2.2 解一元二次方程的4种高频考点讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦解一元二次方程的四种高频方法，以直接开平方法为基础降次，配方法通过凑完全平方衔接并推导公式法，公式法作为通用解法，因式分解法基于降次思想，构建从基础到综合的学习支架。 资料精选多地期中期末检测例题，通过分步解题思路培养推理能力与运算能力，变式训练覆盖不同情境，助力学生用数学语言表达求解过程。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺，提升方程求解综合能力。

解一元二次方程的4种高频考点讲义 解一元二次方程的4种高频考点讲义 考点目录 直接开平方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 考点一 直接开平方法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 利用平方根的定义直接降次：若 ，则 ，将二次方程转化为两个一次方程求解，是最基础的降次方法。 1. 适用形式 · 标准型：（ 为常数） · 变形型：（， 为常数） 1. 根的情况（实数范围内） · ：有两个不相等的实数根； · ：有两个相等的实数根； · ：没有实数根（负数没有平方根）。 二、解题思路 1. 化形式：通过移项、系数化1，将方程整理为“左边含未知数的完全平方式，右边为常数”的标准形式； 1. 开平方：两边同时开平方，右边必须加正负号 ，将二次方程拆为两个一次方程； 1. 解一次方程：分别求解两个一元一次方程； 1. 定结果：写出方程的两个实数根，或说明无实数根。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·北京房山·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 例2．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直接开平方公式求解即可． 【详解】， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 例3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 考点二 配方法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 通过添加常数项，将含未知数的部分凑成完全平方式，再用直接开平方法求解，核心是凑完全平方，是推导求根公式的基础方法。 1. 配方核心公式 对于二次项系数为 1 的式子：，即加上一次项系数一半的平方。 1. 适用范围 所有一元二次方程均可配方，是通用的代数变形方法。 二、解题思路 以一般式 为例： 1. 移项：将常数项移到方程右边，得 ； 1. 化1：方程两边同时除以二次项系数 ，将二次项系数化为 1，得 ； 1. 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 ，左边化为完全平方式： 1. 开平方：当右边非负时，两边直接开平方； 1. 求解：解得到的一次方程，写出方程的根。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法解二次方程的核心步骤：将二次项系数化为→移项→配方→开平方求解，解题关键在于正确找到配方项的系数，并注意运算符号的处理． （1）先移项得，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可； （2）先将方程变形为，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得， 即， ， 故答案为：． （2）解：方程变形为， 两边同除以，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ． 例3．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】把方程左边的常数项移到右边，方程两边同时加上1进行配方，然后直接开平方，进行解答即可. 移项，得，二次项系数化为1，得，再配方，利用直接开方法解即可. 移项，得    ，二次项系数化为1，得    ，再配方，利用直接开方法解即可. 【详解】解：解：（1）移项，得， 配方，得， 解得． （2）整理，得， 配方，得， 即， 解得． （3）整理，得， 配方，得， 即， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤，属于中考常考题型. 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）配方法解一元二次方程 【答案】原方程无实数根 【详解】移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即， 原方程无实数根 变式2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用配方法解方程 （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）； 【分析】（1）直接利用配方法进行求解； （2）直接利用配方法进行求解． 【详解】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1 ∴（x﹣1）2=5 ∴x=1± ∴，． 解方程：x2﹣6x﹣4=0． （2）解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13， 开方得x﹣3=±， ∴；． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握相关的运算法则． 变式3．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大． （1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）去分母后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2） ， 配方得： ， ∴， （3） ∴ 则 （4） 整理得，， 配方得：， ， ∴． 考点三 公式法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 由配方法推导得出的通用求根公式，适用于所有一元二次方程，是最通用的解法。 1. 求根公式 对于一元二次方程 ，当判别式 时： 1. 判别式的作用 先判断根的情况，再代入求解，避免无意义计算： · ：有两个不相等的实数根； · ：有两个相等的实数根，； · ：没有实数根。 二、解题思路 1. 化一般式：将方程整理为 的标准形式，确定 、、 的值（注意带符号）； 1. 算判别式：计算 ，判断实数根的存在性与个数； 1. 代公式：若 ，将 、、 代入求根公式； 1. 化简结果：计算并化简两个根，写出最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）用公式法解方程   【答案】， 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ， 例2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）解方程： (公式法)． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 用公式法求出解即可． 【详解】解： ，， 故方程有两个不相等的实数根 即， 变式2．（25-26九年级上·青海海西·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得，． 变式3．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 考点四 因式分解法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 利用“若两个因式的乘积为 0，则至少其中一个因式为 0”，即 或 ，将二次方程降为两个一次方程求解，核心思想是降次。 1. 适用条件 方程右边为 0，且左边容易分解为两个一次因式的乘积。 1. 常用分解方法 提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 二、解题思路 1. 移项化零：将方程整理为“左边=0”的形式，确保右边为 0； 1. 分解因式：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 1. 降次拆分：令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； 1. 求解写根：分别解两个一次方程，它们的解都是原方程的根。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）方程的解是______________． 【答案】， 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 例2．（2026·湖南益阳·模拟预测）方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 例3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）当__________时，代数式的值是0． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据题意列出方程，通过因式分解求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 变式2．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解法解一元二次方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∴，， 故答案为 ，． 变式3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）方程的解为___________． 【答案】 ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解一元二次方程的4种高频考点讲义 解一元二次方程的4种高频考点讲义 考点目录 直接开平方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 考点一 直接开平方法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 利用平方根的定义直接降次：若 ，则 ，将二次方程转化为两个一次方程求解，是最基础的降次方法。 1. 适用形式 · 标准型：（ 为常数） · 变形型：（， 为常数） 1. 根的情况（实数范围内） · ：有两个不相等的实数根； · ：有两个相等的实数根； · ：没有实数根（负数没有平方根）。 二、解题思路 1. 化形式：通过移项、系数化1，将方程整理为“左边含未知数的完全平方式，右边为常数”的标准形式； 1. 开平方：两边同时开平方，右边必须加正负号 ，将二次方程拆为两个一次方程； 1. 解一次方程：分别求解两个一元一次方程； 1. 定结果：写出方程的两个实数根，或说明无实数根。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·北京房山·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 例2．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 变式3．（25-26九年级上·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 考点二 配方法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 通过添加常数项，将含未知数的部分凑成完全平方式，再用直接开平方法求解，核心是凑完全平方，是推导求根公式的基础方法。 1. 配方核心公式 对于二次项系数为 1 的式子：，即加上一次项系数一半的平方。 1. 适用范围 所有一元二次方程均可配方，是通用的代数变形方法。 二、解题思路 以一般式 为例： 1. 移项：将常数项移到方程右边，得 ； 1. 化1：方程两边同时除以二次项系数 ，将二次项系数化为 1，得 ； 1. 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 ，左边化为完全平方式： 1. 开平方：当右边非负时，两边直接开平方； 1. 求解：解得到的一次方程，写出方程的根。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 例3．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）用配方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）配方法解一元二次方程 变式2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用配方法解方程 （1）解方程：； （2）解方程：． 变式3．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 考点三 公式法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 由配方法推导得出的通用求根公式，适用于所有一元二次方程，是最通用的解法。 1. 求根公式 对于一元二次方程 ，当判别式 时： 1. 判别式的作用 先判断根的情况，再代入求解，避免无意义计算： · ：有两个不相等的实数根； · ：有两个相等的实数根，； · ：没有实数根。 二、解题思路 1. 化一般式：将方程整理为 的标准形式，确定 、、 的值（注意带符号）； 1. 算判别式：计算 ，判断实数根的存在性与个数； 1. 代公式：若 ，将 、、 代入求根公式； 1. 化简结果：计算并化简两个根，写出最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）用公式法解方程   例2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）解方程：（公式法） 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）用公式法解方程：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）解方程： (公式法)． 变式2．（25-26九年级上·青海海西·期中）用公式法解方程：． 变式3．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：． 考点四 因式分解法解一元二次方程 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 利用“若两个因式的乘积为 0，则至少其中一个因式为 0”，即 或 ，将二次方程降为两个一次方程求解，核心思想是降次。 1. 适用条件 方程右边为 0，且左边容易分解为两个一次因式的乘积。 1. 常用分解方法 提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 二、解题思路 1. 移项化零：将方程整理为“左边=0”的形式，确保右边为 0； 1. 分解因式：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 1. 降次拆分：令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； 1. 求解写根：分别解两个一次方程，它们的解都是原方程的根。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）方程的解是______________． 例2．（2026·湖南益阳·模拟预测）方程的解为_____． 例3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）一元二次方程的解是_____． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）当__________时，代数式的值是0． 变式2．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）方程的解为______． 变式3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）方程的解为___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $