2.2 课时2 反比例函数的性质 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以6个知识点为分层单元，从基础性质到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化反比例函数性质的理解与应用，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|k＞0/k＜0时的增减性|选择填空辨析“在每个象限内”前提，培养抽象能力| |技能应用|k的几何意义（矩形/三角形面积）|结合图形计算面积及逆求k值，发展几何直观| |综合拓展|坐标特征比较、与一次函数交点|含动态问题及方程思想应用，提升推理意识|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第2章 反比例函数 2．2 反比例函数的图象与性质 课时2 反比例函数的性质 ▌课时目标 1. 理解并掌握反比例函数在k＞0和k＜0时的增减性，明确“在每个象限内”的前提，能正确比较同一象限或不同象限内函数值的大小。 2. 掌握反比例函数系数k的几何意义，能计算双曲线上任意一点与坐标轴围成的矩形和三角形的面积，并能逆向运用求k值或点的坐标。 3. 能联立反比例函数与一次函数的解析式求解交点坐标，理解交点问题的代数本质（转化为解方程），并能结合图象分析两函数值的分布。 ▌课时目录 知识点01：k＞0时反比例函数的增减性 知识点02：k＜0时反比例函数的增减性 知识点03：反比例函数系数k的几何意义（矩形面积） 知识点04：反比例函数系数k的几何意义（三角形面积） 知识点05：反比例函数图象上点的坐标特征与大小比较 知识点06：反比例函数与一次函数的交点问题 ▌知识点01：k＞0时反比例函数的增减性 对于反比例函数，当k＞0时，图象分布在第一、三象限。在每一个象限内，y随x的增大而减小。 注意：必须强调“在每个象限内”，不能笼统说“y随x增大而减小”。 例如：点A(－1,－k)在第三象限，点B(1,k)在第一象限，当x从－1增大到1时，y从－k增大到k，不符合“减小”，因为跨了象限。 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】 减小 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第一象限内的图象， ∴随的增大而减小． 4．（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． ▌知识点02：k＜0时反比例函数的增减性 当k＜0时，图象分布在第二、四象限。在每一个象限内，y随x的增大而增大。 同样受“在每个象限内”限制。例如：第二象限点x＜0，y＞0，第四象限点x＞0，y＜0，跨象限比较时不满足单调性。 5．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． ▌知识点03：反比例函数系数k的几何意义（矩形面积） 过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，则两垂线与坐标轴围成的矩形OAPB的面积S＝∣x∣·∣y∣＝∣xy∣＝∣k∣。 结论：矩形面积恒等于比例系数k的绝对值，与点的位置无关。 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知是反比例函数图象上的点，轴，交轴于点，连接，动点做匀速运动，轨迹为从坐标原点出发，沿线段运动，再从沿双曲线运动到，最后从沿线段运动到，终点为．过点作轴于，轴于，设四边形的面积为，点运动的时间为，则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过两段的判断即可得出答案，点在上运动时，此时四边形的面积不变，可以排除；点在上运动时，与的关系为一次函数，从而排除. 【详解】解：点在上运动时，此时四边形的面积为比例系数 ，保持不变，故排除； 点在 上运动时，设路线的总路程为 ，点的速度为 ，则 ，因为均是常数， 所以与成一次函数关系，故排除， 故选：A． 10．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 11．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 12．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上． (1)记图中两处矩形阴影的面积分别为、，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)求反比例函数的解析式，并求的长． 【答案】(1)＝ (2)， 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答； （2）根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再解方程组得到点N的坐标，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为（）， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，图中两处矩形阴影的面积． （2）解：设反比例函数的解析式为（）， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， 解方程组，得， ∴， ∴． ▌知识点04：反比例函数系数k的几何意义（三角形面积） 在上述矩形基础上，连接OP，将矩形分为两个全等的直角三角形（△OPA和△OPB）。每个直角三角形的面积S△OPA＝∣x∣·∣y∣＝∣k∣。 结论：直角三角形中由垂足、原点和图象上点构成的三角形面积恒为∣k∣。 13．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 14．（2026·重庆·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（    ） A．2．5 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，过点作轴于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得出，再利用反比例函数的几何意义求出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可得， 是等腰三角形， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 15．（2026·新疆哈密·三模）如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 【答案】9 【分析】设，得到，求出，即，然后得到，求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过边的中点 ∴设 ∴ ∵的直角顶点在轴上 ∴轴 ∴点D的横坐标为 将代入 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 16．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． ▌知识点05：反比例函数图象上点的坐标特征与大小比较 坐标特征：若点(x0, y0)在上，则x0y0＝k。 大小比较方法： 1. 同象限：利用增减性，k＞0时，x越大y越小；k＜0时，x越大y越大。 2. 不同象限：k＞0时，第一象限y＞0，第三象限y＜0，所以第一象限的y值总大于第三象限；k＜0时，第二象限y＞0，第四象限y＜0，第二象限y值总大于第四象限。 17．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 18．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 19．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 20．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． ▌知识点06：反比例函数与一次函数的交点问题 在同一坐标系中识别与的图象时，需综合判断： 1. 看象限：k的符号决定双曲线所在象限，m的符号决定直线倾斜方向，n决定直线与y轴交点。 2. 找交点：若直线与双曲线有交点，则交点坐标同时满足两个解析式，即的解。 3. 一致性检验： (1) 若双曲线在一、三象限（k＞0），则直线可能经过一、二、三象限或一、三、四象限； (2) 若双曲线在二、四象限（k＜0），则直线可能经过一、二、四象限或二、三、四象限。图象必须自洽。 21．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 22．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 23．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入， 可得； （2）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 24．（26-27九年级上·江苏泰州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①求的值； ②关于的不等式的解集为_； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)点的坐标为或； (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可求解； （2）先求得直线与轴的交点的坐标，再利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质证得，求得，同理，据此求解即可． 【详解】（1）解：①将代入中，得，所以， 再将代入中，得， 解得； ②由图象得，关于的不等式的解集为或； （2）解：由（1）得， 记直线交轴于点， 令，则，所以， ∵的面积为5， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和， 联立得， 解得或， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 同理， ∵线段与反比例函数的图象有交点， ∴将，分别代入中， ∴或， ∴或， ∴或， ∵交点在第三象限， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·浙江绍兴·二模）已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两点坐标代入反比例函数解析式，得到关于的表达式，再根据的条件求出的取值范围，最后结合选项判断即可. 【详解】解：∵ 点，都在反比例函数的图象上， ∴ 将坐标代入解析式得：，， ∵ ， ∴  ， 即 ， 故选：A. 2．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 3．（2026·重庆武隆·二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 4．（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据点是的中点，利用三角形中线平分三角形面积的性质，推导出，再根据反比例函数的几何意义及三角形面积公式求得的值. 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴点到的距离等于的长， ∵点为中点， ∴、分别是、的边上的中线， ∴，， ∴ 即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设点的坐标为，则，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 二、填空题 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，图象位于第一、三象限，据此得到，再解不等式即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， 则比例系数， 解得， 故答案为：． 6．（2026·江苏南京·一模）反比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质； 根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时，； 当时，； 所以， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，矩形的边在轴上，反比例函数的图象过点和边的中点，连接，若的面积是2，则k的值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，根据矩形的性质可得，，设E的坐标是，则可得到，C的坐标是，则，求出点D的坐标，进而求出，根据的面积求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设E的坐标是， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴ ∴； ∵点E是的中点， ∴C的坐标是， ∴， 在中，当时，，解得， ∴点D的坐标为， ∴ ∵的面积是2， ∴， ， ， 故答案为：8． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴相交于点，且与函数的图象只有一个公共点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用、根的判别式、勾股定理，关键是利用勾股定理表示；根据直线与函数只有一个公共点可得的值，继而求得的坐标，结合，求出点坐标，则值可求． 【详解】解：∵直线与函数只有一个公共点， ∴仅有一个解， 整理得， ∴，解得（舍）， ∴直线， ∴点， 当时，，即： 设点的坐标为 ∵， ∴ ∴， 解得（舍）， ∴， ∵在函数的图象上， ∴. 故答案为： ． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第2章反比例函数 2.2反比例函数的图象与性质 课时2反比例函数的性质 课时目标 理解并掌握反比例函数y-化≠0)在>0和k<0时的增减性，明确“在每个象限 内”的前提，能正确比较同一象限或不同象限内函数值的大小。 2. 掌握反比例函数系数k的几何意义，能计算双曲线上任意一点与坐标轴围成的矩形和 三角形的面积，并能逆向运用求k值或点的坐标。 3. 能联立反比例函数与一次函数的解析式求解交点坐标，理解交点问题的代数本质（转 化为解方程)，并能结合图象分析两函数值的分布。 课时目录 知识点01：k>0时反比例函数的增减性 知识点02：k<0时反比例函数的增减性 知识点O3:反比例函数系数k的几何意义（矩形面积） 知识点04：反比例函数系数k的几何意义（三角形面积) 1/14 知识点05：反比例函数图象上点的坐标特征与大小比较 知识点06：反比例函数与一次函数的交点问题 知识点01：k>0时反比例函数的增减性 y=二(k≠0) 对于反比例函数 x】 当k>0时，图象分布在第一、三象限。在每一个象限内，y 随x的增大而减小。 注意：必须强调“在每个象限内”，不能笼统说“y随x增大而减小”。 例如：点A(-1,一)在第三象限，点B(1,)在第一象限，当x从一1增大到1时，y从一k增 大到k,不符合“减小”，因为跨了象限。 k>0 1,(2526八年级下海南省直若县级单位期末)对于反比例函数，下列说法正确的是《)） 1,-3) A.图象经过点 B.若点 (,）,B(,)都在图象上，且5<5，则片>片 C.图象位于第二、四象限 D.当x>0时，y随x的增大而减小 2.（25.26八年级下上海杨浦期末)已知点A(3,小、B(-1小、C2,5)在反比例函数y x(k>0) 的图象上，那么”、少、乃的大小关系是《) A.片<h<为 B.为<H<⅓ C.为<片<为 D.为<h<y 3。（2526八年级下海南省直辖县级单位期未)己知反比例质数y-4 ,当x>0时，y随x的增大而 2/14 (填“增大”或“减小”)· 4.(2026吉林中考真题)己知点A(2,y),B(3,)都在反比例函数y=文的图象上，比较y与为，的大小： y2 知识点02：k<0时反比例函数的增减性 当k<0时，图象分布在第二、四象限。在每一个象限内，y随x的增大而增大。 同样受“在每个象限内”限制。例如：第二象限点x<0,y>0,第四象限点x>0,y<0, 跨象限比较时不满足单调性。 k<0 5。（26-27九年级上：吉林长春开学考试)已知反比例函数y= x,下列结论正确的是() -1,-3) A.其图象经过点 B.其图象位于第一、第三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时，0<y≤1 k 6.(25-26八年级下山东烟台·期末)已知反比例函数y=x的图象经过点(1，-2)，下面说法错误的是 () A.反比例函数的关系式为y=-2 B.点12) 在反比例函数图象上 C.反比例函数的图象在第二、四象限 D.当x<0时，y随x增大而减小 3/14 6 7.(25-26八年级下河南周口期末)点M(a,y,(a+2,,)在反比例函数y=-x图象上，且a<-2,则 ,2 大小关系为() A.片>与 B.片<片 C.片=乃 D.无法确定 -m2-1 8.(25-26八年级下-江苏扬州期未)已知点4(：，-3列，B(x,2),C(s,2)在反比例函数'=x的 图象上，则，方，5 的大小关系是 (用“<”连接). 知识点03：反比例函数系数k的几何意义（矩形面积） 过双曲线上任意一点P(x,)分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B,则两垂线与坐标轴围 成的矩形OAPB的面积S=|x=|xy=I。 结论：矩形面积恒等于比例系数k的绝对值，与点的位置无关。 9.(2026黑龙江齐齐哈尔·二模)如图，己知A,B是反比例函数图象上的点，BC‖x轴，交y轴于点C, 连接OA,动点P做匀速运动，轨迹为从坐标原点O出发，沿线段OA运动，再从A沿双曲线运动到B, 最后从B沿线段BC运动到C,终点为C.过点P作PM⊥x轴于M,PN1y轴于N,设四边形 OMPW的面积为S,P点运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致是() 4/14 10,（2026-江苏连云港中考真意)如图，在平面直角坐标系x0中，两个反比例函数y=-6 和少=、2 在 第二象限内的图象依次为S,G.已知点P在G上，点A,B在C上，且PAL轴。PB1y轴，则 四边形OAPB的面积为一· B 1。（25-26九年级下福建莆田阶段检测)如图，两个反比例函数y-车 x和y=子（其中无2>、0 ）在第一象限内的图象依次是9和C,设点P在C9上，PCL“销于点C,交G于点4，PD1) 轴于点D,交C于点B,则四边形PAOB C 的面积是一 C C2 B D A C 12.(2026吉林松原·模拟预测)如图，反比例函数的图象经过 点P(6,2),直线'=4与y轴交于点M,与 反比例函数的图象交于点N,点Q在反比例函数第三象限的图象上. 5/14 4、M (1)记图中两处矩形阴影的面积分别为 (②)求反比例函数的解析式，并求ON的长. 知识点04：反比例函数系数k的几何意义（三鱼形面积） 在上述矩形基础上，连接OP,将矩形分为两个全等的直角三角形（△OPA和△OPB)。每 1 个直角三角形的面积SAo4=2|xyl=21。 结论：直角三角形中由垂足、原点和图象上点构成的三角形面积恒为2|。 k>0 13。(2026福建厦门模拟预测)如图，点4在反比例函数y-(x>0)的图象上，点B在反比例函数 y=（x<0)的图象上，AB平行于轴，连接0AOB,若4<k<6,则。A0B的面积可以是（） B 1 9 A. B.4 C.2 D.5 6/14 14,.(2026重庆三模)如图。已知反比例图数”(x>0的图象经过点A,连接OA:将线段OA绕点A 逆时针旋转，当点O的对应点O'落在x轴上时，△OAO的面积是() O' A.2.5 B.5 C.10 D.12 15.(2026新疆哈窑三模)如图，RAMB0的直角顶点B在x轴上，函数y=(x<0的图象经过边 O1的中点C,且交4B于点D,连接OD,则Sa0 16,（25-26人年级下河南周口期中)如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数y=-（x<0)的 图象上的点，ABlly轴交x轴于点B,点C为y轴上任意一点，连接AC,BC,则△ABC的面积为 0 知识点05：反比例函数图象上点的坐标特征与大小止比较 7/14 y=二(k≠0) 坐标特征：若点(o,)在x 上，则地=k。 大小比较方法： 同象限：利用增减性，k>O时，x越大y越小；k<0时，x越大y越大。 不同象限：>0时，第一象限y>0,第三象限y<0,所以第一象限的y值总大于第三象 限；k<0时，第二象限y>O,第四象限y<O,第二象限y值总大于第四象限。 17.(2026江苏徐州中考真题)若点A5,y),B5,)都在函数y= 202 x的图象上，且x<0<x,则 () 4.片-5 B.片=为 C.片<为 D.片>h 18,(2627九年级上江苏无锅阶段检测)若点(2，），)在双前线年k<0)上，则，片的大 小关系是() A.0<y<5 B,0<h<片 C.为<0<y D.片<0<2 19.(25-26八年级下江苏南京期末)己知点A(m,y),B(-m,),C(2m,)在反比例函数y=x的图象 上，若m>0,则片，乃，片 ,的大小关系为() A.片>为>为 B为>为>2 C.为>片>⅓ D.片>乃>为 20.(25-26八年级下河南南阳期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+2(k为常数，k≠0 ）的图象与x轴，y轴分别交于A:B两点，与反比例函数y= x(x>0)的图象交于点C(2,a: OB=20A (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 8/14 ②点D16)在反比例西数y=(x>0)的图象上，则a -b(填“><一”)： 3)直接写出不等式：x+2≥m 二x（x>0)的解集； (4)点P在x轴的正半轴上，连接CP,若△ACP是以AC为腰的等腰三角形，直接写出△ACP的面积. 知识点06：反比例函数与一次函数的交点问题 在同一坐标系中识别 与y=mx+n的图象时，需综合判断： 看象限：k的符号决定双曲线所在象限，的符号决定直线倾斜方向，决定直线与y轴交 点。 k =mx+n 找交点：若直线与双曲线有交点，则交点坐标同时满足两个解析式，即x 的解。 致性检验： (1)若双曲线在一、三象限(k>0),则直线可能经过一、二、三象限或一、三、四象限： (2) 若双曲线在二、四象限(k<0),则直线可能经过一、二、四象限或二、三、四象限。图 象必须自洽。 k>0 k<0 21,(2026江苏准安中考真题)如图，一次函数片=2x+1的图像与x轴交于点A,与反比例函数为= 在第一象限内的图像交于点 BL,m),连接OB (I)求m和k的值. 9/14 (2)求△AOB的面积. 6)当0<x<1 y2 时，的取值范围是 3 22.(2026江苏镇江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，正比例函数y=2与反比 例西数y年0)的图俊交于4(2，B两点，鞋上的点C的坐标为(50)。 Q)求点A,B的坐标以及反比例函数y=车（k≠0)的表达式。 (②)点D在x轴上，当四边形ACBD为平行四边形时，点D的坐标为」 3 23.(2026江苏南通中考真题)如图，正比例函数y=c的图像与反比例函数'x的图像交于A,B两 点，点A的横坐标为1. (1)求k的值. 3 ②)观察图像，直接写出不等式>的解集. 24.(26-27九年级上江苏泰州开学考试)如图1，在平面直角坐标系x0中，一次函数y=-x+b的图象 6 与反比例函数y=x的图象交于AB两点，点A的横坐标为1： 10/14 B P. B 》 图1 图2 (1)①求b的值： 6 ②关于x的不等式-x+h<父的解集为-： (2)若点C在y轴上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标： 3)如图2，若点P坐标是 m,2）,将线段4B绕点P顺时针旋转90°至线段4B,且当线段4B与反比 6 例函数y=x在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围. 课时训练 一、选择题 k 1.(2026浙江绍兴：二模)已知反比例函数y=的图象上有点(-2，m),(-1,n),且m<n,则k值可能 为() A.-2 B.0 C.1 D.2 2。（25,26八年级下江苏盐城阶段检测）关于反比例两数y x,下列说法中错误的是() A.当x<0时，y随x的增大而减小 B.图象位于第一、三象限 C.点405 在函数图象上 D.当x<时，y<-2 .（2026重庆武隆二被)已知反比例西数=-2水3 ，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值 范围是() A号 B号 C.k<3 2 D.k>0 4.(2026江苏宿迁二模)如图，已知直线y=x+6与西数y-x>0)的图象交于第一象限内点4，与 11/14 x轴负半轴交于点B,过点A作AC⊥x轴于点C,点D为AB中点，线段CD交y轴于点E,连接BE. 若△BEC的面积为6，则m的值为() B A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 了.（2025江苏连云港模拟预测)在平面直角坐标系0中，若反比例函数y=m-3 的图象位于第一、三 象限，则m的取值范围是 (2026江苏南京·一模)反比例函数y=k<0),当1<x<3时，函数y的最大值和最小值之差为4， 则k= 7.(25-26九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，矩形ABCD的边4B在x轴上，反比例函数y-k≠0) 的图象过D点和边BC的中点E,连接DE,若△CDE的面积是2，则k的值是 OA B 8.(2526九年领上江苏南通期末)如图，直线+46>0)与函数y-x>0)的图象相交于点A: 与y轴相交于点B,且与函数y=(x<0)的图象只有一个公共点C·若BC=2AB,则k的值为 12114 三、解答题 9.(25-26八年级下江苏南京期末)如图，一次函数y=2x+1与反比例函数y=x的图象相交于点 A(2,a）B(b,-1) (I)求反比例函数的表达式； ②请直接写出关于x的不等式了x+1> 的解集； (3)若点P是y轴上的一点，△ABP的面积是12，求点P的坐标. 02026江苏扬州一模如图所示。一次函数y=x+nm≠0的图象与反比例函数y化0的图 象交于第二、四象限的点4(-2，利点B6,-2 ,过A点作x轴的垂线，垂足为点C,△AOC的面积为 4 13/14 (I)分别求出a和b的值： ②结合图象直接写出x-冬+n≥0的取值范围； 3)在y轴上取点P,使PB-PA取得最大值时，求出点P的坐标. 14/14