2.2 解一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦解一元二次方程核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法及根与系数的关系，知识点从基础到复杂递进，构建完整学习支架。 资料亮点在于题型丰富（11种题型含例题与变式），步骤清晰（如配方法“一移二化三配四开五解”），通过问题解决培养运算能力和推理意识，助力学生用数学语言表达过程，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

2.2 解一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 3 【题型3 配方】 5 【题型4 用配方法解方程】 6 【题型5 配方法的应用】 10 【题型6 判断根的情况】 13 【题型7 求参数的值或取值范围】 14 【题型8 用公式法解方程】 16 【题型9 用因式分解法解方程】 18 【题型10 运用根与系数的关系计算】 21 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 22 【随堂检测】 24 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】解方程：． 【答案】或 【分析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解方程是解本题的关键． 【变式1-1】关于的一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法解一元二次方程是关键．根据用直接开平方法解一元二次方程的方法，先移项再开平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1-2】方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 【变式1-3】方程的解是_____． 【答案】， 【分析】此题考查解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程 【详解】方程 移项得 ， 两边开平方得 ， 故答案为： ， 【题型2 可化为】 【例2】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【变式2-1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确选择合适的方法求解． 根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 【变式2-2】解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 【变式2-3】解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——用开平方法求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先两边同除以3，再用开平方法求解． 【详解】解：， 两边同除以3，得， 开平方，得， 解得：，． 【题型3 配方】 【例3】用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 【变式3-1】解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 【变式3-4】一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 【变式4-1】用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据题意用配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ 解得： （2） ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 【变式4-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)； (3),； (4)，； 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（化二次项系数为1、移项、配方、开方）是解题的关键． （1）先将方程两边同除以二次项系数，再通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （2）先将方程两边同除以二次项系数，再移项，通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （3）先将方程两边同除以二次项系数，再移项，通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （4）先将方程两边同除以二次项系数，再移项，通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ,； （4）解：， ， ， ， ， ， ，． 【题型5 配方法的应用】 【例5】若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选：A． 【变式5-1】若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式把原式变形，再根据题意求出，，计算即可． 【详解】解： ， 由题意得：，， 解得：，， 则， 故选：B． 【变式5-2】已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 【变式5-3】若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【变式6-1】一元二次方程 的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】先确定方程中的值，代入计算，即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 一元二次方程为，可得，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【变式6-2】定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义运算，将原方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：根据题意可得， ， 整理，得： ， 判别式 ， ∴该方程无实数根． 【变式6-3】已知关于x的方程，则下列说法正确的是（     ） A．当时，方程没有实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 【答案】C 【分析】先化简原方程，再根据判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵原方程可化为， ∴，方程根的情况与m的值有关，故D选项错误； 当时，即时，方程没有实数根，故A选项错误； 当时，即时，方程有两个相等的实数根，故B选项错误； 当时，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴当时，方程有两个不相等的实数根，故C选项正确． 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：由题意可知：且， 且 【变式7-1】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得． 【变式7-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，有两个不相等的实数根要求判别式大于0，联立条件即可得到的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 综上，的取值范围是且. 【变式7-3】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等实数根时，先得到与的关系，再代入所求代数式化简求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴根的判别式满足 ，即 ∴ ． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【变式8-1】解方程：． 【答案】, 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得，． 【变式8-2】用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式8-3】用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了公式法解方程，熟练掌握用公式法解方程是解题的关键； （1）运用公式法解方程； （2）先将方程化为一般式，再运用公式法解方程． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，． （2）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟知一元二次方程的解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形为，解方程即可． （2）用移项，因式分解法将方程变形为，解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴， 解得 ； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得 ， ∴， 解得 ． 34．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接用二次三项式的因式分解法分解因式解答即可； （2）移项，提公因式分解因式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 35．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 移项得 提取公因式得 则或 解得，； （2）解： 则或 解得，． 【变式9-3】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 运用根与系数的关系计算】 【例10】已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 【变式10-1】已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分别求得和的值即可． 【详解】解：因为是一元二次方程的根，可得 ． 变形，得 ． 由一元二次方程根与系数的关系，得 ． 所以． 【变式10-2】已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】，是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系得，， ． 【变式10-3】一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】若方程的两个实数根分别为、，则，． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为和， ，， ． 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 【例11】已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 【变式11-1】关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 【变式11-2】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 【变式11-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， ， 解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 代入得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 随堂检测c 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，可利用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：D． 2．用配方法解一元二次方程： 配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 ， 解得． 4．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 5．关于x的方程根的情况是（     ）. A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵方程 是一元二次方程，其中，， ∴ ∴方程没有实数根 6．解一元二次方程时，先化为的方法是（    ） A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开方法 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使用的是因式分解法． 【详解】解：∵方程 被化为，这是将多项式分解为两个一次因式的乘积， ∴使用的是因式分解法， 故选：A． 7．已知方程的两个解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程、代数式求值，通过因式分解求出方程的两个根，然后代入表达式计算即可. 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴, ， ∴． 故选：A． 8．方程的解是______． 【答案】， 【分析】将原方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程为， 可得或， 解得，． 9．若关于x的一元二次方程没有实数根，则d的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程没有实数根可得根的判别式，据此构造不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 将代入得， 整理得 ， 解得， 故答案为： ． 10．将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 11．设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【答案】 【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计算得到的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根 根据根与系数的关系，得， 将，代入得： 解得：． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ，，， ， 方程有两个不等的实数根 ，即，． 【点睛】解一元二次方程时，若二次项系数为，且一次项系数能被整除，则用配方法求解较为合适；若二次项系数不为，且一次项系数除以二次项系数的结果不是整数，则用公式法求解更为适宜． 14．已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 解一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 3 【题型3 配方】 3 【题型4 用配方法解方程】 4 【题型5 配方法的应用】 5 【题型6 判断根的情况】 6 【题型7 求参数的值或取值范围】 6 【题型8 用公式法解方程】 7 【题型9 用因式分解法解方程】 8 【题型10 运用根与系数的关系计算】 9 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 10 【随堂检测】 10 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】解方程：． 【变式1-1】关于的一元二次方程的解是________． 【变式1-2】方程的解是______． 【变式1-3】方程的解是_____． 【题型2 可化为】 【例2】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【变式2-1】解方程：． 【变式2-2】解方程． 【变式2-3】解一元二次方程： 【题型3 配方】 【例3】用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A．B． C． D． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【变式4-1】用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2) ． 【变式4-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 配方法的应用】 【例5】若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【变式5-1】若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-2】已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式5-3】若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式6-1】一元二次方程 的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式6-2】定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式6-3】已知关于x的方程，则下列说法正确的是（     ） A．当时，方程没有实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【变式7-1】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式7-3】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B．4 C． D．6 【题型8 用公式法解方程】 【例8】解下列方程：（用公式法）； 【变式8-1】解方程：． 【变式8-2】用公式法解方程： (1)； (2)． 【变式8-3】用公式法解下列方程： (1)． (2)． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 34．解方程： (1)； (2)． 35．解方程： (1)； (2)． 【变式9-3】解方程 (1) (2) 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 运用根与系数的关系计算】 【例10】已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【变式10-1】已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 【变式10-3】一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为_____． 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 【例11】已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【变式11-1】关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【变式11-2】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【变式11-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 随堂检测c 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D．， 2．用配方法解一元二次方程： 配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 5．关于x的方程根的情况是（     ）. A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断 6．解一元二次方程时，先化为的方法是（    ） A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开方法 7．已知方程的两个解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．方程的解是______． 9．若关于x的一元二次方程没有实数根，则d的取值范围是___________． 10．将方程配方成的形式，则_________． 11．设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程： (1)； (2)． 14．已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $