第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第13-14章）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学第13-14章月考自测卷，聚焦三角形知识，通过基础概念辨析、情境化应用及探究性问题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|三角形识别、三边关系、中线角平分线概念|基础概念辨析，如第2题三边关系判断| |填空题|8/16|等腰三角形、角平分线性质、动态几何|结合分类讨论，如第12题等腰三角形周长分段| |解答题|7/64|全等判定、重心探究、作图与计算|注重探究与应用，如24题重心实践探究、25题全等判定分类讨论|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第13-14章） 一、选择题（共20分） 1．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 2．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 3．①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】抓住点与角的区别、三角形角平分线的属性，结合对角、中线的定义逐一判断． 【详解】解：①的顶点是点，是角，二者不相同，故①错误； ②三角形一边的对角是该边所对的角，即另外两边的夹角，故②正确； ③三角形的中线是一顶点与它对边中点连接的线段，符合中线定义，故③正确； ④三角形的角平分线是线段，不是射线，故④错误； 综上所述，正确的有②③． 4．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，即可判断． 【详解】解：∵，与，与是对应角，与是对应边， ∴，，， 而与不是对应边， ∴与不一定相等． 5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（     ） A．165° B．155° C．125° D．115° 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，根据重力方向竖直向下及斜面坡角，利用三角形外角性质求出斜面与重力方向延长线的夹角，再结合平行线性质求解． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， 根据三角形外角性质，斜面与重力方向的夹角（钝角）为， 平行于斜面， ． 6．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 7．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 8．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 9．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 10．如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 二、填空题（共16分） 11．如图，，，，则的长是 _______ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 12．如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为________． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． 题中没有指明哪部分的周长大，故应该分两种情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当，时， ∵为腰的中线， ∵ ∴， ， ∴， ②当，时 ∵ ∴， ， ∴， 故答案为：或． 13．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 14．已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 【答案】或或或 【分析】根据题意得出，，然后分四种情况分析：分别作出相应图象，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∴旋转角为：， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴旋转角为：， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 综上可得：运动的时间为或或或秒． 15．如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】/44度 【分析】点D在内部，且到三边的距离相等，得到平分，平分，根据三角形内角和求解即可； 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ； 16．如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 【答案】33 【分析】过点作于点，作于点，连接，先得出，，再得出，然后根据的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，，， ∴，， ∵的周长是22， ∴， ∴的面积等于 ． 17．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________． 【答案】 【分析】证明，则可得到． 【详解】解：由光的反射定律可得， 由题意得，， ∴， ∴． 18．如图，在中，平分，，，，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题（共64分） 19．如图，在中，于D平分与交于点F，求． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是先根据三角形内角和求出角的度数，再利用角平分线得到平分角的度数，结合高线的垂直关系，通过三角形外角性质求出目标角度． 根据三角形内角和定理求出的度数；由角平分线的性质得到的度数；结合得出的度数；再利用三角形外角等于不相邻两个内角之和，求出的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵于D， ∴， ∴． 故答案为：． 20．已知：在中，，平分， 垂直平分．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查含度角的直角三角形性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）由为中垂线，可知，是角平分线，可得，由此知三角相等，三角之和为，可求； （2）根据角平分线性质求出的长和的度数，根据含度角的直角三角形性质求出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是的外角, ∴， 即； （2）解： ， 即． 22．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2)16 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径，画弧分别交，于点，再以为圆心，大于长为半径画弧，交内一点P，连接，交于点D． （2）过点D作，由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵，， ∴， ∴． 23．如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1) 证明：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； (2)点的速度为 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 24．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 25．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即）和直角三角形全等的判定方法（即后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．    (1)【逐步探究】 第一种情况：当是直角时，如图1，根据　　定理，可得． (2)第二种情况：当是钝角时，仍成立．请你完成证明． 已知：如图2，在和中，，且、都是钝角，求证：． (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．在和中，，且、都是锐角，请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4)【深入思考】 在和中，，且、都是锐角，若　时，则． 【答案】(1) (2) 证明：如图②，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴ ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴ (3)    (4) 【分析】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可． （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可． （3）通过边边角画出反例即可． （4）由图③可知，，则，反之即可保证全等． 【详解】（1）解：如图①， ∵， 在和中，， ∴， 故答案为： （2）略 （3）解：如图③中，在和，，和不全等； （4）解：由图③可知，， ∴， ∴当时，就唯一确定了， 则 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第13-14章） 一、选择题（共20分） 1．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 3．①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 4．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（     ） A．165° B．155° C．125° D．115° 6．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 9．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 10．如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．如图，，，，则的长是 _______ ． 12．如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为________． 13．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 14．已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 15．如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 16．如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 17．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________． 18．如图，在中，平分，，，，则______． 三、解答题（共64分） 19．如图，在中，于D平分与交于点F，求． 20．已知：在中，，平分， 垂直平分．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 21．如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 22．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若，求的面积． 23．如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 24．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 25．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即）和直角三角形全等的判定方法（即后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．    (1)【逐步探究】 第一种情况：当是直角时，如图1，根据　　定理，可得． (2)第二种情况：当是钝角时，仍成立．请你完成证明． 已知：如图2，在和中，，且、都是钝角，求证：． (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．在和中，，且、都是锐角，请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4)【深入思考】 在和中，，且、都是锐角，若　时，则． 学科网（北京）股份有限公司 $