4.5.3函数模型的应用第二课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，核心内容为用实际数据检验指数模型。课堂导入先回顾上节课基于1950年和1959年数据建立的人口模型，进而提出中间年份数据未参与建模需检验的问题，搭建从模型建立到适用性验证的学习支架。 其亮点在于通过数据计算、表格比较、图象观察三维度检验模型，体现数学眼光（从人口数据中发现数量关系）、数学思维（逻辑分析模型值与实际值的差值）、数学语言（用表格和散点图表达数据关系）。例如计算1951-1958年模型值与实际值，分析最大差值不超过250万，结合散点图判断总体吻合，培养学生模型观念与数据意识，助力教师高效开展应用教学。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第二课时｜例3：用实际数据检验模型 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 148—149 页 本课完成例3第（2）问，不进入练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 旧知回顾 上节课已经用两个端点确定了模型 02 把1950年设为t=0，初始人口为55196万。 由1959年数据求得r≈0.021876。 模型为y=55196e⁰·⁰²¹⁸⁷⁶ᵗ，0≤t≤9。 上节课已经用两个端点确定了模型 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 提出问题 模型能通过端点，不等于中间年份也准确 03 建模时只用了1950年和1959年两组数据。 1951—1958年的实际人口没有参与求参。 用中间年份检验，才能判断模型是否合适。 模型能通过端点，不等于中间年份也准确 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 变量对应 先把年份换成模型中的时间t 04 1951年对应t=1，1952年对应t=2。 依次类推，1958年对应t=8。 每个t代入同一个指数模型。 先把年份换成模型中的时间t [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 计算示范 代入t=1，先算出1951年的模型值 05 t=1时，y=55196e⁰·⁰²¹⁸⁷⁶ 计算工具得到y≈56417。 所以模型预测1951年末人口约56417万。 代入t=1，先算出1951年的模型值 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 批量计算 其余年份只改变t的取值 06 分别取t=2，3，…，8。 保持初始量55196和参数0.021876不变。 得到1952—1958年各年末的模型值。 其余年份只改变t的取值 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 数据比较 先看1951—1954年的两组数据 07 年份 1951 1952 1953 1954 模型值/万 56417 57665 58940 60243 实际值/万 56300 57482 58796 60266 逐年比较：两组数据接近，但并不完全相同。 先看1951—1954年的两组数据 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 数据比较 再看1955—1958年的两组数据 08 年份 1955 1956 1957 1958 模型值/万 61576 62938 64330 65753 实际值/万 61465 62828 64563 65994 逐年比较：两组数据接近，但并不完全相同。 再看1955—1958年的两组数据 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 比较差值 差值既有正，也有负 09 1951—1953年模型值略高于实际值。 1954年模型值略低23万。 1957—1958年模型值又低于实际值。 差值既有正，也有负 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 数量判断 八个年份的差距都不超过250万 10 最大正差为1952年的183万。 最大负差为1958年的241万。 相对六万万左右的总量，差距较小。 八个年份的差距都不超过250万 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 转向图象 表格告诉我们“接近”，但还不够直观 11 横轴表示从1950年起经过的年数。 纵轴表示年末人口总数，单位是万。 实际数据画成散点，模型画成连续曲线。 表格告诉我们“接近”，但还不够直观 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 图象观察 散点大致落在模型曲线附近 12 两种表征都显示人口总体上升。 多数散点与指数曲线距离较近。 局部偏差说明模型不是实际数据的复制。 散点大致落在模型曲线附近 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 得出结论 模型与1950—1959年的数据基本吻合 13 表中模型值与实际值整体接近。 散点图也与函数图象大致贴合。 因此教材判断：该模型在这段时期基本适用。 模型与1950—1959年的数据基本吻合 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 方法提炼 检验模型要同时看数据和图象 14 算：代入模型得到预测值。 比：与实际数据逐项比较。 看：结合散点与曲线判断总体趋势。 检验模型要同时看数据和图象 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 课堂小结 模型是对现实规律的近似刻画 15 求参回答“模型是什么”。 检验回答“模型在这段数据上是否合适”。 基本吻合不等于每个年份完全相等。 模型是对现实规律的近似刻画 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：说清模型检验的依据 16 必做：整理表4.5-4中模型值与实际值的比较。 自查：为什么不能只用1950年和1959年检验？ 预习：例3第（3）问怎样用模型预测13亿。 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148—149页例3、表4.5-4及图4.5-6（本地PDF第155—156页）。 [/Sources] $