4.5.3 函数模型的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一次、二次、指数、对数及分段函数模型的应用，通过“三种增长方式哪个最快”的情境提问导入，衔接指数与对数函数的增长差异，搭建从函数性质到实际应用的学习支架。 其亮点在于以细胞分裂、打车计费等现实问题为载体，引导学生用数学眼光观察世界，通过“选、建、用、验”四步方法训练数学思维，帮助学生用数学语言表达实际问题。这既提升学生解决实际问题的能力，也为教师提供清晰的教学路径和丰富案例，便于高效教学。

函数模型的应用 4.5.3 函数模型的应用 · 新授课 人教A版 必修第一册 · 第四章 指数函数与对数函数 用一次、二次、指数、对数函数模型解决实际问题。 封面。 学习目标 第 2 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 1. 了解常见函数模型的增长差异； 2. 会建立函数模型解决实际问题； 3. 能根据数据选择合适的函数模型； 4. 体会函数模型在实际中的应用。 学习目标。 情境引入 第 3 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 情境 三种增长方式：线性增长、二次增长、指数增长，哪个最快？ x 很大时，指数函数增长最快，对数函数最慢。 不同问题选不同模型。 情境引入。 常见函数模型 第 4 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 一次函数 y = kx + b：匀速增长； 二次函数 y = a + bx + c：先慢后快； 指数函数 y = ：爆炸式增长； 对数函数 y = x：增长越来越慢。 函数模型对比。 例 1 · 指数增长 第 5 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 例 1 某细胞分裂，1 个变 2 个，x 次后多少个？ 分析：每次翻倍，指数增长。 y = 。 答案：x 次后 y = 个。 例1。 例 2 · 二次模型 第 6 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 例 2 喷泉高度 y 与水平距离 x 满足 y = − + 2x，求最大高度。 分析：二次函数开口向下，顶点最高。 顶点 x = − = 1，y = 1。 答案：最大高度为 1。 例2。 例 3 · 对数模型 第 7 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 例 3 声音分贝 y 与强度 x 满足 y = 10 lg x，强度为 100 时分贝？ 分析：代入 x=100。 y = 10 lg 100 = 10 × 2 = 20。 答案：20 分贝。 例3。 例 4 · 分段模型 第 8 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 例 4 打车：3 公里内 8 元，超过每公里 2 元，x 公里费用？ 分析：分两段写。 x≤3 时 y=8；x>3 时 y=8+2(x−3)。 答案：y = 8, x≤3；2x+2, x>3 。 例4。 练习 1 第 9 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 练习 1 本金 1000 元，年利率 5%，复利，x 年后本息和？ 分析：复利是指数增长。 y = 1000 × 1.0。 答案：y = 1000 × 1.0 元。 练习1。 练习 2 第 10 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 练习 2 长方形周长 20，一边长 x，面积 y 最大？ 分析：另一边长 10−x，面积 y = x(10−x)。 y = −+10x，顶点 x=5，y=25。 答案：最大面积 25。 练习2。 练习 3 第 11 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 练习 3 某种细菌每小时翻倍，2 小时后是原来的几倍？ 分析：指数增长，。 = 4。 答案：4 倍。 练习3。 练习 4 第 12 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 练习 4 温度 y 与时间 x 关系 y = 20 + 5 ln(x+1)，x=e−1 时温度？ 分析：代入 x=e−1。 y = 20 + 5 ln e = 20 + 5 = 25。 答案：25。 练习4。 思考 1 第 13 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 思考 指数函数和二次函数，x 很大时哪个增长快？ 分析：指数爆炸。 x 足够大时， 增长远快于 。 结论：指数函数增长更快。 思考1。 思考 2 第 14 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 思考 对数函数增长有什么特点？ 分析：x 增长越来越慢。 自变量翻倍，函数值只增加 2。 结论：对数增长缓慢，适合描述长期变化。 思考2。 拓展 1 第 15 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 拓展 某地区 GDP 年增长 8%，几年后翻一番？ 分析：1.0 = 2。 x = 2 ≈ 9。 答案：约 9 年翻一番。 拓展1。 拓展 2 第 16 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 拓展 利润 y = − + 8x − 7，求最大利润。 分析：二次函数顶点。 x = 4 时，y = −16 + 32 − 7 = 9。 答案：最大利润为 9。 拓展2。 例 5 · 分段计费 第 17 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 例 5 电费：100 度内每度 0.5 元，超过部分每度 0.8 元，x 度电费？ 分析：分两段。 x≤100 时 y=0.5x；x>100 时 y=50+0.8(x−100)。 答案：y = 0.5x, x≤100；0.8x−30, x>100 。 例5。 练习 5 第 18 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 练习 5 某商品单价 10 元，买 10 个以上打 8 折，x 个总价？ 分析：分段计价。 x≤10 时 y=10x；x>10 时 y=8x。 答案：y = 10x, x≤10；8x, x>10 。 练习5。 思考 3 第 19 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 思考 为什么指数增长不能无限持续？ 分析：资源有限，环境容纳量有限。 现实中指数增长到一定程度会放缓。 结论：实际模型常修正为 S 型增长。 思考3。 拓展 3 第 20 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 拓展 溶液浓度 y 与时间 x 关系 y = 10，多久后减半？ 分析：令 y=5，10=5。 =，−0.1x = −ln2，x = 10ln2 ≈ 6.93。 答案：约 6.93 个单位时间。 拓展3。 方法总结 第 21 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 1. 选模型：匀速用一次，峰值用二次，翻倍用指数，缓变用对数。 2. 建模型：设变量、列式子、定定义域。 3. 用模型：代入求值、求最值、做预测。 4. 检验：结果要符合实际意义。 方法总结。 课堂小结 第 22 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 今天学了函数模型的应用。 关键：会选模型、会建模型、会用模型。 函数是描述现实世界变化规律的数学工具。 小结。 课后作业 第 23 页 人教A版 必修第一册 · 4.5.3 函数模型的应用 教材 P153 练习：第 1、2、3 题； 习题 4.5 第 5、6 题； 实践：调查生活中的一个函数模型并写出来。 作业。 谢谢聆听 4.5.3 函数模型的应用 结束。 $