2.1 认识一元二次方程3种高频考点讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的三大高频考点，从定义切入，系统梳理整式性、一元性、二次性三大判定要素及一般形式，明确二次项系数不为0的核心约束，再延伸到由定义求参数（需满足最高次数为2且二次项系数非0）和由解求参数（利用解代入方程的性质），构建递进式学习支架。 资料精选各地期末、期中真题作为例题与变式训练，通过“化标准-验三要素-查系数”等清晰解题步骤培养推理意识与运算能力，以真实情境问题发展数学眼光。课中助力教师高效讲解，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用与模型意识。

认识一元二次方程3种高频考点讲义 认识一元二次方程3种高频考点讲义 考点目录 一元二次方程的定义 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 教材标准定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程。 1. 一般形式 · 是二次项， 是二次项系数； · 是一次项， 是一次项系数； · 是常数项。 注意：一次项系数 、常数项 可以为任意实数，二次项系数 不能为 ，这是定义的核心约束。 特殊形式 、、（）均为一元二次方程。 1. 三大判定要素 · 整式性：方程两边都是关于未知数的整式，分母、根号中不能含有未知数； · 一元性：只含有一个未知数； · 二次性：未知数的最高次数为 ，且二次项系数不为 。 1. 识别原则 必须先去括号、移项、合并同类项，将方程整理为一般形式后，再对照要素判定，不能只看表面形式。 二、解题思路 1. 化标准：对所给方程去括号、移项、合并同类项，整理为按未知数降幂排列的形式； 1. 验三要素：依次验证是否为整式方程、是否只含一个未知数、最高次数是否为 ； 1. 查系数：确认二次项系数不为 ； 1. 下结论：同时满足所有条件即可判定为一元二次方程。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）方程的一次项系数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程项与系数的判断，掌握好一元二次方程的概念是关键． 将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式中一次项系数的定义确定答案． 【详解】解：将方程移项化为一元二次方程的一般形式为． ∴该方程的一次项为，对应的一次项系数是． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需先将方程化为的形式，再确定一次项和常数项即可． 【详解】∵原方程为， ∴展开左右两边得， 移项得， 合并同类项化为一般形式， ∴一次项是，常数项是， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意； B. 是分式方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 例4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列方程：（1）　（2）　（3）　（4）　（5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是___________________（填序号）． 【答案】（2）（4）/（4）（2） 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程； （4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程； （5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程； （6）中时，不是一元二次方程； 综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）． 故答案为：（2）（4）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可． 【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程； ②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程； ③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程； ④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程． ∴一元二次方程有①、③、④，共个． 故选：C． 变式2．（25-26九年级下·湖南怀化·阶段检测）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项． 【详解】解：选项A：∵方程中含有分母，不是整式方程，∴不是一元二次方程； 选项B：∵方程中含有两个未知数，∴不是一元方程； 选项C：∵方程可化为，只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，∴是一元二次方程； 选项D：∵方程的最高次数为3，∴不是一元二次方程； 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·山东日照·期中）下列方程①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断每个方程． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①整式方程；②一个未知数；③最高次数为2． 对于方程①，去括号，得，消去后为，是一元一次方程，不是一元二次方程． 对于方程②，未知数的最高次数为1，是一次方程，不是一元二次方程． 对于方程③，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程． 对于方程④，是整式方程，一个未知数，最高次数为2，是一元二次方程． 对于方程⑤，化简得，是整式方程，一个未知数，最高次数为2，是一元二次方程． ∴只有方程④和⑤是一元二次方程，共2个． 故选：B． 变式4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）一元二次方程化成一般式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是_______，常数项是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及找一元二次方程各项系数的方法等知识点，根据整式乘法法则把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的概念解答即可，熟练掌握找一元二次方程各项系数的方法是解决此题的关键． 【详解】解：， 整理得，， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：；；；． 考点二 由一元二次方程的定义求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心依据 方程为一元二次方程，需同时满足两个条件： ① 未知数的最高次数等于2； ② 二次项系数不等于0。 1. 典型题型特征 方程中未知数的次数、二次项系数含有未知参数，形如： ，求参数 的取值。 二、解题思路 1. 定二次项：找到方程中的最高次项，明确其系数和次数； 1. 列方程：令最高次项的次数等于 ，解出参数的所有可能值； 1. 列不等式：令二次项的系数不等于 ，排除使系数为 的参数值； 1. 取交集：方程的解与不等式的解集取公共部分，得到参数的最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．直接根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若方程是一元二次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是熟练应用； 根据一元二次方程的定义，方程最高次项必须为次，且二次项系数不能为． 【详解】解：化简原方程得：， ∵方程为一元二次方程， ∴ 且 ， 由，得 或 ， 又∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·福建南平·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次数为且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解，得， 所以． 又由，得， 因此． 故答案为． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得且，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：B 变式2．（25-26九年级上·山西朔州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且为常数）．掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，且． 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）若一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即，同时常数项为0，即，求解的值． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得 或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ， 即当时，；当时，， 故的值为1或； 故答案为1或． 考点三 由一元二次方程的解求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方程的解的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 核心性质：方程的解一定满足方程，将解代入原方程，等式必然成立。 1. 常见题型 · 已知一个根，求参数的值：直接代入法，是最基础的题型； · 已知两个根的关系（如互为相反数、互为倒数、和差为定值），求参数：结合代入法或根与系数的关系求解； · 已知两个方程有公共解，求参数：将公共解代入两个方程，联立求解。 二、解题思路 1. 代入：将已知的解（根）代入原方程，替换所有的未知数； 1. 列方程：代入后得到关于参数的方程（组）； 1. 解方程：求解参数的值； 1. 验定义：若题目明确是一元二次方程，需回代验证二次项系数不为 。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得． 例2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 例3．（2026·贵州黔南·一模）若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】2029 【详解】解：由是一元二次方程的一个根，可知：， ∴． 例4．（25-26九年级上·四川成都·期末）设是关于的方程的一个根，则a的值为___________． 【答案】 14 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据方程根的意义，将代入方程求解a． 【详解】解：将代入方程，得，即，整理得，解得． 故答案为：14． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 变式3．（2026·四川成都·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】用a代替一元二次方程中的x，可得，把展开，化成，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 变式4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有一个根为2，则实数的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 将根代入方程，得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $认识一元二次方程3种高频考点讲义 认识一元二次方程3种高频考点讲义 考点目录 一元二次方程的定义 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 教材标准定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程。 1. 一般形式 · 是二次项， 是二次项系数； · 是一次项， 是一次项系数； · 是常数项。 注意：一次项系数 、常数项 可以为任意实数，二次项系数 不能为 ，这是定义的核心约束。 特殊形式 、、（）均为一元二次方程。 1. 三大判定要素 · 整式性：方程两边都是关于未知数的整式，分母、根号中不能含有未知数； · 一元性：只含有一个未知数； · 二次性：未知数的最高次数为 ，且二次项系数不为 。 1. 识别原则 必须先去括号、移项、合并同类项，将方程整理为一般形式后，再对照要素判定，不能只看表面形式。 二、解题思路 1. 化标准：对所给方程去括号、移项、合并同类项，整理为按未知数降幂排列的形式； 1. 验三要素：依次验证是否为整式方程、是否只含一个未知数、最高次数是否为 ； 1. 查系数：确认二次项系数不为 ； 1. 下结论：同时满足所有条件即可判定为一元二次方程。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）方程的一次项系数是（    ）． A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列方程：（1）　（2）　（3）　（4）　（5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是___________________（填序号）． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（25-26九年级下·湖南怀化·阶段检测）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山东日照·期中）下列方程①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）一元二次方程化成一般式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是_______，常数项是________． 考点二 由一元二次方程的定义求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心依据 方程为一元二次方程，需同时满足两个条件： ① 未知数的最高次数等于2； ② 二次项系数不等于0。 1. 典型题型特征 方程中未知数的次数、二次项系数含有未知参数，形如： ，求参数 的取值。 二、解题思路 1. 定二次项：找到方程中的最高次项，明确其系数和次数； 1. 列方程：令最高次项的次数等于 ，解出参数的所有可能值； 1. 列不等式：令二次项的系数不等于 ，排除使系数为 的参数值； 1. 取交集：方程的解与不等式的解集取公共部分，得到参数的最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若方程是一元二次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建南平·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山西朔州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 变式3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）若一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 考点三 由一元二次方程的解求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方程的解的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 核心性质：方程的解一定满足方程，将解代入原方程，等式必然成立。 1. 常见题型 · 已知一个根，求参数的值：直接代入法，是最基础的题型； · 已知两个根的关系（如互为相反数、互为倒数、和差为定值），求参数：结合代入法或根与系数的关系求解； · 已知两个方程有公共解，求参数：将公共解代入两个方程，联立求解。 二、解题思路 1. 代入：将已知的解（根）代入原方程，替换所有的未知数； 1. 列方程：代入后得到关于参数的方程（组）； 1. 解方程：求解参数的值； 1. 验定义：若题目明确是一元二次方程，需回代验证二次项系数不为 。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（　　） A．3 B． C． D．2 例2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 例3．（2026·贵州黔南·一模）若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 例4．（25-26九年级上·四川成都·期末）设是关于的方程的一个根，则a的值为___________． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 变式3．（2026·四川成都·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 变式4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有一个根为2，则实数的值是_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $