河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三上期01月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D C B D A C BD AC ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．2016 15．(1) (2)或 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【详解】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 16．(1)； (2)①0.0072；②. 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品，①应用全概率公式求概率即可；②应用贝叶斯公式求所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率，再应用独立重复试验的概率求法求目标概率. 【详解】（1），，所以， 则，故y关于t线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为. （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，，则，． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②，即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为， 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义进行求解 （2）不妨设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再由直线与直线的斜率乘积为-1进行证明． 【详解】（1）不妨记，，由，可知， 由抛物线的定义可得，解得， 故抛物线E的标准方程为. （2）证明：由可知，即 不妨设直线，联立， 可得到， ∴，， ∴， 代入可得 ∴，整理得， 易知，代入可得，故 ∴的斜率，而的斜率， ∴， ∴ 18．(1)证明见详解 (2)①证明见详解，② 【分析】取中点，在直角梯形中，证明，由线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，然后得到线线垂直； （2）①过点作的平行，得到三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系.然后证明球心在轴上，设和的坐标，得到点坐标，通过建立方程，假设平面，证明方程无解即可得到结论； ②写出平面的一个法向量，由线面角的正弦值建立方程，结合①中的方程，即可解得的值，即可求出的长. 【详解】（1）取中点，连接， 在直角梯形中， ， 故四边形为正方形，则， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ，平面，平面， ∴平面，平面， ∴. （2）①过作，∵平面， ∴平面， 由（1）可知，∴以为原点如图建立空间直角坐标系，    由（1）可知在直角中，为的外心， 故过的球的球心在直线上， 设，则，，∴， 设，则，即， 则，当时，方程无解， 故与平面不平行. ②由①可知平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 即，即，又∵且 ∴，即，， 即 19．(1)一个 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导判断函数的单调性，判断极值点个数； （2）当时，判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断； （3）根据零点的定义得，，进而得，结合，得，得证. 【详解】（1）函数定义域为，对函数求导得，          令，整理得方程，解得，          又因为，显然，不在定义域内，      而，在定义域内， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点. （2）当时，.          当，；当，；      若，，          由（1）知，在区间上单调递减，在上单调递增，故，      由函数零点存在定理，在区间上恰有一个零点；在上恰有一个零点，共存在两个零点. （3）由题，可得，，      所以，          由，故，所以， 故，          因为，所以. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（    ） A．0 B．4 C．12 D．24 2．已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（   ） A．6 B．3 C．4 D．5 4．已知今天是星期三，则过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 5．设函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象下方（所有点均不重合），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（   ） A．若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则样本相关系数 B．若样本点都落在由样本数据得到的经验回归直线上，则决定系数 C．样本点均匀地分布在由样本数据得到的经验回归直线的两侧 D．样本点的中心一定在由样本数据得到的经验回归直线上 10．如图，在四面体中，为的中点，则（    ）    A．平面平面 B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到直线的距离为 11．已知正数满足，则（    ） A． B．的最小值为1 C．的最小值为6 D．的最小值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 ． 13．随机变量，若，则 ． 14．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分）某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， (1)求关于的经验回归方程； (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 17．（15分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. (1)求抛物线E的标准方程； (2)记点，为上一点，求证：. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点.    (1)求证：； (2)已知四点均在以为球心的球面上. ①求证：不与平面平行； ②若与平面所成角的正弦值为，求的长. 19．（17分）已知函数，. (1)求的极值点的个数； (2)证明：当时，有且仅有两个零点； (3)当存在两个零点，时，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $