3.1.1 勾股定理的发现 同步作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 防抄袭双卷设计兼顾分层作业与题型练习，主体题目一致保障知识巩固路径，少量差异题实现抄袭防治，适配新授课基础巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点|基础题型对应核心概念，培养运算能力与抽象意识| |综合应用|跨知识点综合|差异题微调数据与选项，发展推理意识与应用能力|

八年级上 3.1.1 勾股定理的发现　同步作业 八年级上 3.1.1 勾股定理的发现　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　网格法（网格中勾股关系判定） 1 题型二　网格法（网格中边长有理/无理判定） 2 题型三　直接应用（面积与高求线段） 3 题型四　直接应用（已知两边求第三边） 4 题型五　含30°角（特殊直角三角形求边） 5 题型六　实数与数轴（勾股构造距离） 6 题型七　直接应用（已知两边分类求第三边） 7 提升练习 · 分层题型目录 题型一　面积法（弦图/阴影面积） 8 题型二　面积法（正方形面积与斜边） 9 题型三　面积法（三正方形阴影） 10 题型四　面积法（嵌套正方形求和） 11 题型五　实数与数轴（勾股构造无理数） 12 题型六　实数与数轴（圆上点表示） 13 题型七　网格法（网格与弧） 14 题型八　等腰三角形与角平分线 15 题型九　勾股推广（螺旋折线） 16 题型十　勾股推广（最短路径） 17 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　动点综合（等腰存在性） 18 题型二　动点综合（直角判定） 19 题型三　证明（中线与勾股综合） 20 基础练习 题型一　网格法（网格中勾股关系判定） 1．如图，正方形网格的每个小方格边长都为1，点A、B、C都在格点上，那么下列结论中不正确的是（　　） A．∠BAC＝90° B．AB＝2 C．＝10 D．点A到直线BC的距离是2 题型二　网格法（网格中边长有理/无理判定） 2．【A】【来源：2026•同步】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长不是有理数的边有（ ___ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 题型三　直接应用（面积与高求线段） 3．【A】【来源：2026•黑山县期末】已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，若AD＝4，CD＝5，则BD的长为（ ___ ） A．1 B．1或11 C．7 D．7或17 题型四　直接应用（已知两边求第三边） 4．【A】【来源：2026•呼兰区校级期中】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为（ ___ ） A．2 B．4 C．8 D．9 题型五　含30°角（特殊直角三角形求边） 5．【A】【来源：2026•呼兰区校级期中】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC的长为（ ___ ） A．4 B．1 C． D． 题型六　实数与数轴（勾股构造距离） 6．【A】【来源：2026•巴南区期末】如图，原点为O，点A在数轴上，且OA＝2，AB＝1，AB⊥OA于点A，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P（P点在A点右侧），则点P表示的数为（ ___ ） A．2 B． C． D．2.3 题型七　直接应用（已知两边分类求第三边） 7．【A】【来源：2026•临河区期末】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长度为 ___ ． 提升练习 题型一　面积法（弦图/阴影面积） 8．【B】【来源：2026•铜梁区校级同步】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ___ ） A．16 B．25 C．144 D．169 题型二　面积法（正方形面积与斜边） 9．如图，以直角三角形ABC的两条直角边为边向外作正方形，两正方形面积依次为36和64，则斜边AB的长为（　　） A．10 B．100 C．6 D．8 题型三　面积法（三正方形阴影） 10．【B】【来源：2025•夏津县期末】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若+﹣＝20，则阴影部分面积为（ ___ ） A．10 B．5 C．20 D．15 题型四　面积法（嵌套正方形求和） 11．【B】【来源：2026•南开区校级期中】如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是15，B的面积是12，C的面积是17，则D的面积为（ ___ ） A．16 B．18 C．20 D．22 题型五　实数与数轴（勾股构造无理数） 12．【B】【来源：2024•惠山区期末】如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ___ ） A． B． C． D． 题型六　实数与数轴（圆上点表示） 13．【B】【来源：2026•凤阳县期末】如图，数轴上点A表示的数为1，B，C，D是4×4的正方形网格上的格点（网格线的交点），以点A为圆心，AD的长为半径画圆，交数轴于M，N两点，则点N表示的数为 ___ ． 题型七　网格法（网格与弧） 14．【B】【来源：2026•平阴县期末】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ___ ） A． B．0.8 C．3 D． 题型八　等腰三角形与角平分线 15．【B】【来源：2026•同步】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，CD是△ABC的角平分线，则AD的长为（ ___ ） A． B． C． D． 题型九　勾股推广（螺旋折线） 16．【B】【来源：2025•淮安期末】图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图）演化而成的．如果图中的＝＝＝…＝＝1，那么的长为（ ___ ） A． B．4 C．3 D．2 题型十　勾股推广（最短路径） 17．【B】【来源：2025•浦东新区期末】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ___ ） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 拓展练习 题型一　动点综合（等腰存在性） 18．【C】【来源：2025•兴隆县期末】如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 题型二　动点综合（直角判定） 19． 【C】【来源：2025•宁明县期末】如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 题型三　证明（中线与勾股综合） 20．【C】【来源：2025•八公山区期末】如图，AM是△ABC的中线，∠C＝90°，MN⊥AB于N，求证：﹣＝ 学科网（北京）股份有限公司 $ 防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上 3.1.1 勾股定理的发现　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 1 题、第 9 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 【异】1． 【甲】 A．＝10 【乙】 C 2．D．3条 3．D．7或17 4．C．8 5．C． 6．B． 7．5或 8．B．25 【异】9． 【甲】 C．10 【乙】 A 10．B．5 11．C．20 12．A． 13． 14．C．3 15．A． 16．D．2 17．A．14.8 18．（1）解：（1）　PQ2（cm）；　 （2）解：BQ＝BP，　即2t＝8﹣t，t；　即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；　 （3）解：分三种情况：　①当CQ＝BQ时，t＝11÷2＝5.5秒．　 ②当CQ＝BC时，　∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 　由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，　△BCQ为等腰三角形． 19．（1）∵CD＝10，DE＝7，　∴CE＝10﹣7＝3，　在Rt△CBE中，BE5；　（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，　则t＝7÷1＝7（秒），　 当∠BEP＝90°时，+＝，即++（7﹣t＝（10﹣t，　t，　 ∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形． 20．﹣＝﹣$CM 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层 【解答】 【甲卷】 题干：【A】【来源：2026•邹平市期末】在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ___ ） 选项：A．＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 A、＝4×43×41×22×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B、∵＝+＝5，＝+＝20，＝+＝25， ∴+＝， ∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意； C、∵＝20， ∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意； D、设点A到直线BC的距离为h， 则25×h， 解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意； 答：A．＝10 【乙卷】 题干：如图，正方形网格的每个小方格边长都为1，点A、B、C都在格点上，那么下列结论中不正确的是（　　） 选项：A．∠BAC＝90° B．AB＝2 C．＝10 D．点A到直线BC的距离是2 由网格法计算：，而选项 A 写 ，错误，符合题意． 故选：C． 第 2 题　基础层 【解答】 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 　　由勾股定理得：AB，是无理数， 　　BC，是无理数， 　　AC，是无理数， 　　则边长为无理数边数有3条， 　　答：D．3条 第 3 题　基础层 【解答】 A．1 B．1或11 C．7 D．7或17 　　如图，∵△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝5， 　　∴， 　　∴BD＝7； 　　如图，∵△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝5， 　　∴， 　　∴BC＝12， 　　∴BD＝BC+CD＝12+5＝17， 　　综上所述，BD的长为7或17， 　　答：D．7或17 第 4 题　基础层 【解答】 A．2 B．4 C．8 D．9 　　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6， 　　∴BC8， 　　答：C．8 第 5 题　基础层 【解答】 A．4 B．1 C． D． 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2， 　　∴AB＝2BC＝4， 　　∴， 　　答：C． 第 6 题　基础层 【解答】 A．2 B． C． D．2.3 　　∵OA＝2，AB＝1，AB⊥OA于点A， 　　∴， 　　∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点P， 　　∴， 　　∴点P表示的实数是． 　　答：B． 第 7 题　基础层 【解答】 　　分为两种情况： 　　①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得： 　　第三边长是； 　　②3和4都是直角边，由勾股定理得： 　　第三边长是5； 　　即第三边长是5或， 第 8 题　提升层 【解答】 A．16 B．25 C．144 D．169 　　根据勾股定理得出：AB， 　　∴EF＝AB＝5， 　　∴阴影部分面积是25， 　　答：B．25 第 9 题　提升层 【解答】 【甲卷】 题干：【B】【来源：2026•宝坻区期中】如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若＝36，＝64，则斜边AB的长是（ ___ ） 选项：A．6 B．8 C．10 D．100 ∵，，由勾股定理得：+＝， ∴＝36+64＝100， ∴AB＝10， 答：C．10 【乙卷】 题干：如图，以直角三角形ABC的两条直角边为边向外作正方形，两正方形面积依次为36和64，则斜边AB的长为（　　） 选项：A．10 B．100 C．6 D．8 由正方形面积得 ，． 由勾股定理 ，故 ． 故选：A． 第 10 题　提升层 【解答】 A．10 B．5 C．20 D．15 　　由勾股定理得：+＝， 　　即+＝， 　　∴2＝20， 　　∴＝10， 　　， 　　∴阴影部分的面积为：5， 　　答：B．5 第 11 题　提升层 【解答】 A．16 B．18 C．20 D．22 　　如图标记图中三个正方形分别为P、Q、M． 　　根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是M的面积． 　　即A、B、C、D的面积之和为M的面积． 　　∵M的面积是＝64（）， 　　∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x， 　　∴15+12+17+x＝64， 　　∴x＝20，即D的面积为20． 　　答：C．20 第 12 题　提升层 【解答】 A． B． C． D． 　　∵BC⊥AB， 　　∴∠ABC＝90°， 　　∴AC， 　　∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， 　　∴AP＝AC， 　　∴点P表示的数是﹣1； 　　答：A． 第 13 题　提升层 【解答】 　　∵OD⊥AM， 　　∴∠AOD＝90°， 　　∴△AOD是直角三角形， 　　∵OA＝1，OD＝3， 　　∴， 　　∴， 　　∴N点所表示的数为：． 第 14 题　提升层 【解答】 A． B．0.8 C．3 D． 　　如图，连接AD，则AD＝AB＝3， 　　由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE， 　　又∵CE＝3， 　　∴CD＝3， 　　答：C．3 第 15 题　提升层 【解答】 A． B． C． D． 　　如图，过点D作DE⊥BC于点E，作DF⊥CA，交CA的延长线于点F． 　　由条件可知DE＝DF． 　　∵AB＝AC，∠BAC＝120°， 　　∴∠ABC＝30°，∠DAF＝60°， 　　∴∠ADF＝30°， 　　∴BD＝2DE＝2DF，AD＝2AF． 　　设AF的长为x，则AD＝2x， 　　由勾股定理得． 　　∴BD＝AB﹣AD＝4﹣2x， 　　∴， 　　解得， 　　∴． 　　答：A． 第 16 题　提升层 【解答】 A． B．4 C．3 D．2 　　∵＝1， 　　∴由勾股定理可得， 　　， 　　…， 　　∴， 　　∴2． 　　答：D．2 第 17 题　提升层 【解答】 A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 　　∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， 　　∴AC10， 　　∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10， 　　根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8， 　　∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8， 　　答：A．14.8 第 18 题　拓展层 【解答】 　　（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， 　　BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， 　　∵∠B＝90°， 　　PQ2（cm）； 　　（2）解：根据题意得：BQ＝BP， 　　即2t＝8﹣t， 　　解得：t； 　　即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； 　　（3）解：分三种情况： 　　①当CQ＝BQ时，如图所示： 　　则∠C＝∠CBQ， 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， 　　∠A+∠C＝90°， 　　∴∠A＝∠ABQ 　　∴BQ＝AQ， 　　∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， 　　∴AC10（cm）， 　　∴CQ＝AQAC＝5（cm）， 　　∴BC+CQ＝11（cm）， 　　∴t＝11÷2＝5.5秒． 　　②当CQ＝BC时，如图所示： 　　则BC+CQ＝12（cm）， 　　∴t＝12÷2＝6秒． 　　③当BC＝BQ时，如图所示： 　　过B点作BE⊥AC于点E， 　　则BE4.8（cm） 　　∴CE3.6cm， 　　∴CQ＝2CE＝7.2cm， 　　∴BC+CQ＝13.2cm， 　　∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 　　由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， 　　△BCQ为等腰三角形． 第 19 题　拓展层 【解答】 　　（1）∵CD＝10，DE＝7， 　　∴CE＝10﹣7＝3， 　　在Rt△CBE中，BE5； 　　（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7， 　　则t＝7÷1＝7（秒）， 　　当∠BEP＝90°时，+＝，即++（7﹣t＝（10﹣t， 　　解得，t， 　　∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形． 第 20 题　拓展层 【解答】 　　证明：∵MN⊥AB， 　　∴在Rt△AMN和Rt△BMN中， 　　＝﹣，＝﹣， 　　∴﹣＝﹣， 　　在Rt△ACM中，﹣＝， 　　∵AM是△ABC的中线， 　　∴CM＝BM， 　　∴﹣＝﹣＝﹣＝． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上 3.1.1 勾股定理的发现　同步作业 八年级上 3.1.1 勾股定理的发现　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　网格法（网格中勾股关系判定） 1 题型二　网格法（网格中边长有理/无理判定） 2 题型三　直接应用（面积与高求线段） 3 题型四　直接应用（已知两边求第三边） 4 题型五　含30°角（特殊直角三角形求边） 5 题型六　实数与数轴（勾股构造距离） 6 题型七　直接应用（已知两边分类求第三边） 7 提升练习 · 分层题型目录 题型一　面积法（弦图/阴影面积） 8 题型二　面积法（正方形面积与斜边） 9 题型三　面积法（三正方形阴影） 10 题型四　面积法（嵌套正方形求和） 11 题型五　实数与数轴（勾股构造无理数） 12 题型六　实数与数轴（圆上点表示） 13 题型七　网格法（网格与弧） 14 题型八　等腰三角形与角平分线 15 题型九　勾股推广（螺旋折线） 16 题型十　勾股推广（最短路径） 17 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　动点综合（等腰存在性） 18 题型二　动点综合（直角判定） 19 题型三　证明（中线与勾股综合） 20 基础练习 题型一　网格法（网格中勾股关系判定） 1．【A】【来源：2026•邹平市期末】在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ___ ） A．＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 题型二　网格法（网格中边长有理/无理判定） 2．【A】【来源：2026•同步】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长不是有理数的边有（ ___ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 题型三　直接应用（面积与高求线段） 3．【A】【来源：2026•黑山县期末】已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，若AD＝4，CD＝5，则BD的长为（ ___ ） A．1 B．1或11 C．7 D．7或17 题型四　直接应用（已知两边求第三边） 4．【A】【来源：2026•呼兰区校级期中】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为（ ___ ） A．2 B．4 C．8 D．9 题型五　含30°角（特殊直角三角形求边） 5．【A】【来源：2026•呼兰区校级期中】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC的长为（ ___ ） A．4 B．1 C． D． 题型六　实数与数轴（勾股构造距离） 6．【A】【来源：2026•巴南区期末】如图，原点为O，点A在数轴上，且OA＝2，AB＝1，AB⊥OA于点A，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P（P点在A点右侧），则点P表示的数为（ ___ ） A．2 B． C． D．2.3 题型七　直接应用（已知两边分类求第三边） 7．【A】【来源：2026•临河区期末】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长度为 ___ ． 提升练习 题型一　面积法（弦图/阴影面积） 8．【B】【来源：2026•铜梁区校级同步】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ___ ） A．16 B．25 C．144 D．169 题型二　面积法（正方形面积与斜边） 9．【B】【来源：2026•宝坻区期中】如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若＝36，＝64，则斜边AB的长是（ ___ ） A．6 B．8 C．10 D．100 题型三　面积法（三正方形阴影） 10．【B】【来源：2025•夏津县期末】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若+﹣＝20，则阴影部分面积为（ ___ ） A．10 B．5 C．20 D．15 题型四　面积法（嵌套正方形求和） 11．【B】【来源：2026•南开区校级期中】如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是15，B的面积是12，C的面积是17，则D的面积为（ ___ ） A．16 B．18 C．20 D．22 题型五　实数与数轴（勾股构造无理数） 12．【B】【来源：2024•惠山区期末】如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ___ ） A． B． C． D． 题型六　实数与数轴（圆上点表示） 13．【B】【来源：2026•凤阳县期末】如图，数轴上点A表示的数为1，B，C，D是4×4的正方形网格上的格点（网格线的交点），以点A为圆心，AD的长为半径画圆，交数轴于M，N两点，则点N表示的数为 ___ ． 题型七　网格法（网格与弧） 14．【B】【来源：2026•平阴县期末】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ___ ） A． B．0.8 C．3 D． 题型八　等腰三角形与角平分线 15．【B】【来源：2026•同步】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，CD是△ABC的角平分线，则AD的长为（ ___ ） A． B． C． D． 题型九　勾股推广（螺旋折线） 16．【B】【来源：2025•淮安期末】图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图）演化而成的．如果图中的＝＝＝…＝＝1，那么的长为（ ___ ） A． B．4 C．3 D．2 题型十　勾股推广（最短路径） 17．【B】【来源：2025•浦东新区期末】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ___ ） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 拓展练习 题型一　动点综合（等腰存在性） 18．【C】【来源：2025•兴隆县期末】如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 题型二　动点综合（直角判定） 19． 【C】【来源：2025•宁明县期末】如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 题型三　证明（中线与勾股综合） 20．【C】【来源：2025•八公山区期末】如图，AM是△ABC的中线，∠C＝90°，MN⊥AB于N，求证：﹣＝ 学科网（北京）股份有限公司 $