值为() A.a=3,b=19 m B.a=-3,b=1 C.a=3,b=29 m D.a=-3,b=29 m 8.(25-26八年级下·浙江宁波期末)若关于x的一元二次方程4x2+4mx+2m2+6m+9=0有解，则该方 程的解是() A.-1.5和1.5 B.1.5和1.5 C.0和-1.5 D.0和3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9(2025四川雅安一模)关于x的方程(m+2)2+m+5= 是一元二次方程，则m=一 10.(25-26九年级上河南平顶山期中)关于x的一元二次方程《-1)r+2x+1=0有 ”有两个不相等的实数 根，则k的取值范围是一· 11.(2026辽宁盘锦模拟预测)对于实数a,b定义新运算：a※b=a2-ab,例如：3※2=32-3×2=3. 若关于x的方程x必2=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 12.(25-26九年级下山东烟台期末)已知一元二次方程x+m=m4≠0 )的两根分别为3、1，则 元二次方程+m-2-0=0(a*0)的两根分别为 13.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程 215 x2-6x+8=0 的根，则这个三角形的周长为」 14,（25-26九年级下山东烟台期未)已知g是方程2-2026r+1=0的个根，则0-2026d-202 a2+1- 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(12分)(25-26九年级上新疆乌鲁木齐阶段检测)解下列方程： 1)2(x+1)2=18 2x-3°=5(x-3) 6)3x2-4r-2=0 16.(8分)(25-26八年级下·安徽六安·期中)己知关于x的方程x2+2mx+m2-1=0. (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程有一个根是1，求3m2+6m+2的值. 17.(8分)(25-26九年级上山东临沂阶段检测)有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的 “数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝 阅读下列例题： 设a3+a-1=0,求a3+a+2018的值. 解：由a+a-1=0得a3+a=1, 代入，有a3+a+2018=1+2018=2019(整体代入或换元思想) 试一试：当a是一元二次方程x2-2018x+1=0的一个根时， 求：a-2017a+2018 a2+1的值. 18.(6分)(25-26八年级下浙江台州期末)观察下列等式： 315 113 117 1113 第1个等式： VY+1卫222，第2个等式： 2+京6，第3个等式：++2， (I)按照你发现的规律，写出第5个等式： 1 111 1+ ②)若n为正整数， n(n+1110,求n的值. +px+q=0 19.(12分)(25-26八年级下·吉林·期末)如果方程 满足两个实数解都为整数解，我们就 G=D2 称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定9，例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以 (-7)}249 G= x2-7x+12=0属于同族方程，所以 1212. ()以下一元二次方程中是同族方程的是 (填写序号) ①x2-5x+6=0:②x2-3x+1=0:③2x2-3x-2=0:④x2-4x+4=0. ②)如果同族方程+pr+9=0 有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证： 对任意一个完美方程，总有G=4: x2-(k-3)x-3=0 3)关于x的一元二次方程 属于同族方程，求正整数k的值. 20. (12分)(2026安徽六安·一模)阅读材料，回答问题： 主 一元二次方程整数根的探究 题 提 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设为有理数，己知方程 出 x2-（N3+1x+3n-6=0 问 有一个整数根，令方程中一个整数根为，那么必有m=” 题 分 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 析 有一个整数根，令方程中一个整数根为，将m 探 设m为有理数，已知方程-(5+小x+V5m-6=0 415 代入一元二次方程得： m2-（W5+1)m+V3n-6=0 整理得： ①，由m为整数知：②是 究 ..3(m-n 整数， 一定是整数，m-”是有理数，六m-n=0,m=n 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的 研究，借此，小余提出了问题并回答了问题 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c,对于任意实数x,都有 (x+a(x-15)-25=(c+bx+c,求a的可能值. 解法一：由x+ax-15)-25=(c+bx+c)得b+c-a+15)r+bc+25+15a=0】 推 b+c=a-15 广 :x具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得bc=-25-15 延 伸 bc+156+e+15°=-25.（6+15lc+15)=-1x25=-5x5=1x(-25）, [b+15=-1 从而有c+15=25或③或④_即b+c=6或b+c=-30或b+c=-54. 当b+c=-6时，a=9,同理⑤_或⑥综上，a的可能值即可得出. [b+c=a-15 解法二：在上面，我们已经求得bc=-15a-25.… 请将①②③④⑤⑥补充完整. 5/5