2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系及解法，从函数零点与方程根的关系切入，衔接二次函数图像性质，通过表格对比不同判别式下的图像、根与解集，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合“判一判”辨析概念、例题与跟踪训练，运用数形结合（几何直观）和分类讨论（推理能力），如含参不等式分a=0、a>0、a<0讨论培养逻辑推理，图像分析解集发展几何直观。小结知识清单与核心提示助梳理，学生提升数学思维，教师可高效教学。

　第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程，了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式，经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 基础知识 ax2＋bx＋c＝0 {x {x|x1＜x＜x2} ∅ R ∅ 自主学习通道 【说明】　(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 判一判 (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　 　) (2)若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　 　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　 　) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　 　) × × × √ 例题 类型一　不含参的一元二次不等式的解法　　　　　　　　 解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－8>0. 解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－ x＋6 的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示． 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－8＝0的两根是x1＝－2，x2＝4.函数y＝x2－2x－8的图象开口向上，与x轴有两个交点(－2，0)和(4，0)，如图所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－2或x>4}． 方法总结 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，使不等式的左侧二次项系数为正． (2)计算判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 类型二　含参的一元二次不等式的解法 【例1】　解关于x的不等式ax2－(a＋3)x＋3≤0. [解]　将不等式ax2－(a＋3)x＋3≤0化为(ax－3)(x－1)≤0， 当a＝0时，解得x≥1. 方法总结 在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无实根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. [跟踪训练1]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax. 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 类型三　三个“二次”之间的关系及应用 【例2】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<3}． (1)若a＝－1，求b，c的值； (2)求不等式bx2＋ax－c>0的解集． [解]　(1)因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<3}， (2)由(1)可知b＝－a，c＝－6a， 所以不等式bx2＋ax－c>0等价于不等式＋ax＋6a>0. 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<3}，所以a<0， 所以不等式－ax2＋ax＋6a>0等价于x2－x－6>0，解得x<－2或x>3，即不等式bx2＋ax－c>0的解集是{x|x<－2或x>3}． 方法总结 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的问题时，要注意三者之间的相互联系，并学会在一定条件下相互转换． [跟踪训练2]　(多选)若不等式ax2－bx＋c<0的解集是{x|－2<x<1}，则下列说法正确的是(　 　) A．b<0且c<0 B．a－b＋c<0 C．a＋b＋c<0 D．不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|－1<x<2} ACD 课堂小结 1．知识清单 (1)一元二次不等式的概念． (2)一元二次不等式的解法． (3)三个“二次”之间的关系及应用． 2．核心提示 (1)解含参数的一元二次不等式时要注意找到分类讨论的标准． (2)方法归纳：数形结合法(如类型一)，分类讨论法(如例1)． 当堂检测 1．一元二次不等式2x2－9x＋7<0的解集是(　 　) A．{x|x<2} B．{x|1<x<2} 解析　2x2－9x＋7<0可化为(2x－7)·(x－1)<0，解得1<x<，所以不等式2x2－9x＋7<0的解集为 D D 3．不等式2x－2>x2的解集是 ． 解析　将2x－2>x2移项变形可得x2－2x＋2<0，因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，所以不等式的解集是∅. 4．若关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－1<x<4}，则ab＝ ． 解析　由题意得关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为－1和4，则 ∅ 12 Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 填一填 1．一元二次不等式的概念 一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c＜0(其中a，b，c均为常数，a≠0)． 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 $