2.2 反比例函数的图象与性质 同步练 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练围绕反比例函数图象与性质，分“基础提质-能力提升-素养提优”三层设计，覆盖从概念理解到综合应用再到核心素养的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|反比例函数图象、性质等单一知识点|以选择、填空为主，如判断图象象限、对称性，巩固基础概念| |能力提升|函数综合应用（与一次函数结合、k的几何意义）|含数形结合题，如函数图象交点分析，培养数学思维| |素养提优|实际问题模型构建、规律探究|结合植物生长规律等情境，渗透模型观念，发展创新意识|

2.2反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象 基础提质 知识点 反比例函数的图象 1.反比例函数 的图象一定经过的点是( ) A.(2,6) B.(-4,-3) C.(-3,-4) D.(6,-2) 2.若|k|=-k(k≠0),则反比例函数 的图象在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.在平面直角坐标系中，函数 的图象与坐标轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 4.已知反比例函数 的图象经过点A(3,-2). (1)求k的值. (2)画出函数的大致图象. (3)点B(- ,18),c(9,- ）在这个函数的图象上吗? 能力提升 5.反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是( ) A.5 B.10 C.-5 D.-1 6.反比例函数 的图象与一次函数y=x-1的图象交于点A(a,b),则a-ab-b的值是 . 素养提优 7.植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，得到如图所示的数据.现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律.若选择函数 则a 0,b 0.(填“>”或“<”) 8.如图，取直线y=-x上一点A₁(x₁,y₁),①过点 A₁作x轴的垂线,交 的图象于点A₂(x₂,y₂);(②过点 A₂作y轴的垂线，交y=-x的图象于点A₃(x₃,y₃);如此循环进行下去.按照上面的操作，若点 A₁ 的坐标为(1,-1),则点A₂₀₂₅的坐标是 . 第2课时 反比例函数的性质 基础提质 知识点1 图象的对称性 1.已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为(-3，4)，则它们的另一个交点坐标是 . 2.在平面直角坐标系xOy中，若函数 的图象经过点(3，y₁)和(-3,y₂),则 的值是 . 3.如图，在平面直角坐标系中，大正方形两条对角线交点为原点 O，且大正方形的一组对边与x轴平行，若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 . 知识点2 函数的变化趋势 4.已知反比例函数 下列选项正确的是( ) A.函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 5.已知点A(m,y₁),B(m+1,y₂)都在反比例函数 的图象上，则下列结论一定正确的是( ) C.当m<0时,y₁<y₂ D.当m<-1时, 6.学科特色数形结合思想 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC 是面积为4 的正方形.若函数 的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为 ( ) A.0<x≤2 B. x≥2 C.0<x≤4 D. x≥4 7.已知反比例函数 若该函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 . 8.已知A(m+3,2)和 是同一个反比例函数图象上的两个点. (1)求该反比例函数的表达式. (2)画出该反比例函数图象,当-2<x<3且x≠0时，y的取值范围是 . 能力提升 9.在同一平面直角坐标系中，函数y= kx-k与 的图象大致是( ) 10.猜想函数y= 的性质，下面说法不正确的是( ) A.该函数的函数值不可能为1 B.该函数图象不经过第三象限 C.该函数的图象关于点(0，1)对称 D.函数值y随x的增大而增大 11.已知反比例函数 (k>0),当2≤x≤3时,函数y的最大值为a,则当-2≤x≤-1时,函数y有( ) A.最大值-2a B.最小值-2a C.最小值-a D.最大值- 12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA 的直角边OB在x轴上，AO，AB分别与反比例函数y= 的图象相交于点 C，D，且C为AO的中点，过点 C 作 x轴的垂线，垂足为E，连接DE.若△BDE 的面积为,则k的值为 ( ) A. B. C.5 D.10 13.一个反比例函数的图象经过A(m,-4),B(3,n)两点,若m<-3,则n的取值范围是 . 14.已知反比例函数 (k为常数,k≠0),当1≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为2，则k= . 素养提优 15.如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线 的一支上.若点A 的坐标为(4,),则第三级阶梯的高EF=( ) A.4 B.3 C. D. 16.已知反比例函数y=,则当1≤x≤3时,yx的最小值是 . 微专题 反比例函数中的大小比较 1.已知点A(-1,y₁),B(a,y₂)在反比例函数 的图象上，若 则a的取值范围是( ) A. a<-1或a>0 B.-1<a<0 C. a>0 D. a<-1 2.已知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)均在反比例函数 (k为常数，且k≠-1)的图象上,若 则下列结论不正确的是( ) 3.已知A(1,y₁),B(2,y₂),C(-3,y₃)在反比例函数 的图象上,则y₁,y₂,y₃的大小关系是 .(用“<”连接) 第3课时 反比例函数图象与性质的综合 基础提质 知识点 1 k的几何意义 1.如图，点P是反比例函数 图象上的一点，过点 P向x轴作垂线，垂足为M，连接PO，则△OPM的面积为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，反比例函数 的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,▱ABCD的面积为6，则k的值为( ) A.-6 B.-5 C.-4 D.-3 知识点 2 反比例函数与一次函数综合 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A(-1,-2),B(2,n),则不等式 ( ) A. x>2 B. x<-1 C.-1<x<2 D.-1<x<0或x>2 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A(1,n),B(-3,-2),且与y轴交于点 C. (1)求一次函数、反比例函数的表达式. (2)连接OA,求△OAC的面积. 能力提升 5.函数 和 的部分图象如图所示，点A在 的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交 的图象于点B.若AC=3BC,则 的值为 ( ) A.-3 C. D.3 6.如图，点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，且AB∥x轴，连接OB与反比例函数 的图象交于点C，连接AC,则△ABC的面积为 . 7.如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数 的图象交于点A(-2,a)和点B(b,-2),过A点作x轴的垂线，垂足为点 C，△AOC 的面积为4. (1)分别求出a和b的值. (2)结合图象直接写出 时，x的取值范围. (3)在y轴上取点 P,当PB-PA取得最大值时,求出点 P 的坐标. 素养提优 8.核心素养模型观念在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和y=-x+10的图象,两个函数图象交于A(1,9),B(9,1)两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q(如图1)，在点P 移动的过程中，发现PQ 的长度随着点 P 的运动而变化.为了进一步研究 PQ 的长度与点 P 的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点 P 的横坐标为x,PQ 的长度为y,则y与x之间的函数关系式为 (1≤x≤9). （2）为了进一步探究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象 ①列表：表中m= x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点。 ③连线：请在图2中画出该函数的图象.观察函数图像，y的最大值为 . ④阅读：当a，b都是正数时，有 0,即 只有当a=b时,a+D 才成立. 请用这个规律说明③中y的最大值的确性. 2.2反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象 基础提质 1. D ∵ ∴xy=-12,即该图象上的点的横、纵坐标乘积为-12，结合选项可得一定经过(6，-2).故选 D. 2. C ∵|k|=-k(k≠0),∴k<0,∴反比例函数 的图象在第二、四象限.故选 C. 3. B 当x=0时 的图象与y轴的交点为((0,2), 是分式，且当x≠-2时， 即y≠0,∴ 的图象与x轴没有交点…函数 的图象与坐标轴的交点个数是1.故选 B. 4.解析 (1)将A点坐标代入 得k=3×(-2)=-6.故k的值为-6. (2)函数的大致图象如图所示. (3)由(1)可知，反比例函数的表达式为 将 代入反比例函数表达式得，y=18，所以点 B 在反比例函数的图象上，将x=9代入反比例函数表达式得 所以点 C 不在反比例函数的图象上. 能力提升 5. A 由点B 可得 k>2×2,即k>4,由点 C 可得k<-3×(-3),即k<9,∴4<k<9.故选 A. 6.答案 -1 解析 由题意得点A(a，b)在 的图象上，也在y=x-1的图象上， 将A(a,b)分别代入 得 ab=2,b=a-1,∴a-ab-b=a-(a-1)-ab=1-2=-1. 素养提优 7.答案 解析 由函数图象可知，将反比例函数 在第四象限内的图象向上平移b个单位即可得到函数 的图象,∴a<0,b>0.故答案为<;>. 题型解读 函数图象平移的技巧“上加下减常数项，左加右减自变量”对于反比例函数的图象也成立. 8.答案 (1,-1) 解析 由题意可得A₁(1,-1),A₂(1,1),A₃(-1,1),A₄(-1,-1),A₅(1,-1),…… ∴每4个点为一个循环周期， ∵2 025÷4=506……1,∴A₂025的坐标与A₁的坐标相同,∴A₂₀₂₅的坐标是(1,-1). 第2课时 反比例函数的性质 基础提质 1.答案 (3,-4) 解析 ∵y=mx关于原点对称，双曲线 也关于原点对称，∴直线y=mx与双曲线 的两个交点关于原点对称.∵一个交点坐标为(-3，4)，∴另一个交点坐标为(3,-4). 2.答案 0 解析 ∵函数 的图象关于原点对称，(3，y₁)，(-3，y₂)在该函数图象上且横坐标互为相反数， 3.答案 1 解析 由题意得，正方形及反比例函数图象都关于原点O 成中心对称，∴阴影部分可以拼成四分之一的正方形， 4. C ∵反比例函数 中,k=-7<0,∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故选项 C符合题意.故选 C. 5. D ∵k=-3<0,∴在每个象限内,y随x的增大而增大， 若A，B 两点位于图象的同一支上，则y₁<y₂， 此时0<m<m+1或m<m+1<0, 即当m<-1或m>0时,y₁<y₂; 若A，B两点分别位于图象的两支，则m<0<m+1,即当-1<m<0时,y₁>y₂. 故选项D结论正确，故选D. 6. A ∵正方形OABC的面积为4,∴B(2,2),观察图象可得，当x>0时，y随x的增大而减小，∴当0<x≤2时,y≥2.故选 A. 7.答案 解析 ∵反比例函数 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，∴2m-1<0,解得 8.解析 (1)∵A(m+3,2)和 是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴2(m+3)=m,解得m=-6,∴A(-3,2),设反比例函数的表达式为y= kx,∴k=-3×2=-6,∴反比例函数的表达式为 (2)图象如下. y>3或y<-2. 能力提升 9. B 【解法一】∵y= kx-k=k(x-1),∴当x=1时,y=0,即直线过点(1,0),故排除选项 A,C; 由选项 B，D中双曲线位于第一、三象限，得k>0，∴ 直线呈上升趋势.故选 B. 【解法二】当k>0时,直线 y= kx-k经过第一、三、四象限，双曲线y= kx(k≠0)位于第一、三象限，故B 选项符合；当k<0时，直线y=kx-k经过第一、二、四象限，双曲线y=kₓ(k≠0)位于第二、四象限，没有符合的选项.故选 B. 10. D ∴该函数图象可以看作双曲线 向上平移1个单位长度得到的，作函数图象示意图如图， 结合 的图象性质及平移的性质可得， 的图象关于点(0，1)对称，故C 选项正确； 的图象与直线y=1无交点，即函数值不可能为1，故A选项正确； 的图象不经过第三象限，故B 选项正确； 当x>0或x<0时，y随x的增大而增大，故D选项错误.故选 D. 11. B ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是(a,∴当x=2时,y=a,∴k=2×a=2a,∵当-2≤x≤-1时,反比例函数图象在第三象限，∴当x=-2时，函数有最大值，为 -a，当x=-1时，函数有最小值，为 故选 B. 12. C 设c(a,k/s),∵CE⊥x轴,∴E(a,0),∵C为AO的中点， ∵AB⊥x轴，点D在 的图象上，. D(2a,k₂₄,BB(2a,0),则 .k=5.故选 C. 技巧归纳①对于函数图象上的点，可以设点的横坐标，代入函数表达式表示其纵坐标. ②平行于x轴的线段长度=横坐标“右-左”； 平行于 y轴的线段长度=纵坐标“上-下”； 对于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则 AB 的中点坐标为 13.答案 解析 【解法一】图象法:∵A(m,-4),m<-3,∴点A位于第三象限，故该反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. 设点.A(m，-4)关于原点中心对称的点为A'，则A'(-m，4)且点A'在该反比例函数图象上，∵m<-3,∴-m>3,∴ n>4. 【解法二】代数法：∵反比例函数的图象经过A(m，-4),B(3,n)两点，∴k=-4m=3n, ∵ m<-3, 解得n>4. 14.答案 ±4 解析当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小， 解得k=4;当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大， 解得k=-4.综上所述，,k=±4. 易错警示容易忽略分类讨论，尤其是k<0的情况. 素养提优 15. B∵点A(4,3/2)在双曲线y= kx上,∴k=4× =6,∵ BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线 上,∴C(3,2),E(2,3),(G(1,6), 故选 B. 16.答案 解析设w= yx,将y= 代入，得w= ², 则w与x²成反比例关系， ∵当1≤x≤3时,,x²随着x增大而增大， ∴w随着x²增大而减小， 即w随着x的增大而减小， ∴当x=3时 取得最小值，最小值为 微专题 1. A 由 得该图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 当点A 位于第三象限，点B 位于第一象限时，满足 y₁,此时a>0; 当点A，B均位于第三象限时，若：y₂>y₁,,则a<-1. 综上所述,a<-1或a>0.故选 A. 2. D 且k≠-1,∴ ∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小.∵x₁<x₂<x₃,且.y₂<y₁<y₃,∴x₁<x₂<0<x₃. ，故选项 D错误.故选 D. 3.答案 解析 ∴此函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴C(-3,y₃)在第二象限,y₃>0,A(1,y₁),B(2,y₂)在第四象限， 第3课时 反比例函数图象与性质的综合 基础提质 1. D 设P(x,y),∵点 P 在反比例函数 的图象上,∴xy=-2,则 故选 D. 2. D 设P(x,y), ∵点 P 在反比例函数 的图象上,∴k= xy, ∵点P 是▱ABCD对角线的交点,∴BP=DP, ∵BD⊥DC,∴D(x,0),∴B(x,2y) ∵▱ABCD的面积为6, ∴AB·BD=-x×2y=-2k=6,解得k=-3. 技巧归纳 反比例函数 图象上的点向两坐标轴作垂线，所围成的矩形面积为|k|，由此可推出若向x轴(或y轴)作垂线，并连接该点和坐标原点，所围成的三角形的面积为 3. D 当直线在双曲线上方时 由图象可得此时-1<x<0或x>2.故选 D. 4.解析 (1)将B(-3,-2)代入 得 解得m=6,∴反比例函数的表达式为 将A(1,n)代入 得n=6,∴A(1,6),,将A(1,6),B(-3,-2)代入y= kx+b,得 解得 一次函数的表达式为y=2x+4. (2)当x=0时,y=2x+4=4,∴C(0,4),∴OC=4, 能力提升 5. A 连接OA,OB(图略), 由题意知OC⊥AB,AC=3BC,则S△OAC=3S△OBC· 由图象所在象限可得k₁₁>0,k₂<0, 整理得k₁k₂=-3.故选 A. 6.答案 解析 设A(a,),由题意得a>0,∵AB∥x轴,∴yB= 将 代入 得 则 设直线 OB 的表达式为y= mx,则 解得m= ..直线 OB 的表达式为 联立 军得 式舍),c(2a,),∴S△aₙ= 7.解析 (1)将 A(-2,a)代入 得k=-2a, ∴k=-2a=-8,∴反比例函数的关系式为y=-8x,将点B(b,-2)代入 得b=4.综上所述,a=4,b=4.(2)x≤-2或(0<x≤4. 详解:由(1)得A(-2,4),B(4,-2), 可整理为mx+n≥kx,结合图象可得直线在双曲线上方或相交时，x的取值范围为x≤-2或0<x≤4. (3)作点A 关于y轴的对称点A'，连接BA'并延长，交y轴于点 P，连接PA，如图，此时PB-PA的值最大，为A'B 的长. 易知点A'的坐标为(2，4)，设直线A'B的关系式为y=cx+d,将A'(2,4)和B(4,-2)代入,得 解得 .直线 A'B的关系式为y=-3x+10,在y=-3x+10中,令x=0,则y=10,∴直线y=-3x+10与y轴的交点坐标为(0,10),即点 P 的坐标为(0,10). 题型解读 将军饮马模型是指利用轴对称进行位置变换，求解线段和(差)最值问题.通常动点 P 所在直线是对称轴，若另外两点A，B位于对称轴同侧，可以求PA+PB最小值，若位于对称轴两侧，可以求|PA-PB|最大值. 素养提优 8.解析 (1) 详解：由点 P 的横坐标为 x，可得P(x,-x+10), ∵ PQ的长度为 y，. (2)① ②如图. ③如图，y的最大值为4. ∴当 即x=3(x=-3舍去)时, 有最小值，为6, ∴ 此时 有最大值，为-6， 有最大值,为10-6=4,故③中y的最大值正确. 学科网（北京）股份有限公司 $