第25—27章 阶段检测卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25-27章（一元二次方程、二次函数、反比例函数）阶段检测卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，全面考查核心知识与数学思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、函数图象与性质、平移规律|基础概念辨析（如第1题方程定义），结合几何直观（如第3题二次函数图象分析）| |填空题|6/24|根与系数关系、反比例函数k的几何意义、二次函数顶点坐标|公式应用（如第11题x₁²+x₂²计算），数学符号意识（如第14题反比例函数增减性）| |解答题|6/66|方程解法、函数解析式求解、利润最值、动点问题|综合应用（如第20题销售利润模型），创新意识（如第22题抛物线与线段最值），体现运算能力与模型意识|

2026—2027学年人教版九年级数学上册 第25—27章 阶段检测卷（提升版） （一元二次方程 · 二次函数 · 反比例函数） 考试时间：120 分钟 满分：120 分 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. ax²+bx+c=0 B. x²+1÷x=0 C. x²=0 D. (x+1)(x−1)=x²−x 2. 用配方法解方程 x²−4x−1=0，将方程化为 (x+m)²=n 的形式，正确的是（　　） A. (x−2)²=1 B. (x−2)²=5 C. (x+2)²=5 D. (x+2)²=3 3. 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图1所示，则下列结论正确的是（　　） 图1 A. a>0 B. c<0 C. b²−4ac<0 D. 当 −1<x<3 时，y>0 4. 将抛物线 y=x² 平移得到抛物线 y=(x−1)²+2，则下列平移方式正确的是（　） 图2 A. 先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 C. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 D. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 5. 已知点 A(−3,y₁)、B(−1,y₂)、C(2,y₃) 都在反比例函数 y=6÷x 的图象上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A. y₁>y₂>y₃ B. y₃>y₁>y₂ C. y₂>y₁>y₃ D. y₃>y₂>y₁ 6. 如图3，正比例函数 y=x 与反比例函数 y=4÷x 的图象交于 A(2,2)、B(−2,−2) 两点，则使反比例函数的值大于正比例函数的值的 x 的取值范围是（　　） 图3 A. −2<x<0 或 x>2 B. x<−2 或 0<x<2 C. −2<x<2 D. x<−2 或 x>2 7. 若关于 x 的一元二次方程 x²−2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A. m<1 B. m>1 C. m≤1 D. m≥1 8. 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图10所示，其对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 (1,−2)，则一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根的情况是（　　） 图10 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 某商品原价每件 100 元，经过连续两次降价（两次降价的百分率相同）后，每件售价为 81 元。设每次降价的百分率为 x，则可列方程为（　　） A. 100(1−x)²=81 B. 100(1+x)²=81 C. 81(1−x)²=100 D. 100(1−2x)=81 10. 如图10，已知抛物线 y=ax²+bx+c 的顶点坐标为 (1,−2)，且与 y 轴交于负半轴，则下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当 x=2 时 y<−2；④a−b+c>−2，其中正确的有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 若一元二次方程 x²−5x+6=0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁²+x₂² 的值为 __________。 12. 如图2（图12），点 P 是反比例函数 y=6÷x（x>0）图象上一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足为 A、B，则矩形 OAPB 的面积为 __________。 图12 13. 如图13，抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则该抛物线顶点 D 的坐标为 __________。 图13 14. 若反比例函数 y=(m−1)÷x 的图象在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 __________。 15. 已知抛物线 y=x²+bx+c 经过点 (0,3) 和 (1,0)，则 b+c 的值为 __________。 16. 一元二次方程 x²−8=0 的解为 x=__________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）选择合适的方法解下列一元二次方程： （1）x²−5x+6=0； （2）2x²−3x−1=0。 18.（本小题满分 10 分）如图18，抛物线 y=ax²+bx+c 经过 A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3) 三点，顶点为 D。 图18 （1）求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）求 △BCD 的面积。 19.（本小题满分 11 分）如图19，一次函数 y=k₁x+b 与反比例函数 y=k₂÷x 的图象交于 A(2,3)、B(−3,−2) 两点。 图19 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 △AOB 的面积； （3）直接写出使 k₁x+b>k₂÷x 的 x 的取值范围。 20.（本小题满分 11 分）某商场销售一种进价为每件 40 元的商品。当售价为每件 60 元时，每周可售出 300 件；市场调查发现，售价每提高 1 元，每周的销量就减少 10 件。设这种商品的售价每件提高 x 元（x≥0），每周的销售利润为 W 元。 （1）求 W 与 x 之间的函数解析式； （2）当每件售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21.（本小题满分 11 分）如图21，抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴交于 A(−1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3)，其对称轴为直线 l。 图21 （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 P 是对称轴 l 上一动点，当 △PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标及周长的最小值。 22.（本小题满分 13 分）如图18，抛物线 y=−x²+2x+3 与 x 轴交于 A(−1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,3)，顶点为 D，直线 BC 交对称轴于点 E。 （1）求顶点 D 的坐标； （2）点 M 在抛物线上，且 S△MAB=S△CAB，求点 M 的坐标； （3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 Q，求线段 PQ 的最大值。 参考答案与解析 一、选择题 1. C（A 中 a 可能为 0，不一定是二次方程；B 含分式；D 化简后二次项抵消，只剩 −x+1=0 是一次方程；C 符合定义。） 2. B（移项得 x²−4x=1，两边加 4：x²−4x+4=5，即 (x−2)²=5。） 3. D（图象开口向下 a<0；与 y 轴交正半轴 c>0；与 x 轴两交点 b²−4ac>0；−1<x<3 时图象在 x 轴上方，y>0。） 4. B（“左加右减、上加下减”，y=x² 向右平移 1、向上平移 2 得 y=(x−1)²+2。） 5. B（代入：y₁=6÷(−3)=−2，y₂=6÷(−1)=−6，y₃=6÷2=3，故 y₃>y₁>y₂。） 6. B（反比例图象在正比例图象上方的区间为 x<−2 或 0<x<2。） 7. A（Δ=(−2)²−4m=4−4m>0，解得 m<1。） 8. C（顶点纵坐标 −2<0 且开口向上，图象与 x 轴有两个交点，故方程有两个不相等实根。） 9. A（连续两次降价：100(1−x)²=81。） 10. C（对称轴 x=1 得 −b÷2a=1，即 2a+b=0，②正确；顶点为最低点，x=2 时 y>−2，③错误；由② b=−2a，且图象过 (0,c)，c<0，开口向上 a>0，则 abc：c<0、对称轴 x=1>0 知 b<0，故 abc>0 ①正确；x=−1 时 y=a−b+c，因 x=−1 到对称轴距离与 x=3 相同，而顶点 y=−2，x=−1 处 y>−2，故 a−b+c>−2 ④正确。共 3 个，选 C。） 二、填空题 11. 13（x₁+x₂=5，x₁x₂=6，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=25−12=13。） 12. 6（过图象上一点作两坐标轴的垂线，所得矩形面积=|k|=6。） 13. (1,−4)（y=x²−2x−3=(x−1)²−4，顶点 (1,−4）。） 14. m<1（在每个象限内 y 随 x 增大而增大，需 k=m−1<0，解得 m<1。） 15. −1（代入 (0,3) 得 c=3；代入 (1,0) 得 1+b+3=0，b=−4，故 b+c=−4+3=−1。） 16. ±2√2（x²=8，x=±√8=±2√2。） 三、解答题 17.（1）因式分解 (x−2)(x−3)=0，得 x₁=2，x₂=3。 　　（2）a=2,b=−3,c=−1，Δ=(−3)²−4×2×(−1)=9+8=17>0，x=(3±√17)÷(2×2)=(3±√17)÷4， 　　　即 x₁=(3+√17)÷4，x₂=(3−√17)÷4。 18.（1）设 y=a(x+1)(x−3)，代入 C(0,3)：3=a×1×(−3)=−3a，a=−1， 　　　故 y=−(x+1)(x−3)=−x²+2x+3，顶点 D(1,4)。 　　（2）B(3,0)、C(0,3)、D(1,4)。用割补法：S△BCD=3。 19.（1）反比例：k₂=2×3=6，y=6÷x。一次函数过 A、B：3=2k₁+b，−2=−3k₁+b，解得 k₁=1，b=1， 　　　y=x+1。 　　（2）S△AOB=½|x_A·y_B−x_B·y_A|=½|2×(−2)−(−3)×3|=½×5=5÷2。 　　（3）一次函数图象在反比例图象上方的区间为 −3<x<0 或 x>2。 20.（1）每件利润 (60+x−40)=(20+x) 元，每周销量 (300−10x) 件， 　　　W=(20+x)(300−10x)=−10x²+100x+6000（0≤x<30）。 　　（2）W=−10(x−5)²+6250+1000=−10(x−5)²+6350，当 x=5 时 W 最大=6350 元， 　　　即售价定为 60+5=65 元时，每周最大利润为 6350 元。 21.（1）设 y=kx+b 过 B(3,0)、C(0,−3)：b=−3，3k−3=0，k=1，直线 BC：y=x−3。 　　（2）点 A 关于对称轴 x=1 的对称点为 B(3,0)，故 PA=PB，PA+PC=PB+PC≥BC， 　　　当 P 为 BC 与对称轴交点时最小。将 x=1 代入 y=x−3 得 y=−2，故 P(1,−2)。 　　　BC=√(3²+3²)=√18=3√2，AC=√(1²+3²)=√10， 　　　△PAC 周长最小值=AC+BC=√10+3√2。 22.（1）y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4，顶点 D(1,4)。 　　（2）S△CAB：AB=4，高为 C 到 x 轴距离 3，S=½×4×3=6。令 |y_M|=3。 　　　当 y=3：−x²+2x+3=3，x=0（舍，即点 C）或 x=2，得 M(2,3)； 　　　当 y=−3：−x²+2x+3=−3，x²−2x−6=0，x=(2±√28)÷2=1±√7，得 M(1+√7,−3)、M(1−√7,−3)。 　　　故 M 为 (2,3) 或 (1+√7,−3) 或 (1−√7,−3)。 　　（3）直线 BC：过 B(3,0)、C(0,3)，y=−x+3。设 P(t,−t²+2t+3)，Q(t,−t+3)， 　　　PQ=(−t²+2t+3)−(−t+3)=−t²+3t=−(t−1.5)²+2.25， 　　　当 t=1.5（0<t<3）时，PQ 最大=2.25=9÷4。 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $