河南省信阳市信阳高级中学2026-2027学年高三上学期9月测试（一）数学试题

**基本信息** 聚焦集合、不等式、函数核心内容，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配高三起始阶段知识梳理与能力诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题判断、函数性质|结合周期偶函数求值，考查数学眼光观察函数特征| |多选题|3/18|集合表示、不等式性质|辨析素数概念与基本不等式应用，培养批判性思维| |填空题|3/15|函数解析式、方程根问题|以分段函数零点个数设问，深化数学思维的严谨性| |解答题|5/77|集合命题综合、函数恒成立|设计函数奇偶性与存在性问题，强化数学语言表达与逻辑推理|

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学试题 命题人: 审题人： 范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） 1 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（    ） A．有理数集可表示为 B．所有的素数不都是奇数 C．设a，，，，，则 D．已知，，，则 10．若，满足，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知 ，则函数的解析式为_________. 13．函数的值域为______． 14．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16．（15分）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 17．（15分）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 18．（17分）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 19．（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C A C D C A BCD BC ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．， 13． 14． 15．(1) (2)． 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【详解】（1）由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 16．(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 17．（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 18．(1)； (2); (3). 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为  ，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. $