2026-2027学年九年级上册数学第一次阶段性检测（范围：第25,26章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以樱桃产量增长率、小球飞行轨迹等现实情境及“倒方程”“同族二次方程”创新定义设计问题，梯度覆盖概念理解、运算推理到综合应用，适配九年级上册阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|一元二次方程定义、二次函数性质|结合小球飞行函数关系考查建模能力| |填空题|10/40|根的判别式、抛物线与x轴交点、动点问题|以飞机滑行距离函数求最值，体现应用意识| |解答题|8/86|方程求解、利润问题、根与系数关系|26题阅读材料拓展根与系数关系应用，培养推理能力与创新意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上第一次阶段性检测 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版 2024九年级上册第25,26章 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）关于二次函数下列说法正确的是（   ） A．该函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 5．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，有最大值 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标是 6．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．（本题3分）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共40分） 9．（本题4分）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数表达式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为_____． 10．（本题4分）抛物线与轴的交点坐标分别为．当时，的取值范围是_______． 11．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 12．（本题4分）如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 13．（本题4分）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 14．（本题4分）若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则______． 15．（本题4分）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 16．（本题4分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 17．（本题4分）如图，抛物线与轴相交于两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，的值为______． 18．（本题4分）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 三、解答题（共86分） 19．（本题10分）解方程 (1)； (2) 20．（本题10分）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 21．（本题10分）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．（本题10分）如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： (1)求拋物线的对称轴； (2)写出不等式的解集． 23．（本题10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 24．（本题10分）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 25．（本题12分）已知二次函数（为已知数）． (1)求该函数图象的对称轴（用含的代数式表示）． (2)与轴平行的直线交该函数图象于两点，且点的横坐标为，求线段的长． (3)若，点，在该函数图象上，求证：． 26．（本题14分）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上第一次阶段性检测 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版 2024九年级上册第25,26章 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（本题3分）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 3．（本题3分）若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，通过两个函数关系式描述同一运动，顶点处的最大高度相等，建立方程求解． 【详解】解：∵ 两个函数关系式描述同一小球的运动， ∴ 最大高度相等， 从得最大高度， 从得最大高度， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（本题3分）关于二次函数下列说法正确的是（   ） A．该函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、最值和增减性． 【详解】解：根据二次函数解析式，可知， A、，开口向上，故选项A错误，不符合题目要求； B、顶点坐标为，故选项B错误，不符合题目要求； C、开口向上，函数有最小值，最小值为，故选项C错误，不符合题目要求； D、对称轴为，且开口向上，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 5．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，有最大值 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的相关知识，熟练掌握其性质是做题的关键．根据二次函数的解析式，依次得出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． ∵， ∴ 抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，， 即当时，有最大值． 综上，说法正确的是选项B． 故选：B． 6．（本题3分）已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的性质，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由于点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到a，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可 【详解】∵点和在函数的图象上，   ∴，即，   同理，   ∴a, b是方程的两个根，   由根与系数关系得：，   由，得，   ∴，   代入，   ∴原式   故选C 7．（本题3分）已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 8．（本题3分）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 二、填空题（共40分） 9．（本题4分）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数表达式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．要求飞机从着陆至停下来滑行的最长时间，即求出函数取得最大值时，自变量的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴当时，该函数有最大值600． 即飞机着陆后滑行的最长时间为 故答案为：20． 10．（本题4分）抛物线与轴的交点坐标分别为．当时，的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 写出抛物线在x轴下方所对应的交点横坐标的范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的交点坐标分别为， ∴当时，． 故答案为：． 11．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 12．（本题4分）如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键；由题意易得，然后可代入进行求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为1． 13．（本题4分）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 14．（本题4分）若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则______． 【答案】 【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，即可得出，再利用图象上对称两点的坐标，即可求出的值，从而得出抛物线的解析式，然后把代入，即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴只有一个公共点， 该抛物线的顶点坐标为，且， ， 抛物线过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 即：， ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得的值是解题的关键． 15．（本题4分）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，可得对称轴不超过1，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点， ∴． 解得：； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大， ∴， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 16．（本题4分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 17．（本题4分）如图，抛物线与轴相交于两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，利用根和系数的关系先求出，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴，， ∴， ∴， 当取最小值时，抛物线的顶点到的距离最小，此时阴影部分的面积最小， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（本题4分）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 三、解答题（共86分） 19．（本题10分）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 20．（本题10分）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 21．（本题10分）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)①y与x的函数关系式为；②当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个”可进行求解； （2）①根据（1）及题意可直接进行求解； ②由①中函数解析式可得开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这种品牌玩具的销售量为个； 故答案为； （2）解：①由题意得：； ∴y与x的函数关系式为； ②由①可知：y与x的函数关系式为， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为； 答：当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元． 22．（本题10分）如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： (1)求拋物线的对称轴； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）根据对称轴可求出当时，；当时，，然后数形结合求解即可． 【详解】（1）解：   抛物线对称轴为直线； （2）解：对称轴为直线 ， 当时，；当时， 的解集为或 23．（本题10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 24．（本题10分）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 25．（本题12分）已知二次函数（为已知数）． (1)求该函数图象的对称轴（用含的代数式表示）． (2)与轴平行的直线交该函数图象于两点，且点的横坐标为，求线段的长． (3)若，点，在该函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 当时，，则， 此时， 即点到对称轴的距离更远， ∴； 当时，，则， 此时， 即点到对称轴的距离更远， ∴； 综上，． 【分析】（）根据解析式求出抛物线与轴的交点坐标，进而求出对称轴； （）根据对称性求出点的横坐标，进而即可求解； （）求出点和点到对称轴的距离，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴对称轴为直线； （2）解：设点的横坐标为， ∵对称轴为直线，点的横坐标为， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）略 26．（本题14分）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $