第二章 匀变速直线运动的研究 复习讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

该高中物理单元复习讲义以“实验探究-规律推导-应用拓展”为主线构建匀变速直线运动知识体系，通过实验流程图呈现打点计时器使用等操作要点，用对比表格归纳v-t图像斜率、面积的物理意义，借助思维导图梳理速度公式、位移公式及推论的内在逻辑，突出加速度、瞬时速度等核心概念的理解。 讲义亮点在于“实验-规律-应用”三阶题型设计，如通过纸带数据处理（典例1-1）强化科学探究中的证据收集与误差分析，结合v-t图像分析火箭运动（典例2-2）培养科学思维的模型建构能力。针对不同学生，基础题聚焦公式直接应用，综合题如汽车过减速带问题（典例3-1）提升问题解决能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可通过错题集锦针对性突破。

高一物理必修第一册秋季同步培优专项讲义 第二章 匀变速直线运动的研究 知识归纳与题型总结 题型01 实验：探究小车速度随时间变化的规律 1、 实验研究： 1．实验目的 （1）进一步练习打点计时器的使用、纸带数据的处理和瞬时速度的测量方法。 （2）用打点计时器研究小车在重物牵引下的运动，探究小车速度随时间变化的规律。 （3）能运用v-t图像探究小车速度随时间变化的规律。 2．实验原理 （1）利用纸带计算瞬时速度：以纸带上某点对应时刻为中间时刻，取与之相邻的两点间的位移，用这段位移的平均速度表示该点的瞬时速度。 （2）用描点法作出小车的v-t图像，图像的斜率表示加速度。若v-t图像是一条倾斜的直线，说明小车的速度是均匀变化的。 3．实验器材 打点计时器、交流电源、纸带、一端附有定滑轮的长木板、小车、细绳、槽码、刻度尺等。 4．实验步骤 （1）把一端附有定滑轮的长木板放在桌面上，并使定滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在木板上远离定滑轮的一端，如图所示。 （2）把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上数量合适的钩码，然后把纸带穿过打点计时器，并把纸带的另一端固定在小车的后面，调节滑轮高度，使细绳与木板平行。 （3）使小车停在靠近打点计时器处，先接通电源，后释放小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列点，小车靠近滑轮时及时使小车停止，随后关闭电源，再按同样的方法（不改变钩码个数）打出两条纸带。从这三条纸带中选择一条最清晰的，记录为纸带I。 （4）增加一个钩码，按上述方法打出纸带Ⅱ。 （5）在打纸带I的基础上减少一个钩码，仍按上述方法打出纸带Ⅲ。 二、数据处理与误差分析 1．纸带的选取及测量 （1）在三条纸带中选择一条点迹最清晰的纸带。 （2）为了便于测量，舍掉开头一些过于密集的点，找一个适当的点当作计时起点（位置编号为 0）。 （3）从该点开始，每5个计时点取1个计数点（两相邻计数点中间还有4个计时点）进行测量，两相邻计数点间的时间间隔T＝0.1s。 2．数据采集 测量各个计数点到计时起点的距离x1、x2、x3、…，如图所示，然后计算出两个相邻计数点间的距离∆x1＝x1、∆x2＝x2－x1、∆x3＝x3－x2、…，这样可以减小相对误差。 3．计算平均速度 用平均速度代替各计数点的瞬时速度，有，将得到的各计数点的瞬速度填入表中。 4．作v-t图像，求解加速度 以速度v为纵轴、时间t为横轴建立平面直角坐标系，根据表中数据在坐标系中描点，观察点的分布规律，然后用一条平滑的曲线（包括直线)）“拟合”这些点，作出描述小车运动的v-t图像。 【注意】应让图线连接尽可能多的点，不能连接的点应均匀分布在图线两侧，个别偏离较远的点舍去，以减小偶然误差。 5．实验结论 实验得出小车运动的的v-t图像是一条倾斜的直线，如图所示。当时间增加相同的∆t时，速度也会增加相同的值∆v。由此得出结论：小车的速度随时间均匀变化。 6．误差分析 （1）偶然误差 ①纸带上计数点间距测量有误差，故要多测几组数据，求平均值，以减小误差。 ②作图有误差，因此在描点时最好用坐标纸，并在纵、坐标轴上选取合适的单位，用细铅笔认真描点。 （2）系统误差 ①纸带运动时所受摩擦不均匀引起误差，所以安装时纸带细绳要与长木板平行。 ②木板的粗糙程度并非完全相同，这样测量得到的加速度是小车在所测量段的平均加速度，为减小误差可在铝板上铺一层白纸或换用气垫导轨。 ③交流电流的频率f变化，导致加速度a与速度v的测量出现误差，例如f实际＜f计算，则a、v偏大。 【典例1-1】如图为实验得到的一条纸带，O、A、B、C、D、E、F为相邻的计数点，相邻两计数点间还有4个点未画出，打点计时器所用交变电源的频率为50 Hz，用刻度尺量出相邻点之间的距离是：、、、、、，则小车运动的加速度大小为________ m/s2（计算结果保留2位有效数字） 【答案】0.75 【详解】根据，利用逐差法可得，小车的加速度。 【典例1-2】小明用如图甲所示的装置来测量滑块沿斜轨下滑的加速度，两个光电门1、2分别固定于斜轨上的两个不同位置，将装有I型挡光片的滑块从斜轨顶端由静止下滑，光电门1、2先后记录细光束被挡光片的遮挡时间和，也记录了滑块经过两个光电门的时间间隔t。 (1)实验开始前，小明用游标卡尺测量挡光片的宽度，测量情况如图乙所示，其读数为_______mm； (2)滑块下滑时加速度的表达式为_______；（用题中测得物理量的符号表示） (3)小明查阅资料发现，当挡光片开始遮挡第一个光电门时开始计时起，到挡光片开始遮挡第二个光电门时停止计时，即为光电计时器显示的滑块经过两个光电门的时间间隔，由此推断加速度的测量值_______；（填写“偏大”“不变”或“偏小”） (4)小明另外设计了一套的实验方案：保持光电门1不动，逐次改变光电门2在斜轨的位置，用刻度尺测量每一次光电门1、2之间的距离L和滑块经过两个光电门的时间间隔t，从而计算出滑块在两个光电门之间的平均速度，并在图像上描出了8个数据点，如图丙所示，请你处理图像，得出滑块的加速度大小_______和滑块在光电门1附近的瞬时速度大小_______。（均保留三位有效数字） 【答案】(1)10.1 (2) (3)偏小 (4) 【详解】（1）10分度游标卡尺精度为0.1mm，主尺读数为，游标尺1刻度与主尺对齐，游标尺读数为，总读数为 （2）滑块经过光电门的瞬时速度近似为， 由加速度定义 联立得 （3）是第一个光电门挡光中间时刻的瞬时速度，是第二个光电门挡光中间时刻的瞬时速度；题目给出的时间间隔是两次开始挡光的间隔，两个速度的真实时间间隔为 滑块刚开始运动慢，因此题目给出的时间间隔偏大，加速度的测量值偏小。 （4） [1][2]匀变速直线运动中，位移 两边除以得 因此图像的斜率，纵截距为滑块经过光电门1的速度， 连直线后，可得斜率，故；纵截距，合理范围即可。 【典例1-3】为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为2.0cm的遮光条。如图所示，滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间Δt1为0.20s，通过第二个光电门的时间Δt2为0.05s，遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间t为2.5s，试估算滑块的加速度（　　） A．0.12m/s2 B．1.2m/s2 C．0.5m/s2 D．0.16m/s2 【答案】A 【详解】滑块通过第一个光电门的瞬时速度为 滑块通过第二个光电门的瞬时速度为 所以滑块的加速度为 故选A。 题型02 匀变速直线运动的速度与时间的关系 一、匀变速直线运动 1．定义 沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫作匀变速直线运动。 2．特点 （1）运动轨迹是直线。 （2）速度均匀变化，任意相等时间内速度的变化相等。即＝常量，加速度大小、方向都不变。 3．分类 （1）匀加速直线运动：a和v同向，速度均匀增加。 （2）匀减速直线运动：a和v反向，速度均匀减小。 二、速度与时间的关系 1．速度公式的推导 2．速度公式 加速度 末速度 运动时间 初速度 3．对匀变速直线运动速度公式的理解 （1）公式的矢量性：公式中的v0、v和a均为矢量，运用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值，a与v0方向相同时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动。 （2）公式的特殊形式：当a＝0时，v＝v0 ；当v0＝0时，v＝at。 （3）适用范围：该公式仅适用于匀变速直线运动。 （4）可逆思想：若物体做末速度为0的匀减速直线运动，则可以运用逆向思维，将其看成反向的初速度为0的匀加速直线运动。 4．匀变速直线运动速度公式应用步骤 （1）规定一个方向为正方向（一般以初速度的方向为正方向）。 （2）根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。 （3）根据速度与时间的关系列式、求解。 （4）根据计算结果说明所求物理量的大小、方向。 三、匀变速直线运动的v-t图象 1．v-t图象 匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线。 （1）图线a表示物体沿正方向做匀加速直线运动； （2）图线b表示物体沿正方向做匀减速直线运动。 （3）直线c表示物体沿正方向匀减速运动到速度为零，接着以同样的加速度沿负方向做匀加速直线运动。说明初速度与加速度方向相反的匀变速直线运动的速度不一定持续减小； （4）直线d表示物体沿负方向做匀加速直线运动。 2．图象隐含的意义 （1）图线在时间轴的上方表示物体向正方向运动，在时间轴的下方表示物体向负方向运动。 （2）斜率：，斜率表示加速度。斜率的绝对值表示物体的加速度的大小。斜率的正、负表示加速度的方向。 （3）图线与坐标轴的交点：图线与v轴的交点表示初速度；与t轴的交点表示速度为零，即交点之前、之后速度方向相反，运动方向改变。 （4）交点：两条图线的交点表示两物体在该时刻速度相等。（不能说明两物体相遇） （5）面积：图线与时间轴所围图形面积的绝对值等于物体在时间t内的位移大小。在时间轴的上方表示位移为正，在时间轴的下方表示位移为负。总位移等于时间轴上下“正负面积”的代数和，而总路程等于时间轴上下“正负面积”的绝对值之和。 四、非匀变速直线运动的v-t图象 1．速度增大、加速度变化的直线运动的v-t图象是一条曲线，运动特点如下表所示： v-t图象 加速度特点 运动特点 曲线B对应的加速度逐渐增大，曲线A对应的加速度逐渐减小，方向均与正方向相同 t1时刻 vA＞vB，但aA＜aB，A、B均是沿正方向的变加速直线运动 2．速度减小、加速度变化的直线运动的v-t图象是一条曲线，运动特点如下表所示： v-t图象 加速度特点 运动特点 曲线A对应的加速度大小逐渐增大，曲线B对应的加速度大小逐渐减小，方向均与正方向相反 t1时刻 vA＞vB，但aA＜aB，A、B均是沿正方向的变减速直线运动 【典例2-1】汽车的尾部有时会对车的性能做出标识，某品牌汽车标有“45TFSI”。其中“45”称为G值，表示车的加速性能，G值的大小为车辆从静止加速到100km/h（百公里加速）的平均加速度（国际单位制）的10倍。由此推算，该车的百公里加速时间约为（     ） A．2.2s B．4.5s C．6.2s D．8.5s 【答案】C 【详解】由G值定义，百公里加速的平均加速度 换算末速度的国际单位： 汽车从静止开始匀加速，由匀变速直线运动速度公式，得加速时间 故选C。 【典例2-2】某探空火箭起飞后不久发动机自动关闭，图为它起飞后一段时间内的图像，下列说法正确的是（     ） A．末火箭达到最高点 B．末火箭关闭发动机 C．火箭在内的加速度大于在内的加速度 D．火箭在内的位移大于在内的位移 【答案】D 【详解】AD．由于在图像中，图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移，由图像可知，末火箭达到最高点，图线与坐标轴围成的面积大于图线与坐标轴围成的面积，即火箭在内的位移大于在内的位移，故A错误，D正确； B．由图像可知，火箭加速上升，火箭减速上升，因此末火箭关闭发动机，故B错误； C．由于图像的斜率表示物体的加速度，结合图像可知，火箭在内的加速度小于在内的加速度，故C错误。 故选D。 【典例2-3】（多选）某物体从静止开始运动的位移-时间图像如图所示，图像是抛物线。下列说法正确的是（　　） A．该物体做变加速直线运动 B．该物体的加速度大小为 C．该物体在时的速度大小为5m/s D．该物体在第5s内的位移为9m 【答案】BD 【详解】A．根据匀变速直线运动的位移时间公式 结合图像是抛物线可知物体做匀加速直线运动，故A错误； B．物体从静止开始运动，位移公式写成 根据图像可知时， 解得，故B正确； C．根据速度公式 可得物体在时的速度大小为，C错误； D．该物体在前4s内的位移 该物体在前5s内的位移 该物体在第5s内的位移 解得，故D正确。 故选BD。 考点03 匀变速直线运动的位移与时间的关系 一、匀变速直线运动的位移 1．匀速直线运动的位移 （1）位移公式：，方向由起点指向终点。 （2）v-t图像：匀速直线运动的v-t图线是一条平行于时间轴的直线，图线与对应的时间轴所围成的矩形面积（图中阴影部分面积）在数值上等于物体在这段时间内的位移。 图线与时间轴所围区域在时间轴上方，表示物体的位移沿正方向；图线与时间轴所围区域在时间轴下方，表示物体的位移沿负方向。 2．匀变速直线运动的位移 （1）位移公式：。 （2）公式推导：物体做匀变速直线运动时，可利用v-t图像与坐标轴围成的面积求位移，根据图中阴影部分梯形的面积公式可求得位移，将代入上式，得。 3．对位移公式的理解 （1）各物理量的意义 （2）适用范围：适用于加速度恒定的直线运动。 公式适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒定的直线运动，所以公式也适用。 （3）矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特殊说明，一般选取初速度v0的方向为正方向。若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动；若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方向。 4．位移公式的两种特殊形式 （1）当a＝0时，（匀速直线运动）。 （2）当v0＝0 时，（由静止开始的匀加速直线运动）。 二、速度与位移的关系 1．公式推导 2．匀变速直线运动的速度与位移的关系式 3．对速度与位移关系式的理解 （1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动。 （2）公式特点：不涉及运动时间t，只要知道v0、v、a、x中的任意三个物理量，即可求出第四个物理量。 （3）矢量式：应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向。 ①物体做匀加速运动时，a取正值；做匀减速运动时，a取负值。 ②位移x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。 （4）公式的特例 ①当v0＝0时，，适用于物体做初速度为零的匀加速直线运动。 ②当v＝0时，，适用于物体做匀减速直线运动直至静止，如刹车问题。 三、匀变速直线运动的重要推论 1．平均速度公式和中间时刻瞬时速度公式 在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值，即。 2．中间位置瞬时速度公式 （1）公式：。 （2）推导：对前半段位移有；对后半段位移有；两式联立可得。 （3）对中间位置瞬时速度公式的理解 ①既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。 ②不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有。 3．位移差公式 做匀变速直线运动的物体在任意连续相等的时间T内的位移之差为恒定值，即。 4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系 （1）速度比例 1T末、2T末、3T末、……、nT末的速度之比 （2）位移比例 ①T内、2T内、3T内、……、nT内的位移之比 ②第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第N个T内的位移之比 （3）时间比例 ①通过前x、前2x、前3x、……、前Nx 的位移所用的时间之比 ②通过连续相等的位移所用的时间之比 【典例3-1】为确保校园道路安全，某中学门外路段设置了如图所示的橡胶减速带。一汽车正以的速度行驶在该路段，在离减速带处该车开始做匀减速直线运动，结果以的速度通过减速带，通过后立即以的加速度匀加速运动到原来的速度。汽车可视为质点，减速带的宽度忽略不计。求： (1)汽车匀减速时的加速度大小； (2)汽车匀加速过程的位移大小； (3)由于减速带的存在，汽车通过该路段多用的时间。 【答案】(1)2m/s2 (2)40m (3)3s 【详解】（1）根据匀变速运动公式 解得 （2）根据匀变速运动公式 解得 （3）匀减速时间 匀加速时间 匀速通过该路段时间 汽车通过这段距离多用的时间： 【典例3-2】某实验小组利用如图甲所示的装置来探究小车做匀变速直线运动的规律。 (1)为完成实验，除了图甲中标出的器材外，还需要______（填标号）； A．秒表 B．天平 C．刻度尺 D．弹簧测力计 (2)关于实验操作，下列说法正确的是______（填标号）； A．打点计时器是一种可以使用直流电源的仪器 B．在释放小车前，小车应靠近打点计时器 C．应先接通电源，待打点计时器打点稳定后再释放小车 D．长木板一定要水平摆放，不可以一端高，一端低 (3)该同学在实验中使用频率为的打点计时器，获得的纸带如图乙所示，其中相邻两个计数点之间还有4个点没有画出，并且，，，，，，则B点的瞬时速度大小是______m/s（结果保留两位有效数字），小车运动的加速度计算表达式是______（用、f表示）。 【答案】(1)C (2)BC (3) 0.50 【详解】（1）该实验不要测量质量和力，打点计时器可以记录时间，所以不需要秒表、天平、弹簧测力计，但需要刻度尺测量距离，所以还需要刻度尺。 故选C。 （2）A．打点计时器是一种可以使用交流电源的仪器，故A错误； BC．为了节约纸带，在释放小车前，小车应靠近打点计时器，且实验过程中要先接通电源，待打点计时器打点稳定后再释放小车，故BC正确； D．该实验探究小车做匀变速直线运动的规律，长木板不一定要水平摆放，故D错误。 故选BC。 （3）[1]由于相邻两个计数点之间还有4个点没有画出，故相邻两个计数点之间时间 则B点的瞬时速度大小 [2]逐差法可得加速度 【典例3-3】邵永高铁是呼南高铁通道的核心段，设计时速350km/h。小明与小华在邵阳站进行了一次测试，小明手持秒表在站台的尽头测得列车匀加速出站时通过他用时20.0s，小华在该列车上测得列车的加速度为，车尾离开小明时列车的速度为54km/h，则该列车的长度为（　　） A．230m B．225m C．200m D．150m 【答案】C 【详解】车尾离开小明时列车的速度 设车头到达小明时列车的速度为，列车通过小明用时，加速度。由速度公式 得 列车长度等于在这内列车前进的位移，由位移公式 代入数据得 故选C。 考点04 自由落体运动 一、自由落体运动 1．对自由落体运动的认识历程 （1）亚里士多德的观点：认为物体下落的快慢跟它的轻重有关，重的物体下落得快。 （2）伽利略的逻辑推理 （3）轻重不同的物体下落快慢的研究 ①有空气时：质量越大、体积越小的物体下落得越快； ②真空下：轻的物体和重的物体下落得同样快。 结论：如果没有空气阻力，所有物体下落的快慢都一样。 2．自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。 （2）条件：受力条件——只受重力作用；运动条件——初速度v0＝0。【二者取缺一不可】 （3）运动性质：自由落体运动是初速度为零、加速度a=g的匀加速直线运动。 二、自由落体运动的规律 1．自由落体运动的加速度 （1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示。 （2）方向：总是竖直向下。 （3）大小：计算时一般取g＝9.8m/s2或g＝10 m/s2，如没有特殊说明，都按g＝9.8m/s2进行计算。 2．自由落体运动的规律 （1）基本公式：匀变速直线运动规律 → 自由落体运动规律 （2）推论式 ①物体的平均速度： 。 ②连续相等时间间隔T内下落的高度差：。 （3）比例关系 设从t＝0开始计时，以T为时间单位，则有如下结论： ①1T末、2T末、3T末、……、nT末的瞬时速度之比 ②T内、2T内、3T内、……、nT内的位移之比 ③第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第N个T内的位移（连续相等时间T内下落的高度）之比 ④通过连续相等的位移所用的时间之比 三、自由落体运动的实验探究 1．实验原理 重物拖着纸带竖直下落时，可认为纸带受到的阻力比重物的重力小得多，近似地认为重物仅在重力作用下运动，根据打点计时器打出的纸带能分析和研究重物的运动规律。 2．实验器材 打点计时器（带导线）、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物铁夹、低压交流电源、毫米刻度尺。 3．实验过程 （1）如图所示，将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路。 （2）把纸带穿过两个限位孔，下端用带重物的铁夹夹住，让重物靠近打点计时器。 （3）用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，接通电源，松开纸带让重物自由下落，重物落地后立即关闭电源，打点计时器就在纸带上打下一系列的点。 （4）改变重物的质量，重复几次上面的步骤，选取一条点迹清晰的纸带进行分析。 4．数据处理 （1）图像法：用求出打下各点时重物的瞬时速度，作出v-t图像，图像是一条过原点的向上倾斜的直线，斜率表示加速度。 （2）逐差法：利用求加速度，若为偶数段，可直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第3段，由直接求得。 5．实验结论 自由落体运动是初速度为零、加速度恒定（约为9.8m/s2与物体的质量无关）的匀加速直线运动。 四、竖直上抛运动 1．条件：物体只受重力，初速度不为0，且方向竖直向上。 2．运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 3．基本规律 通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g。 （1）基本公式： （2）推论： 4．竖直上抛运动的处理方法 （1）分段法： ①上升过程：a=－g的匀减速直线运动； ②下降过程：自由落体运动。 （2）全程法：将上升和下降过程统一看成是初速度为v0，加速度为－g的匀变速直线运动习惯上取v0的方向为正方向。 ①若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落。 ②若h＞0，物体在抛点上方；若h＜0，物体在抛点下方。 5．竖直上抛运动的对称性 （1）时间的对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为运动过程中的任意两点，C为最高点，则物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相等，同理tBC＝tAC，tAB＝tBA。 （2）速度的对称性：物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反。上升阶段和下降阶段经过同一个位置时（如A点）的速度大小相等、方向相反。此外，解题时需要注意，所取的距离抛出点h的点，可能在抛出点上方，也可能在抛出点下方。 【典例4-1】（多选）如图所示，有两个大小相同，质量分别为和 的A、B两个小球，现将小球A从某高度自由释放，同时将小球B以一定的初速度向上抛出，小球B上升至最高点时离地高度为，且此时恰与小球A发生对心碰撞，m/s2，不计小球体积，则下列说法正确的是（     ） A．小球B从抛出到与小球A发生碰撞所需的时间为2s B．小球B抛出时的初速度为 s C．发生碰撞的瞬间，小球A的速度应为10m/s D．小球A距离地面的初始高度为40m 【答案】AD 【详解】A．根据竖直上抛运动的对称性，可知，小球B从抛出到与小球A发生碰撞所需的时间为，故A正确； B．小球B抛出时的速度大小为，故B错误； C．由题可知，发生碰撞时，两球运动的时间相等，则发生碰撞的瞬间，小球A的速度应为，故C错误； D．发生碰撞的瞬间，小球A下落的高度为 小球A距离地面的初始高度为，故D正确。 故选AD。 【典例4-2】（多选）广州塔观景台高度约450m，图为两个小球的运动场景：①从观景台t=0时刻由静止释放小球；②t=4s时从地面以40m/s初速度竖直上抛另一小球。忽略空气阻力，g取10m/s2，下列分析正确的是（     ） A．自由下落的小球第1s内的位移为5m B．竖直上抛的小球从抛出至上升到最高点的时间为8s C．两小球第一次相遇时刻为t=8.625s D．竖直上抛的小球上升的最大高度为80m 【答案】ACD 【详解】A．由自由落体位移公式可知，自由下落的小球第1s内的位移为，故A正确； B．竖直上抛小球上升到最高点时速度减为0，设从抛出至上升到最高点的时间为，则有 解得，故B错误； C．从第一个球下落开始计时，设时刻两球相遇，则有 代入数据解得 自由下落的小球落地时间为 说明相遇时两小球均未落地，故C正确； D．竖直上抛最大高度，故D正确。 故选ACD。 【典例4-3】2025年的罨画池，秋风漫过枝头，满树金黄便簌簌落下，恰是“无边落木萧萧下”，铺成一地柔软的灿烂。银杏叶像被时光染透的小扇，层层叠叠、安安静静伏在地面，踩着松软，抬眼便是漫天暖黄。风过时叶声轻响，像是季节在轻声道别，又像是大地温柔地接住了一整个秋天的诗意。其中有一片梧桐叶从高为的枝头自静止落至地面，所用时间可能是（     ） A．0.3s B．0.6s C． D．4s 【答案】D 【详解】若无空气阻力时，梧桐叶做自由落体运动， 根据 代入 、 解得 由于梧桐叶下落过程中空气阻力的影响不可忽略，则实际下落时间大于，故所用时间可能是。 故选D。 一、单选题 1．甲、乙两台汽车在水平直道上沿同一直线运动，它们的速度—时间图像如图所示。已知两图线为平行直线，若以甲车为参考系，下列说法正确的是（　　） A．乙车的速度为零 B．乙车做匀加速直线运动 C．乙车做匀速直线运动 D．乙车与甲车之间的距离保持不变 【答案】C 【详解】ABC．两图线为平行直线，甲乙两车加速度相同，设加速度为，任意时刻乙相对甲的速度为，甲车的速度 乙车速度 可得乙车相对甲车的速度恒为，是定值，不为零，也不存在加速度，不会做匀加速运动，而是做匀速直线运动，故AB错误，C正确； D．甲车的位移 乙车的位移 两车的距离，随时间均匀增大，并非保持不变，故D错误。 故选C。 2．某同学身高1.7m，在跳高比赛中采用背越式，身体横着越过高1.65m的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度约为（     ）（g取10） A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 【答案】B 【详解】站立时人的重心约位于身高中点，初始重心高度为 背越式过杆时重心高度近似等于横杆高度，因此重心上升的高度 人竖直起跳后做竖直上抛运动，到最高点时竖直速度为0，由运动学公式 ，可得。 故选B。 3．研究表明，一般人的刹车反应时间（即图甲中“反应过程”所用时间）t0=0.4s，但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以v0=72km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L=39m。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动，取重力加速度的大小g=10m/s2，下列说法错误的是（　　） A．饮酒使志愿者的反应时间变为0.7s B．饮酒使志愿者在反应时间内行驶的距离比正常反应时间内（t0=0.4s）多行驶了14m C．减速过程汽车加速度的大小为8m/s2 D．减速过程所用时间为2.5s 【答案】B 【详解】A．由图可知，汽车匀减速运动的位移为25m，且 所以匀速运动的位移为 反应时间为，故A正确，不符合题意； B．饮酒使志愿者在反应时间内行驶的距离比正常反应时间内（t0=0.4s）多行驶的距离为，故B错误，符合题意； C．根据速度位移关系可得 代入数据解得，故C正确，不符合题意； D．减速过程的时间为，故D正确，不符合题意。 故选B。 4．在2026年第二届世界人形机器人运动会的百米赛跑中，机器人甲和机器人乙展开激烈角逐。如图是某段时间内两机器人的位移-时间图像，图中曲线为抛物线，0时刻曲线与时间轴相切。下列说法正确的是（     ） A．0~2 s内，乙的速度一直在增大 B．0~2 s内，乙的速度总大于甲的速度 C．时，甲的加速度大小为 D．时，甲与乙的速度相等 【答案】C 【详解】A．图像的斜率表示速度，乙的图像是倾斜直线，斜率不变，说明乙做匀速直线运动，速度不变，故A错误； B．图像的斜率表示速度，由图可知，乙的速度先大于甲的速度后小于甲的速度，故B错误； C．甲的图像是抛物线，且0时刻与时间轴相切，说明甲做初速度为零的匀加速直线运动，由图可知，内甲的位移为10m，则对甲有 解得，故C正确； D．由图可知，乙的速度 2s时甲的速度，故D错误。 故选C。 5．如图所示，A、B两木块并排固定在水平地面上，长度之比为，一颗子弹以速度v0水平射入。若子弹在木块中做匀减速运动且穿过B木块后速度恰好为零，则（     ） A．穿过A、B木块所用时间之比为 B．穿过A、B木块所用时间之比为 C．射入A、B木块时的速度之比为 D．射入A、B木块时的速度之比为 【答案】D 【详解】设木块A、B的长度分别为和，子弹进入B木块时的速度为，在两木块中运动时的减速度大小均为，由匀变速直线运动的速度与位移关系，对子弹通过A木块的过程列式得 对子弹通过B木块并恰好停下的过程列式得 所以 所以 从而 由匀变速直线运动速度与时间关系，穿过A、B木块所用时间分别满足和，所以 故选D。 6．如图（a）所示，2023年杭州亚运会田径赛场上，工作人员利用电子狗捡铁饼和标枪，这在世界上尚属首次。电子狗在一次捡铁饼的过程，速度时间图像如图（b）所示，其中2~10s为曲线，其余为直线。下列说法正确的是（     ） A．2~10s时间内，电子狗做匀加速直线运动 B．0~10s时间内，电子狗的平均速度大于 C．16s时，电子狗回到出发点 D．12s时，电子狗开始反向运动 【答案】B 【详解】A． 由图（b）速度—时间图像可知，内图线为曲线，斜率不断变化，说明加速度变化，电子狗不是做匀加速直线运动，A错误； B．内位移等于图像与时间轴围成的面积。内位移为；由图像可见，曲线段在连接与的直线之上，因此该段位移大于，所以内平均速度，大于，B正确； C．内速度始终不为负，图像始终在时间轴上方，位移一直增加，时速度减为，但没有回到出发点，C错误； D．内速度仍为正，只是速度逐渐减小，直到速度为，因此时没有开始反向运动，D错误。 故选B。 7．木块放在光滑水平面上，子弹以速度射入木块并穿出，木块获得的速度为；若用另一颗质量相同但速度更大的子弹射入该木块（弹孔不重合），子弹穿过后木块获得的速度为，则（     ） A． B． C． D．条件不足，不能确定 【答案】A 【详解】子弹减速（对应两次的初速度不同，加速度相同）、木块加速（两次的加速度相同）对应的图像如图所示，两次射击过程中，子弹相对木块运动的位移相同，由图像可知子弹初速较大的第2种情况下木块获得的速度较小。 故选A。 二、多选题 8．（多选）A、B两质点做直线运动的位置−时间（x−t）的图像如图所示，已知A的x−t图像为开口向下的抛物线，t=8s时图像处于顶点，B的x−t图像为直线。关于两质点0~10s内的运动，下列说法正确的是（     ） A．0~10s内质点A的速度变化率保持不变 B．在0~10s内质点A的平均速度大于质点B的平均速度 C．t=10s时质点A的速度大小为3m/s D．t=10s时两质点相遇，相遇时质点A的速度小于质点B的速度 【答案】AD 【详解】A．已知质点A的图像为开口向下的抛物线，结合匀变速直线运动的位移公式可知质点A做匀变速直线运动，即加速度不变，可知内质点A的速度变化率保持不变，故A正确； B．根据图像可知在内两质点的位移均为，根据平均速度可知在内两质点的平均速度相同，故B错误； C．由于质点A先做做匀减速直线运动，根据图像的切线斜率表示速度可知，质点A在时速度为零，则有 且在时质点A的位移为，则有 联立解得， 可知时质点A的速度，故C错误； D．根据图像可知质点B做的是匀速直线运动，其速度大小为 即相遇时质点A的速度小于质点B的速度，故D正确。 故选AD。 9．（多选）如图所示，小球甲从距离地面高度为h1=15m处以速度v0=10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为h2=20m处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球乙落地前，甲相对乙做匀速直线运动 B．两球运动0.5s时，距离地面均为18.75m C．落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度之比为2:1 D．小球乙落地时，甲距地面5m 【答案】AB 【详解】A．两球的加速度均为重力加速度，相对加速度为0，则小球乙落地前，甲相对乙向上做匀速直线运动，故A正确； B．两球运动0.5s时，根据位移时间关系可得， 甲距地面的高度为 乙距地面的高度为，故B正确； C．落地前的运动过程中，根据位移关系可得， 代入数据解得， 小球甲的平均速度大小为 小球乙的平均速度大小为 所以小球甲、乙的平均速度之比为1:2，故C错误； D．由以上分析可知，小球乙落地时，所用时间为2s，则甲的位移为 即小球甲回到出发点，所以小球甲距地面为，故D错误。 故选AB。 10．（多选）小张查询资料，了解到西方古代曾用如图所示的沙漏计时，沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置。沙漏是根据从一个容器漏到另一个容器的沙量来计时。若近似认为沙粒随时间均匀漏下且沙粒下落的初速度为0，不计下落时沙粒间的相互影响，不计空气阻力。已知出口下方0～2cm范围内有50颗沙粒。对于还在下落过程中的沙粒，下列说法正确的是（     ） A．出口下方范围内约有100颗沙粒 B．假设空中最多有150粒沙子，则沙粒下落的最大距离为0.18m C．出口下方5cm和10cm处沙粒的速度大小之比为 D．出口下方和范围内的沙粒数之比约为 【答案】BC 【详解】沙粒从出口由静止开始做自由落体运动，速度 设单位时间漏出的沙粒数为，则在高度处，由于流量恒定（单位时间通过的颗粒数恒定），所以数密度 由数学关系可知，在高度区间内的沙粒数 已知出口下方内有颗沙粒，则，因此比例常数可定。 A．的沙粒数 与的比值 所以颗，故A错误； B．若空中总沙粒数为，则 所以 两边平方可得，故B正确； C．由 可知，故C正确； D．的沙粒数 与的相等，即比值为，故D错误。 故选BC。 三、实验题 11．实验小组用如图装置测量小车加速度，探究加速度与力、质量的关系。小车上固定有遮光片，导轨上有光电门A、B，细线跨过轻滑轮，一端与小车相连，另一端挂有钩码，已平衡小车的运动阻力。 (1)实验中利用光电门测速度，下列说法正确的是（     ） A．遮光片宽度越大，测出的瞬时速度越准确 B．小车通过光电门的瞬时速度，用遮光片通过光电门的平均速度近似代替 C．平衡阻力时，需要挂上钩码，轻推小车 D．改变小车质量后，需要重新平衡小车的运动阻力 (2)实验中测出遮光片宽度为，小车经过光电门A挡光时间，经过光电门B挡光时间，A、B间距x。则小车加速度表达式为_________。 (3)若实验中遮光片破损，实际有效挡光宽度小于标注宽度，用标注宽度计算速度，则求得的小车加速度会_________（选填“偏大”“偏小”“不变”）；该误差属于_________（选填“偶然误差”“系统误差”）。 【答案】(1)B (2) (3) 偏大 系统误差 【详解】（1）A．遮光片宽度越小，平均速度越接近瞬时速度，故A错误； B．用遮光片通过光电门的平均速度近似代替瞬时速度，故B正确； C．平衡阻力时不能挂钩码，只让小车（带遮光片）重力分力平衡摩擦力，不能挂钩码，故C错误； D．平衡阻力的受力 小车质量会约掉，改变小车质量不需要重新平衡阻力，故D错误。 故选B。 （2）小车经过光电门A的速度 小车经过光电门B的速度 由匀变速直线运动的速度位移公式 联立解得 （3）[1]实际有效宽度，若计算时代入更大的标注宽度，算出的、都偏大，也偏大，最终加速度会偏大。 [2]这个误差是实验装置带来的，属于系统误差。 12．测量重力加速度的实验装置如图1所示，重锤自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列点迹。挑出点迹清晰的一条纸带，依次标出计数点0、1、…、6，各计数点与0计数点之间的距离如图2所示，交流电源频率为。 (1)打下计数点2时重锤的速度_________，重力加速度_________（结果保留3位有效数字）。 (2)实验中测出的重力加速度数值比当地的重力加速度值略小，可能的原因是_________。 A．存在阻力的影响 B．先释放纸带，后接通电源 C．交流电的频率略小于 (3)某同学利用手机上的加速度传感器测量重力加速度，建立如图3坐标系（轴竖直向上）。实验时用手水平托着手机，打开加速度传感器，手掌迅速向下运动，让手机脱离手掌而自由下落，然后接住手机。加速度传感器记录的、、方向上的加速度如图4。 读取手机轴上的加速度为，查阅相关资料发现，该地区的重力加速度约为。重复实验，但实验结果并没有明显改善，误差仍旧很大。 ①除空气阻力影响外，误差产生的其他原因可能是_________； ②根据图4中数据，写出重力加速度的表达式_________。 【答案】(1) 1.89 9.64 (2)A (3) 手机的z轴没有严格沿竖直向上方向（或手机未保持水平） 【详解】（1）[1]打下计数点2时重锤的速度 [2]根据逐差法可知 （2）A．由于空气阻力的作用，导致测量的加速度比实际值偏小，故A正确； B．先释放纸带后接通电源，会导致初始点迹缺失，但不会影响加速度的计算，故B错误； C．根据逐差法求加速度的原理可知，若交流电的频率略小于50Hz，实际打点的时间间隔变大，而计算时仍使用原来的打点时间间隔，导致测量的重力加速度偏大，故C错误。 故选A。 （3）[1]除了空气阻力的影响，手机没有完全水平，z轴未严格沿竖直方向，重力加速度在z轴的投影小于真实值，同时x、y方向也测出了非零的加速度分量 [2]根据矢量的合成，可得 四、计算题 13．甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相同了，则哪一辆车先经过下一个路标？ 【答案】乙车先通过下一个路标 【详解】由题可知这三辆汽车的初、末速度相同，经过的位移相同，但乙、丙两车不一定做匀变速直线运动，因此利用匀变速直线运动的规律来求解有问题．我们可以分别作出三辆车的图像，如图所示；由图可知，乙车通过下一个路标的时间最短，即乙车最先通过下一个路标。 14．如图所示为测定气垫导轨上滑块加速度的装置，滑块上安装了宽度为的遮光条，滑块在倾斜导轨上由左端释放后先后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间，通过第二个光电门的时间为，遮光板从通过第一个光电门到开始遮住第二个光电门所用时间为，求滑块运动过程的加速度大小及两光电门之间的距离。 【答案】， 【详解】已知，，， 根据光电门求解瞬时速度的原理，可得滑块经过第一个光电门的速度为 同理，滑块经过第二个光电门的速度为 根据加速度的定义式可知，滑块运动过程的加速度大小为 根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有 解得两光电门之间的距离为 15．一只老鼠从鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距鼠洞中心的距离x成反比，当老鼠到达距鼠洞中心的A点时，速度大小为。求当老鼠到达距鼠洞中心的B点时，其速度大小及老鼠从A点到达B点所用的时间t。 【答案】，7.5s 【详解】因xv=k，则作出老鼠的的图像如图所示．由图可知时，老鼠的速度为；在之间图线与横轴包围的面积即为所求的时间，故老鼠从A到B爬行的时间为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一物理必修第一册秋季同步培优专项讲义 第二章 匀变速直线运动的研究 知识归纳与题型总结 题型01 实验：探究小车速度随时间变化的规律 1、 实验研究： 1．实验目的 （1）进一步练习打点计时器的使用、纸带数据的处理和瞬时速度的测量方法。 （2）用打点计时器研究小车在重物牵引下的运动，探究小车速度随时间变化的规律。 （3）能运用v-t图像探究小车速度随时间变化的规律。 2．实验原理 （1）利用纸带计算瞬时速度：以纸带上某点对应时刻为中间时刻，取与之相邻的两点间的位移，用这段位移的平均速度表示该点的瞬时速度。 （2）用描点法作出小车的v-t图像，图像的斜率表示加速度。若v-t图像是一条倾斜的直线，说明小车的速度是均匀变化的。 3．实验器材 打点计时器、交流电源、纸带、一端附有定滑轮的长木板、小车、细绳、槽码、刻度尺等。 4．实验步骤 （1）把一端附有定滑轮的长木板放在桌面上，并使定滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在木板上远离定滑轮的一端，如图所示。 （2）把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上数量合适的钩码，然后把纸带穿过打点计时器，并把纸带的另一端固定在小车的后面，调节滑轮高度，使细绳与木板平行。 （3）使小车停在靠近打点计时器处，先接通电源，后释放小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列点，小车靠近滑轮时及时使小车停止，随后关闭电源，再按同样的方法（不改变钩码个数）打出两条纸带。从这三条纸带中选择一条最清晰的，记录为纸带I。 （4）增加一个钩码，按上述方法打出纸带Ⅱ。 （5）在打纸带I的基础上减少一个钩码，仍按上述方法打出纸带Ⅲ。 二、数据处理与误差分析 1．纸带的选取及测量 （1）在三条纸带中选择一条点迹最清晰的纸带。 （2）为了便于测量，舍掉开头一些过于密集的点，找一个适当的点当作计时起点（位置编号为 0）。 （3）从该点开始，每5个计时点取1个计数点（两相邻计数点中间还有4个计时点）进行测量，两相邻计数点间的时间间隔T＝0.1s。 2．数据采集 测量各个计数点到计时起点的距离x1、x2、x3、…，如图所示，然后计算出两个相邻计数点间的距离∆x1＝x1、∆x2＝x2－x1、∆x3＝x3－x2、…，这样可以减小相对误差。 3．计算平均速度 用平均速度代替各计数点的瞬时速度，有，将得到的各计数点的瞬速度填入表中。 4．作v-t图像，求解加速度 以速度v为纵轴、时间t为横轴建立平面直角坐标系，根据表中数据在坐标系中描点，观察点的分布规律，然后用一条平滑的曲线（包括直线)）“拟合”这些点，作出描述小车运动的v-t图像。 【注意】应让图线连接尽可能多的点，不能连接的点应均匀分布在图线两侧，个别偏离较远的点舍去，以减小偶然误差。 5．实验结论 实验得出小车运动的的v-t图像是一条倾斜的直线，如图所示。当时间增加相同的∆t时，速度也会增加相同的值∆v。由此得出结论：小车的速度随时间均匀变化。 6．误差分析 （1）偶然误差 ①纸带上计数点间距测量有误差，故要多测几组数据，求平均值，以减小误差。 ②作图有误差，因此在描点时最好用坐标纸，并在纵、坐标轴上选取合适的单位，用细铅笔认真描点。 （2）系统误差 ①纸带运动时所受摩擦不均匀引起误差，所以安装时纸带细绳要与长木板平行。 ②木板的粗糙程度并非完全相同，这样测量得到的加速度是小车在所测量段的平均加速度，为减小误差可在铝板上铺一层白纸或换用气垫导轨。 ③交流电流的频率f变化，导致加速度a与速度v的测量出现误差，例如f实际＜f计算，则a、v偏大。 【典例1-1】如图为实验得到的一条纸带，O、A、B、C、D、E、F为相邻的计数点，相邻两计数点间还有4个点未画出，打点计时器所用交变电源的频率为50 Hz，用刻度尺量出相邻点之间的距离是：、、、、、，则小车运动的加速度大小为________ m/s2（计算结果保留2位有效数字） 【典例1-2】小明用如图甲所示的装置来测量滑块沿斜轨下滑的加速度，两个光电门1、2分别固定于斜轨上的两个不同位置，将装有I型挡光片的滑块从斜轨顶端由静止下滑，光电门1、2先后记录细光束被挡光片的遮挡时间和，也记录了滑块经过两个光电门的时间间隔t。 (1)实验开始前，小明用游标卡尺测量挡光片的宽度，测量情况如图乙所示，其读数为_______mm； (2)滑块下滑时加速度的表达式为_______；（用题中测得物理量的符号表示） (3)小明查阅资料发现，当挡光片开始遮挡第一个光电门时开始计时起，到挡光片开始遮挡第二个光电门时停止计时，即为光电计时器显示的滑块经过两个光电门的时间间隔，由此推断加速度的测量值_______；（填写“偏大”“不变”或“偏小”） (4)小明另外设计了一套的实验方案：保持光电门1不动，逐次改变光电门2在斜轨的位置，用刻度尺测量每一次光电门1、2之间的距离L和滑块经过两个光电门的时间间隔t，从而计算出滑块在两个光电门之间的平均速度，并在图像上描出了8个数据点，如图丙所示，请你处理图像，得出滑块的加速度大小_______和滑块在光电门1附近的瞬时速度大小_______。（均保留三位有效数字） 【典例1-3】为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为2.0cm的遮光条。如图所示，滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间Δt1为0.20s，通过第二个光电门的时间Δt2为0.05s，遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间t为2.5s，试估算滑块的加速度（　　） A．0.12m/s2 B．1.2m/s2 C．0.5m/s2 D．0.16m/s2 题型02 匀变速直线运动的速度与时间的关系 一、匀变速直线运动 1．定义 沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫作匀变速直线运动。 2．特点 （1）运动轨迹是直线。 （2）速度均匀变化，任意相等时间内速度的变化相等。即＝常量，加速度大小、方向都不变。 3．分类 （1）匀加速直线运动：a和v同向，速度均匀增加。 （2）匀减速直线运动：a和v反向，速度均匀减小。 二、速度与时间的关系 1．速度公式的推导 2．速度公式 加速度 末速度 运动时间 初速度 3．对匀变速直线运动速度公式的理解 （1）公式的矢量性：公式中的v0、v和a均为矢量，运用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值，a与v0方向相同时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动。 （2）公式的特殊形式：当a＝0时，v＝v0 ；当v0＝0时，v＝at。 （3）适用范围：该公式仅适用于匀变速直线运动。 （4）可逆思想：若物体做末速度为0的匀减速直线运动，则可以运用逆向思维，将其看成反向的初速度为0的匀加速直线运动。 4．匀变速直线运动速度公式应用步骤 （1）规定一个方向为正方向（一般以初速度的方向为正方向）。 （2）根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。 （3）根据速度与时间的关系列式、求解。 （4）根据计算结果说明所求物理量的大小、方向。 三、匀变速直线运动的v-t图象 1．v-t图象 匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线。 （1）图线a表示物体沿正方向做匀加速直线运动； （2）图线b表示物体沿正方向做匀减速直线运动。 （3）直线c表示物体沿正方向匀减速运动到速度为零，接着以同样的加速度沿负方向做匀加速直线运动。说明初速度与加速度方向相反的匀变速直线运动的速度不一定持续减小； （4）直线d表示物体沿负方向做匀加速直线运动。 2．图象隐含的意义 （1）图线在时间轴的上方表示物体向正方向运动，在时间轴的下方表示物体向负方向运动。 （2）斜率：，斜率表示加速度。斜率的绝对值表示物体的加速度的大小。斜率的正、负表示加速度的方向。 （3）图线与坐标轴的交点：图线与v轴的交点表示初速度；与t轴的交点表示速度为零，即交点之前、之后速度方向相反，运动方向改变。 （4）交点：两条图线的交点表示两物体在该时刻速度相等。（不能说明两物体相遇） （5）面积：图线与时间轴所围图形面积的绝对值等于物体在时间t内的位移大小。在时间轴的上方表示位移为正，在时间轴的下方表示位移为负。总位移等于时间轴上下“正负面积”的代数和，而总路程等于时间轴上下“正负面积”的绝对值之和。 四、非匀变速直线运动的v-t图象 1．速度增大、加速度变化的直线运动的v-t图象是一条曲线，运动特点如下表所示： v-t图象 加速度特点 运动特点 曲线B对应的加速度逐渐增大，曲线A对应的加速度逐渐减小，方向均与正方向相同 t1时刻 vA＞vB，但aA＜aB，A、B均是沿正方向的变加速直线运动 2．速度减小、加速度变化的直线运动的v-t图象是一条曲线，运动特点如下表所示： v-t图象 加速度特点 运动特点 曲线A对应的加速度大小逐渐增大，曲线B对应的加速度大小逐渐减小，方向均与正方向相反 t1时刻 vA＞vB，但aA＜aB，A、B均是沿正方向的变减速直线运动 【典例2-1】汽车的尾部有时会对车的性能做出标识，某品牌汽车标有“45TFSI”。其中“45”称为G值，表示车的加速性能，G值的大小为车辆从静止加速到100km/h（百公里加速）的平均加速度（国际单位制）的10倍。由此推算，该车的百公里加速时间约为（     ） A．2.2s B．4.5s C．6.2s D．8.5s 【典例2-2】某探空火箭起飞后不久发动机自动关闭，图为它起飞后一段时间内的图像，下列说法正确的是（     ） A．末火箭达到最高点 B．末火箭关闭发动机 C．火箭在内的加速度大于在内的加速度 D．火箭在内的位移大于在内的位移 【典例2-3】（多选）某物体从静止开始运动的位移-时间图像如图所示，图像是抛物线。下列说法正确的是（　　） A．该物体做变加速直线运动 B．该物体的加速度大小为 C．该物体在时的速度大小为5m/s D．该物体在第5s内的位移为9m 考点03 匀变速直线运动的位移与时间的关系 一、匀变速直线运动的位移 1．匀速直线运动的位移 （1）位移公式：，方向由起点指向终点。 （2）v-t图像：匀速直线运动的v-t图线是一条平行于时间轴的直线，图线与对应的时间轴所围成的矩形面积（图中阴影部分面积）在数值上等于物体在这段时间内的位移。 图线与时间轴所围区域在时间轴上方，表示物体的位移沿正方向；图线与时间轴所围区域在时间轴下方，表示物体的位移沿负方向。 2．匀变速直线运动的位移 （1）位移公式：。 （2）公式推导：物体做匀变速直线运动时，可利用v-t图像与坐标轴围成的面积求位移，根据图中阴影部分梯形的面积公式可求得位移，将代入上式，得。 3．对位移公式的理解 （1）各物理量的意义 （2）适用范围：适用于加速度恒定的直线运动。 公式适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运动，但它是加速度恒定的直线运动，所以公式也适用。 （3）矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若题目中未特殊说明，一般选取初速度v0的方向为正方向。若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动；若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，计算出位移的正负表示位移的方向。 4．位移公式的两种特殊形式 （1）当a＝0时，（匀速直线运动）。 （2）当v0＝0 时，（由静止开始的匀加速直线运动）。 二、速度与位移的关系 1．公式推导 2．匀变速直线运动的速度与位移的关系式 3．对速度与位移关系式的理解 （1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动。 （2）公式特点：不涉及运动时间t，只要知道v0、v、a、x中的任意三个物理量，即可求出第四个物理量。 （3）矢量式：应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向。 ①物体做匀加速运动时，a取正值；做匀减速运动时，a取负值。 ②位移x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。 （4）公式的特例 ①当v0＝0时，，适用于物体做初速度为零的匀加速直线运动。 ②当v＝0时，，适用于物体做匀减速直线运动直至静止，如刹车问题。 三、匀变速直线运动的重要推论 1．平均速度公式和中间时刻瞬时速度公式 在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值，即。 2．中间位置瞬时速度公式 （1）公式：。 （2）推导：对前半段位移有；对后半段位移有；两式联立可得。 （3）对中间位置瞬时速度公式的理解 ①既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。 ②不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有。 3．位移差公式 做匀变速直线运动的物体在任意连续相等的时间T内的位移之差为恒定值，即。 4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系 （1）速度比例 1T末、2T末、3T末、……、nT末的速度之比 （2）位移比例 ①T内、2T内、3T内、……、nT内的位移之比 ②第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第N个T内的位移之比 （3）时间比例 ①通过前x、前2x、前3x、……、前Nx 的位移所用的时间之比 ②通过连续相等的位移所用的时间之比 【典例3-1】为确保校园道路安全，某中学门外路段设置了如图所示的橡胶减速带。一汽车正以的速度行驶在该路段，在离减速带处该车开始做匀减速直线运动，结果以的速度通过减速带，通过后立即以的加速度匀加速运动到原来的速度。汽车可视为质点，减速带的宽度忽略不计。求： (1)汽车匀减速时的加速度大小； (2)汽车匀加速过程的位移大小； (3)由于减速带的存在，汽车通过该路段多用的时间。 【典例3-2】某实验小组利用如图甲所示的装置来探究小车做匀变速直线运动的规律。 (1)为完成实验，除了图甲中标出的器材外，还需要______（填标号）； A．秒表 B．天平 C．刻度尺 D．弹簧测力计 (2)关于实验操作，下列说法正确的是______（填标号）； A．打点计时器是一种可以使用直流电源的仪器 B．在释放小车前，小车应靠近打点计时器 C．应先接通电源，待打点计时器打点稳定后再释放小车 D．长木板一定要水平摆放，不可以一端高，一端低 (3)该同学在实验中使用频率为的打点计时器，获得的纸带如图乙所示，其中相邻两个计数点之间还有4个点没有画出，并且，，，，，，则B点的瞬时速度大小是______m/s（结果保留两位有效数字），小车运动的加速度计算表达式是______（用、f表示）。 【典例3-3】邵永高铁是呼南高铁通道的核心段，设计时速350km/h。小明与小华在邵阳站进行了一次测试，小明手持秒表在站台的尽头测得列车匀加速出站时通过他用时20.0s，小华在该列车上测得列车的加速度为，车尾离开小明时列车的速度为54km/h，则该列车的长度为（　　） A．230m B．225m C．200m D．150m 考点04 自由落体运动 一、自由落体运动 1．对自由落体运动的认识历程 （1）亚里士多德的观点：认为物体下落的快慢跟它的轻重有关，重的物体下落得快。 （2）伽利略的逻辑推理 （3）轻重不同的物体下落快慢的研究 ①有空气时：质量越大、体积越小的物体下落得越快； ②真空下：轻的物体和重的物体下落得同样快。 结论：如果没有空气阻力，所有物体下落的快慢都一样。 2．自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。 （2）条件：受力条件——只受重力作用；运动条件——初速度v0＝0。【二者取缺一不可】 （3）运动性质：自由落体运动是初速度为零、加速度a=g的匀加速直线运动。 二、自由落体运动的规律 1．自由落体运动的加速度 （1）定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示。 （2）方向：总是竖直向下。 （3）大小：计算时一般取g＝9.8m/s2或g＝10 m/s2，如没有特殊说明，都按g＝9.8m/s2进行计算。 2．自由落体运动的规律 （1）基本公式：匀变速直线运动规律 → 自由落体运动规律 （2）推论式 ①物体的平均速度： 。 ②连续相等时间间隔T内下落的高度差：。 （3）比例关系 设从t＝0开始计时，以T为时间单位，则有如下结论： ①1T末、2T末、3T末、……、nT末的瞬时速度之比 ②T内、2T内、3T内、……、nT内的位移之比 ③第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第N个T内的位移（连续相等时间T内下落的高度）之比 ④通过连续相等的位移所用的时间之比 三、自由落体运动的实验探究 1．实验原理 重物拖着纸带竖直下落时，可认为纸带受到的阻力比重物的重力小得多，近似地认为重物仅在重力作用下运动，根据打点计时器打出的纸带能分析和研究重物的运动规律。 2．实验器材 打点计时器（带导线）、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物铁夹、低压交流电源、毫米刻度尺。 3．实验过程 （1）如图所示，将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路。 （2）把纸带穿过两个限位孔，下端用带重物的铁夹夹住，让重物靠近打点计时器。 （3）用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，接通电源，松开纸带让重物自由下落，重物落地后立即关闭电源，打点计时器就在纸带上打下一系列的点。 （4）改变重物的质量，重复几次上面的步骤，选取一条点迹清晰的纸带进行分析。 4．数据处理 （1）图像法：用求出打下各点时重物的瞬时速度，作出v-t图像，图像是一条过原点的向上倾斜的直线，斜率表示加速度。 （2）逐差法：利用求加速度，若为偶数段，可直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第3段，由直接求得。 5．实验结论 自由落体运动是初速度为零、加速度恒定（约为9.8m/s2与物体的质量无关）的匀加速直线运动。 四、竖直上抛运动 1．条件：物体只受重力，初速度不为0，且方向竖直向上。 2．运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 3．基本规律 通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g。 （1）基本公式： （2）推论： 4．竖直上抛运动的处理方法 （1）分段法： ①上升过程：a=－g的匀减速直线运动； ②下降过程：自由落体运动。 （2）全程法：将上升和下降过程统一看成是初速度为v0，加速度为－g的匀变速直线运动习惯上取v0的方向为正方向。 ①若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落。 ②若h＞0，物体在抛点上方；若h＜0，物体在抛点下方。 5．竖直上抛运动的对称性 （1）时间的对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为运动过程中的任意两点，C为最高点，则物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相等，同理tBC＝tAC，tAB＝tBA。 （2）速度的对称性：物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反。上升阶段和下降阶段经过同一个位置时（如A点）的速度大小相等、方向相反。此外，解题时需要注意，所取的距离抛出点h的点，可能在抛出点上方，也可能在抛出点下方。 【典例4-1】（多选）如图所示，有两个大小相同，质量分别为和 的A、B两个小球，现将小球A从某高度自由释放，同时将小球B以一定的初速度向上抛出，小球B上升至最高点时离地高度为，且此时恰与小球A发生对心碰撞，m/s2，不计小球体积，则下列说法正确的是（     ） A．小球B从抛出到与小球A发生碰撞所需的时间为2s B．小球B抛出时的初速度为 s C．发生碰撞的瞬间，小球A的速度应为10m/s D．小球A距离地面的初始高度为40m 【典例4-2】（多选）广州塔观景台高度约450m，图为两个小球的运动场景：①从观景台t=0时刻由静止释放小球；②t=4s时从地面以40m/s初速度竖直上抛另一小球。忽略空气阻力，g取10m/s2，下列分析正确的是（     ） A．自由下落的小球第1s内的位移为5m B．竖直上抛的小球从抛出至上升到最高点的时间为8s C．两小球第一次相遇时刻为t=8.625s D．竖直上抛的小球上升的最大高度为80m 【典例4-3】2025年的罨画池，秋风漫过枝头，满树金黄便簌簌落下，恰是“无边落木萧萧下”，铺成一地柔软的灿烂。银杏叶像被时光染透的小扇，层层叠叠、安安静静伏在地面，踩着松软，抬眼便是漫天暖黄。风过时叶声轻响，像是季节在轻声道别，又像是大地温柔地接住了一整个秋天的诗意。其中有一片梧桐叶从高为的枝头自静止落至地面，所用时间可能是（     ） A．0.3s B．0.6s C． D．4s 一、单选题 1．甲、乙两台汽车在水平直道上沿同一直线运动，它们的速度—时间图像如图所示。已知两图线为平行直线，若以甲车为参考系，下列说法正确的是（　　） A．乙车的速度为零 B．乙车做匀加速直线运动 C．乙车做匀速直线运动 D．乙车与甲车之间的距离保持不变 2．某同学身高1.7m，在跳高比赛中采用背越式，身体横着越过高1.65m的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度约为（     ）（g取10） A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 3．研究表明，一般人的刹车反应时间（即图甲中“反应过程”所用时间）t0=0.4s，但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车以v0=72km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L=39m。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示，此过程可视为匀变速直线运动，取重力加速度的大小g=10m/s2，下列说法错误的是（　　） A．饮酒使志愿者的反应时间变为0.7s B．饮酒使志愿者在反应时间内行驶的距离比正常反应时间内（t0=0.4s）多行驶了14m C．减速过程汽车加速度的大小为8m/s2 D．减速过程所用时间为2.5s 4．在2026年第二届世界人形机器人运动会的百米赛跑中，机器人甲和机器人乙展开激烈角逐。如图是某段时间内两机器人的位移-时间图像，图中曲线为抛物线，0时刻曲线与时间轴相切。下列说法正确的是（     ） A．0~2 s内，乙的速度一直在增大 B．0~2 s内，乙的速度总大于甲的速度 C．时，甲的加速度大小为 D．时，甲与乙的速度相等 5．如图所示，A、B两木块并排固定在水平地面上，长度之比为，一颗子弹以速度v0水平射入。若子弹在木块中做匀减速运动且穿过B木块后速度恰好为零，则（     ） A．穿过A、B木块所用时间之比为 B．穿过A、B木块所用时间之比为 C．射入A、B木块时的速度之比为 D．射入A、B木块时的速度之比为 6．如图（a）所示，2023年杭州亚运会田径赛场上，工作人员利用电子狗捡铁饼和标枪，这在世界上尚属首次。电子狗在一次捡铁饼的过程，速度时间图像如图（b）所示，其中2~10s为曲线，其余为直线。下列说法正确的是（     ） A．2~10s时间内，电子狗做匀加速直线运动 B．0~10s时间内，电子狗的平均速度大于 C．16s时，电子狗回到出发点 D．12s时，电子狗开始反向运动 7．木块放在光滑水平面上，子弹以速度射入木块并穿出，木块获得的速度为；若用另一颗质量相同但速度更大的子弹射入该木块（弹孔不重合），子弹穿过后木块获得的速度为，则（     ） A． B． C． D．条件不足，不能确定 二、多选题 8．（多选）A、B两质点做直线运动的位置−时间（x−t）的图像如图所示，已知A的x−t图像为开口向下的抛物线，t=8s时图像处于顶点，B的x−t图像为直线。关于两质点0~10s内的运动，下列说法正确的是（     ） A．0~10s内质点A的速度变化率保持不变 B．在0~10s内质点A的平均速度大于质点B的平均速度 C．t=10s时质点A的速度大小为3m/s D．t=10s时两质点相遇，相遇时质点A的速度小于质点B的速度 9．（多选）如图所示，小球甲从距离地面高度为h1=15m处以速度v0=10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为h2=20m处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球乙落地前，甲相对乙做匀速直线运动 B．两球运动0.5s时，距离地面均为18.75m C．落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度之比为2:1 D．小球乙落地时，甲距地面5m 10．（多选）小张查询资料，了解到西方古代曾用如图所示的沙漏计时，沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置。沙漏是根据从一个容器漏到另一个容器的沙量来计时。若近似认为沙粒随时间均匀漏下且沙粒下落的初速度为0，不计下落时沙粒间的相互影响，不计空气阻力。已知出口下方0～2cm范围内有50颗沙粒。对于还在下落过程中的沙粒，下列说法正确的是（     ） A．出口下方范围内约有100颗沙粒 B．假设空中最多有150粒沙子，则沙粒下落的最大距离为0.18m C．出口下方5cm和10cm处沙粒的速度大小之比为 D．出口下方和范围内的沙粒数之比约为 三、实验题 11．实验小组用如图装置测量小车加速度，探究加速度与力、质量的关系。小车上固定有遮光片，导轨上有光电门A、B，细线跨过轻滑轮，一端与小车相连，另一端挂有钩码，已平衡小车的运动阻力。 (1)实验中利用光电门测速度，下列说法正确的是（     ） A．遮光片宽度越大，测出的瞬时速度越准确 B．小车通过光电门的瞬时速度，用遮光片通过光电门的平均速度近似代替 C．平衡阻力时，需要挂上钩码，轻推小车 D．改变小车质量后，需要重新平衡小车的运动阻力 (2)实验中测出遮光片宽度为，小车经过光电门A挡光时间，经过光电门B挡光时间，A、B间距x。则小车加速度表达式为_________。 (3)若实验中遮光片破损，实际有效挡光宽度小于标注宽度，用标注宽度计算速度，则求得的小车加速度会_________（选填“偏大”“偏小”“不变”）；该误差属于_________（选填“偶然误差”“系统误差”）。 12．测量重力加速度的实验装置如图1所示，重锤自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列点迹。挑出点迹清晰的一条纸带，依次标出计数点0、1、…、6，各计数点与0计数点之间的距离如图2所示，交流电源频率为。 (1)打下计数点2时重锤的速度_________，重力加速度_________（结果保留3位有效数字）。 (2)实验中测出的重力加速度数值比当地的重力加速度值略小，可能的原因是_________。 A．存在阻力的影响 B．先释放纸带，后接通电源 C．交流电的频率略小于 (3)某同学利用手机上的加速度传感器测量重力加速度，建立如图3坐标系（轴竖直向上）。实验时用手水平托着手机，打开加速度传感器，手掌迅速向下运动，让手机脱离手掌而自由下落，然后接住手机。加速度传感器记录的、、方向上的加速度如图4。 读取手机轴上的加速度为，查阅相关资料发现，该地区的重力加速度约为。重复实验，但实验结果并没有明显改善，误差仍旧很大。 ①除空气阻力影响外，误差产生的其他原因可能是_________； ②根据图4中数据，写出重力加速度的表达式_________。 四、计算题 13．甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相同了，则哪一辆车先经过下一个路标？ 14．如图所示为测定气垫导轨上滑块加速度的装置，滑块上安装了宽度为的遮光条，滑块在倾斜导轨上由左端释放后先后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间，通过第二个光电门的时间为，遮光板从通过第一个光电门到开始遮住第二个光电门所用时间为，求滑块运动过程的加速度大小及两光电门之间的距离。 15．一只老鼠从鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距鼠洞中心的距离x成反比，当老鼠到达距鼠洞中心的A点时，速度大小为。求当老鼠到达距鼠洞中心的B点时，其速度大小及老鼠从A点到达B点所用的时间t。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $