2.2 课时1 反比例函数的图象 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册苏科版“反比例函数的图象”同步练，以“基础巩固—能力提升—综合应用”分层设计，通过5个核心知识点递进训练，强化从图象绘制到性质应用的知识转化，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图象形状、画图步骤|以描点画图、k值求解为主，如知识点01的坐标计算与图象绘制，夯实操作技能| |提升层|对称性、k与象限分布|结合中心对称判断（如第9题）、k符号与象限关系（如第13题），发展空间观念| |综合层|延伸趋势与实际应用|通过矩形平移（第3题）、机器狗速度问题（第7题），体现模型意识与应用能力|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第2章 反比例函数 2．2 反比例函数的图象与性质 课时1 反比例函数的图象 ▌课时目标 1. 会用列表、描点、连线画反比例函数的图象，认识其图象是双曲线，能规范取点并分两支绘制。 2. 能根据k的符号判断双曲线所在象限，理解x≠0，y≠0时图象不与坐标轴相交、分两支分布的特征。 3. 了解反比例函数图象的对称性，能结合原点中心对称和坐标轴延伸趋势描述图象位置，为后续学习性质打基础。 ▌课时目录 知识点01：反比例函数图象的形状（双曲线） 知识点02：画反比例函数图象的步骤与注意事项 知识点03：反比例函数图象的对称性 知识点04：反比例函数图象的分布与k的符号关系 知识点05：反比例函数图象的延伸趋势 ▌知识点01：反比例函数图象的形状（双曲线） 反比例函数的图象由两支曲线组成，通常称为双曲线。 两支分别位于两个象限，不相交、不经过原点； 因x≠0，图象在y轴左右分开，因y≠0，图象在x轴上下分开。 1．（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 2．（25-26九年级上·天津河北·阶段检测）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． (1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像； (2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． ▌知识点02：画反比例函数图象的步骤与注意事项 用描点法，步骤为列表、描点、连线。 1. 列表：以x＝0为中心但不取0，在0两侧取三对及以上互为相反数或绝对值对称的数，如±1,±2,±4,±8，代入算对应y；取点越多图象越准。 2. 描点：按算得坐标在直角坐标系标出，正负x对应点分别处理。 3. 连线：同一象限内按x从小到大用光滑曲线顺次连接；两支分别连，不能用直线连，也不能把左右两支跨y轴连成一体。 因x→0时无定义，靠近y轴处留断开。 5．（2026·河南平顶山·三模） 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 6．（2026·河南周口·二模）如图，单位长度为1的网格坐标系中，格点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求，的值及一次函数的解析式． (2)描出点和点，并作出反比例函数的图象． (3)将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 7．（2026·贵州铜仁·三模）在大数据时代，现代物流实现智能化管理，一智能机器狗在工作中记录了一系列数据，经发现智能机器狗运动的速度与其载重量的关系，统计得出数据如下： 速度 … 2 3 4 5 6 … 载重量 … 30 20 15 12 … (1)表格中的值是_；请在平面直角坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接起来； (2)为提升配送效率，技术人员对机器狗进行了程序优化，优化后机器狗的速度随载重的变化符合一次函数关系：当载重为10时，速度为4；当载重为20时，速度为3 ． ①求优化后速度y与x的函数表达式； ②若某批次货物重25，机器狗以优化后的速度工作，1.5分钟能将货物送到250远的目的地吗？请说明理由． 8．（2026·山东临沂·一模）如图，点为矩形的对角线的中点，，．，是上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为，的面积为．其中． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． ▌知识点03：反比例函数图象的对称性 双曲线关于原点成中心对称：若点(x,y)在图象上，则(－x,－y)也在图象上。 图象也是轴对称图形，对称轴为直线y＝x和y＝－x：若(x,y)在图象上，则(y,x)与(－y,－x)也在对应双曲线上。 画图中可利用中心对称先画一支、再取对称点得另一支。 9．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 10．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 12．（2026·河南驻马店·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，且点的横坐标为2．点与点关于直线对称，且点在反比例函数的图象上． (1)求的值． (2)在平面直角坐标系中，通过描点画出反比例函数的图象． (3)已知点在轴上方，且以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．现将该平行四边形沿水平方向平移，当点落在反比例函数的图象上时，请直接写出平移的距离． ▌知识点04：反比例函数图象的分布与k的符号关系 k＞0时，x,y同号，两支分别在第一象限、第三象限； k＜0时，x,y异号，两支分别在第二象限、第四象限。 判断分布只看k的符号，与k的绝对值大小无关； 已知一支所在象限，可按同k符号推出另一支象限。 13．（25-26八年级下·河南周口·期末）关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 14．（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 16．（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． ▌知识点05：反比例函数图象的延伸趋势 在每一支上，|x|增大则曲线逐渐靠近x轴，|x|减小（趋近0）则曲线逐渐靠近y轴； 但x≠0，y≠0，所以两支无限接近坐标轴而不与x轴、y轴相交。 画图象时应体现出“分开、光滑、渐近”的趋势，不画成与直线相交，不画成触及坐标轴。 17．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 18．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 19．（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 20．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江西上饶·三模）“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（   ） A．A B．B C．C D．D 2．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 3．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 4．（2026·浙江杭州·一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点在函数图象上，且，则 C．若，则当时，的最大值为 D．若函数图象上有两点，满足且，则 二、填空题 5．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 6．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 7．（25-26八年级下·河南·阶段检测）若点，都在反比例函数图象上，则___________（填、或）． 8．（2026·四川广元·三模）如图，过原点的直线与双曲线 交于两点，点在轴上，且，若 ，则的值为______． 三、解答题 9．（25-26八年级下·北京通州·期末）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期末）我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到． ②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）． (2)一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点． ①求出函数的表达式． ②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第2章 反比例函数 2．2 反比例函数的图象与性质 课时1 反比例函数的图象 ▌课时目标 1. 会用列表、描点、连线画反比例函数的图象，认识其图象是双曲线，能规范取点并分两支绘制。 2. 能根据k的符号判断双曲线所在象限，理解x≠0，y≠0时图象不与坐标轴相交、分两支分布的特征。 3. 了解反比例函数图象的对称性，能结合原点中心对称和坐标轴延伸趋势描述图象位置，为后续学习性质打基础。 ▌课时目录 知识点01：反比例函数图象的形状（双曲线） 知识点02：画反比例函数图象的步骤与注意事项 知识点03：反比例函数图象的对称性 知识点04：反比例函数图象的分布与k的符号关系 知识点05：反比例函数图象的延伸趋势 ▌知识点01：反比例函数图象的形状（双曲线） 反比例函数的图象由两支曲线组成，通常称为双曲线。 两支分别位于两个象限，不相交、不经过原点； 因x≠0，图象在y轴左右分开，因y≠0，图象在x轴上下分开。 1．（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 【答案】(1) (2) 如下图所示： (3)y从6减小到3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，涉及到待定系数法求反比例函数的解析式，画反比例函数的图像，反比例函数的增减性等知识． （1）设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求解即可． （2）先求出两个反比例函数在第一象限内的点，根据这两个点画出反比例函数在第一象限的图像即可． （3）根据反比例函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：当时，则， 当时，则， （3）解：反比例函数中， 则反比例函数在第一象限内随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， 则当自变量x从2增大到4时，y从6减小到3． 2．（25-26九年级上·天津河北·阶段检测）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． (1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像； (2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，理解交点的含义并正确画出函数图形是顺利解题的关键． （1）根据题意，先将代入一次函数，求得，即可求得交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求得，根据描点法即可画出图像； （2）将，代入反比例函数解析式，即可求得值，当时，观察图像即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，将代入，解得， ∴ 交点坐标为，再代入反比例函数中，解得， ∴ 反比例函数解析式为， 列出几组、的对应值： 描点连线，即可画出函数图像，如图： （2）当时，， 根据图像可知，当时，． 故当时，的取值范围是． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 解：三个整数点，如图所示：    (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）略； （3）解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得点C平移后的坐标为，再根据待定系数法把该点坐标代入即可求解； （2）由（1）知反比例函数的表达式得到反比例函数图象上的四个格点的坐标，然后，顺次描点并画反比例函数图象即可； （3）过点作于点E，由，得，再把点D的纵坐标代入反比例函数的表达式即可求得点D的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为， 画出的反比例函数的图象见答案； （3）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，代入，得， ∴． ▌知识点02：画反比例函数图象的步骤与注意事项 用描点法，步骤为列表、描点、连线。 1. 列表：以x＝0为中心但不取0，在0两侧取三对及以上互为相反数或绝对值对称的数，如±1,±2,±4,±8，代入算对应y；取点越多图象越准。 2. 描点：按算得坐标在直角坐标系标出，正负x对应点分别处理。 3. 连线：同一象限内按x从小到大用光滑曲线顺次连接；两支分别连，不能用直线连，也不能把左右两支跨y轴连成一体。 因x→0时无定义，靠近y轴处留断开。 5．（2026·河南平顶山·三模） 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 【答案】(1) (2)如图即为所求： 由图可知，当时，或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式计算值，即可得到反比例函数表达式； （2）对反比例函数取对应值列表，在坐标系中描点、平滑连线得到图象；结合两函数交点横坐标，以交点和原点为分界，根据一次函数图象位于反比例函数图象下方即可确定当时的取值范围； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，将拆分为以该交点到原点的线段为公共底的两个三角形，分别以、纵坐标的绝对值为高计算面积，求和即可得到的面积． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把点代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：函数， 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： 、、、、、、、， 用平滑的曲线分别连接第二象限内的个点、第四象限内的个点，即可得到反比例函数的图象； 一次函数与反比例函数的交点为、，当时，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时，的取值范围是：或； （3）解：如图，设一次函数与轴交于点， 令，则，解得， ∴， 又、， ∴． 6．（2026·河南周口·二模）如图，单位长度为1的网格坐标系中，格点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求，的值及一次函数的解析式． (2)描出点和点，并作出反比例函数的图象． (3)将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 【答案】(1)，一次函数解析式为 (2) (3) 【分析】（1）将点和点分别代入反比例函数中即可求解，再利用待定系数法将点和点代入即可； （2）由（1）知点和点的坐标，在图像中描出来，再根据这两点画反比例函数图象； （3）利用一次函数图象平移的性质将新一次函数设出来，再将该图像上的点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵格点，在反比例函数的图象上， ∴将，分别代入中， 得，解得， ∴，， ∵点和点在一次函数图象上， ∴将分别代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）略 （3）解：一次数向下平移个单位长度， 则新一次函数解析式为， 该一次函数经过点， 将点代入中， 得，解得． 7．（2026·贵州铜仁·三模）在大数据时代，现代物流实现智能化管理，一智能机器狗在工作中记录了一系列数据，经发现智能机器狗运动的速度与其载重量的关系，统计得出数据如下： 速度 … 2 3 4 5 6 … 载重量 … 30 20 15 12 … (1)表格中的值是_；请在平面直角坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接起来； (2)为提升配送效率，技术人员对机器狗进行了程序优化，优化后机器狗的速度随载重的变化符合一次函数关系：当载重为10时，速度为4；当载重为20时，速度为3 ． ①求优化后速度y与x的函数表达式； ②若某批次货物重25，机器狗以优化后的速度工作，1.5分钟能将货物送到250远的目的地吗？请说明理由． 【答案】(1)10， (2)① ； ②解：1.5分钟不能将货物送到250远的目的地，理由如下： 当货物重时，代入解析式得， 可行驶距离为： ， 不能在1.5分钟内送达目的地． 【分析】（1）通过观察数据发现速度与载重量的乘积恒为60，满足反比例关系，如此即可求出a （2）①设一次函数，再利用待定系数法即可； ②将代入求出再求出1.5分钟内行驶的距离与比较即可． 【详解】（1）解：， 当时，得， 即． 图如下所示： （2）①解：设一次函数，将和代入得， ， 解得， 函数表达式为； ②略 8．（2026·山东临沂·一模）如图，点为矩形的对角线的中点，，．，是上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为，的面积为．其中． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． 【答案】(1)， (2) 如图 当时，随x的增大而减小（或当时，随x的增大而增大）； 当时，随x的增大而减小． 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据可知，当时，，当时，；根据三角形的面积公式可得，，可以得到； （2）根据（1）中得到的函数解析式画出图象并结合函数图象，写出函数，的一条性质． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ， ， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 综上所述，； 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，，． （2）略 ▌知识点03：反比例函数图象的对称性 双曲线关于原点成中心对称：若点(x,y)在图象上，则(－x,－y)也在图象上。 图象也是轴对称图形，对称轴为直线y＝x和y＝－x：若(x,y)在图象上，则(y,x)与(－y,－x)也在对应双曲线上。 画图中可利用中心对称先画一支、再取对称点得另一支。 9．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】D 【分析】利用反比例函数的平移与对称性，结合图象判断即可． 【详解】解：如图，是反比例函数向上平移1个单位得到的，对各选项逐一判断： 由图象可得：函数图象关于对称，函数图象关于直线对称， ∴A错误，B错误，C错误，D正确． 10．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 12．（2026·河南驻马店·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，且点的横坐标为2．点与点关于直线对称，且点在反比例函数的图象上． (1)求的值． (2)在平面直角坐标系中，通过描点画出反比例函数的图象． (3)已知点在轴上方，且以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．现将该平行四边形沿水平方向平移，当点落在反比例函数的图象上时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1)6 (2)如图所示： (3)或1 【分析】（1）先确定，根据点与点关于直线对称，设，确定，后利用待定系数法求解即可． （2）利用描点法，画出图象即可． （3）由点C与点构成一个平行四边形，设，点在轴上方，，分类求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，且点的横坐标为2． ， ， 由点与点关于直线对称， 设， ， 解得， ， 根据点在反比例函数的图象上， ， 解得． （2）略 （3）解：由点C与点构成一个平行四边形， 设，点在轴上方， ， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴；符合题意； 设将该平行四边形沿水平方向向右平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上， 根据题意，得， ， 解得，不符合题意，舍去； 设将该平行四边形沿水平方向向左平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上， 根据题意，得， ， 解得，符合题意； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴；不满足在轴的上方，不符合题意，舍去； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴；符合题意； 设将该平行四边形沿水平方向向右平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上， 根据题意，得， ， 解得，符合题意； 设将该平行四边形沿水平方向向左平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上， 根据题意，得， ， 解得，不符合题意，舍去； 综上所述，需要平移的距离为或1； ▌知识点04：反比例函数图象的分布与k的符号关系 k＞0时，x,y同号，两支分别在第一象限、第三象限； k＜0时，x,y异号，两支分别在第二象限、第四象限。 判断分布只看k的符号，与k的绝对值大小无关； 已知一支所在象限，可按同k符号推出另一支象限。 13．（25-26八年级下·河南周口·期末）关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 14．（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 15．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 16．（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)第一、三象限 (3) 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据反比例函数的性质即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上， ∴， 解得； ， 解得； （2）由（1）可得， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限； （3）根据题意得：， 解得． ∴所有这样的点的横坐标的取值范围是． ▌知识点05：反比例函数图象的延伸趋势 在每一支上，|x|增大则曲线逐渐靠近x轴，|x|减小（趋近0）则曲线逐渐靠近y轴； 但x≠0，y≠0，所以两支无限接近坐标轴而不与x轴、y轴相交。 画图象时应体现出“分开、光滑、渐近”的趋势，不画成与直线相交，不画成触及坐标轴。 17．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 18．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出矩形边界上的整点（含矩形顶点）共10个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形边界上的整点有，共10个， 把每个点代入得到k的值从小到大分别为： ， ∵反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分， ∴图象下方有5个整点，图象上方有5个整点， ∴大于第5个值3，小于第6个值4， ∴． 19．（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 20．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江西上饶·三模）“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据函数图象可知横，纵坐标的乘积即为米粒的重量，再比较得出答案． 【详解】解：根据题意可知出米率， ∴米粒的重量， 可知A试验田的米粒的重量； B试验田的米粒的重量； C试验田的米粒的重量； D试验田的米粒的重量， 因为， 所以产出的米粒重量最多的是C． 2．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 3．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 4．（2026·浙江杭州·一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点在函数图象上，且，则 C．若，则当时，的最大值为 D．若函数图象上有两点，满足且，则 【答案】B 【分析】根据反比例函数的系数的正负，结合反比例函数的图象与性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数， 对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限， ∴，解得，A说法正确； 对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 当，即时，在内，y随x的增大而减小， ∵， ∴，题中的结论不成立，B说法错误； 对选项C：∵， ∴， ∵时，反比例函数y随x增大而减小， ∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确； 对选项D：∵，若，则说明时，时， 可得，即，D说法正确． 二、填空题 5．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当，反比例函数图象经过第一、三象限，当，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可． 【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 【答案】 【分析】反比例函数中，当比例系数时，函数图象位于第一、三象限，据此列出关于的不等式求解即可 【详解】解：已知反比例函数的图象位于第一、三象限， 根据反比例函数的性质可得比例系数大于，即 移项得 7．（25-26八年级下·河南·阶段检测）若点，都在反比例函数图象上，则___________（填、或）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数的图象所在象限，再判断点、所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，即． 8．（2026·四川广元·三模）如图，过原点的直线与双曲线 交于两点，点在轴上，且，若 ，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质得，设，则， ，又由反比例函数图象的对称性可得，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴ 设，则， ∴ ， ∵过原点的直线与双曲线 交于两点， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 解得． 三、解答题 9．（25-26八年级下·北京通州·期末）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是． （2）解：把代入， ， ． （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交． （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期末）我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到． ②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）． (2)一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点． ①求出函数的表达式． ②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)①左，② (2)或 (3)①；②或． 【分析】（1）依据题意，①函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位得到，②由关于原点对称，从而可以得到函数的图象关于对称，进而得解； （2）先由平移规律找到函数的对称点为，再利用待定系数法求出，进而可得出的坐标，结合图象即可得解； （3）将坐标原点平移到点的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点在点的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点在新坐标系下的坐标，就可求出点在原坐标系下的坐标． 【详解】（1）解：观察图象并分析表格， ①函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； ②函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的图象关于点成中心对称， 故答案为：左；； （2）解：， ∴由（1）规律知，函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的对称点为， ∴一次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴， 将与列成方程组得， ，解得或， ∴， ∴如图所示， 当时，即对应的一次函数图象在函数的图象下方对应的自变量的取值范围，即为或， 故答案为：或； （3）解：①∵矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，，解得，， ∴，， ∴，解得， ∴， 将、代入函数可得， 解得：， ②∵线段中点为M， ∴为函数的对称中心， ， ， 以B、E、P、Q为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线， ∵， ∴由平移规律知，的图象可以看作由的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的，此时，若两坐标轴也一起移动，则新坐标系下得到的新函数解析式为，点的新坐标为，点为新坐标系的原点， ∴可构建如图所示的新坐标系，若点在点的左边， ∵直线与双曲线都是以点为对称中心， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作轴于，过点作轴于， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得：， ∴， 设点在新坐标系中的坐标为， 则有， 解得（舍去），， 当时，， 即点在新坐标系中的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为，即； 若点在点的右边， 如图， 同理可得：点在新坐标系中的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为即， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象及性质，一次函数图象及性质，矩形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，中心对称等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $