1.3公式法同步训练 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习以公式法分解因式为核心，通过四层次递进设计，实现从概念辨析到综合创新的知识巩固，适配新授课基础夯实与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |判断能否用公式法分解因式|完全平方公式、平方差公式结构特征|4道选择题聚焦概念识别，培养抽象能力| |用平方差公式分解因式|平方差公式直接应用与简单变形|含整除问题、三角形三边关系应用题，发展推理意识| |用公式法分解因式|两种公式综合应用及参数问题|设置开放性填空（如“□”填常数），提升运算能力| |综合运用|多步骤分解、整体思想、材料探究|引入姬曼定理等拓展内容，通过阅读材料题培养创新意识|

1.3 公式法 同步训练 2026-2027学年鲁教版新教材数学八年级上册 一、判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列多项式中不能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 二、用平方差公式分解因式 5．对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 6．若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 7．因式分解：____________________． 8．分解因式：____________． 9．因式分解： (1)； (2)． 三、用公式法分解因式 10．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 11．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 12．分解因式：_______． 13．若整式能因式分解，“□”中能填的常数为__________（写一个数即可）． 14．把下列各式因式分解： (1) (2)； 四、综合运用 15．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 16．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 17．分解因式______． 18．因式分解：__________． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 学科网（北京）股份有限公司 《1.3 公式法 同步训练 2026-2027学年鲁教版新教材数学八年级上册》参考答案 1．C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 2．B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 3．C 【详解】解：对于选项A：，可提公因式进行因式分解，不符合题意； 对于选项B：，可利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 对于选项C：，不能因式分解，符合题意； 对于选项D：，可利用完全平方公式进行因式分解，不符合题意． 4．A 【分析】本题考查用完全平方公式分解因式，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征，根据公式结构逐一判断选项即可． 【详解】解：∵完全平方公式的结构为， 对于选项A：，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式，符合题意； 对于选项B：的常数项为负数，无法写成正平方项，不符合完全平方公式结构，不能分解，不符合题意； 对于选项C：只符合平方差公式结构，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解，不符合题意； 对于选项D：中，若符合完全平方公式，常数项应为，不是1，因此不符合结构，不能分解，不符合题意． 5．A 【分析】利用平方差公式对多项式进行因式分解，结合为整数的条件判断可整除的常数因式． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是的倍数， ∴多项式一定能被整除． 6．A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 7． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解： ． 8． 【分析】先提取原式的公因式，再用平方差公式分解，直至不能再分解． 【详解】解：． 9．(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 10．B 【详解】解：∵， ∴． 11．D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，需考虑和、差两种完全平方形式． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 12． 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 13．1（答案不唯一） 【分析】本题考查因式分解，可根据完全平方公式的结构特征，确定符合要求的常数，写出一个满足条件的结果即可． 【详解】解：当填入时，原整式为， 由完全平方公式因式分解可得， 该整式可以因式分解，符合题目要求， 故答案为 （答案不唯一）． 14．(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 15．D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 16．A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 17． 【分析】前三项一个组合，用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可解答； 【详解】 = =(a+2b+1)(a+2b-1) 故答案为：(a+2b+1)(a+2b-1)． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，本题先用完全平方公式，再用平方差公式，注意分解因式一定要彻底． 18． 【分析】先分组，然后根据公式法因式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键． 19．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式因式分解； （2）先提取公因式，再根据平方差公式因式分解； （3）根据平方差公式因式分解； （4）先根据平方差公式因式分解，再合并同类项； （5）运用整体思想，先根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解； （6）先根据完全平方公式展开，再合并同类项，最后根据完全平方公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $