4.2.2　第2课时　指数函数的图象和性质(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的定义域、值域、单调性及奇偶性，通过复习指数函数基本性质导入，衔接上一课时基础，构建从简单到复合函数的学习支架，逐步深入性质应用。 其亮点在于通过“典例解析+解题有招+即学即练”模式，结合逻辑推理（如复合函数单调性“同增异减”判断）和数学运算（如换元法求值域），强化知识应用。采用类型化总结（如指数型函数定义域值域求法），帮助学生构建知识体系，提升解题能力，教师可直接用于课堂教学，提高教学效果。

第2课时　指数函数的图象和性质(二) 【学习目标】 1.掌握指数函数的性质,能利用指数函数的单调性求简单函数的值域.(逻辑推理) 2.能运用指数函数的图象与性质解决一些实际问题.(数学建模) 3.会判断指数型函数的单调性与奇偶性.(逻辑推理) 类型1 指数型函数的定义域、值域问题(数学运算) 【典例1】(1)函数y=的定义域是(　　) A.[-2,+∞) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-2] 【解析】选C.由题意得()2x-1-27≥0,所以()2x-1≥27,即()2x-1≥()-3. 又指数函数y=()x在R上单调递减,所以2x-1≤-3,解得x≤-1. √ (2)(2026·成都高一检测)已知函数f(x)=的定义域是A,则函数g(x)=4x-2x+2(x∈A)的最大值是(　　) A.-4　 B.-3　 C.0　 D.8 √ 【解析】选C.由函数f(x)=有意义,得-x2+2x≥0,即x2-2x=x(x-2)≤0,解得0≤x≤2,即函数f(x)的定义域为[0,2],即A=[0,2],由函数g(x)=4x-2x+2=-4·2x,x∈A,令t=2x,x∈[0,2],可得t∈[1,4]且h(t)=t2-4t,t∈[1,4], 因为函数h(t)的图象开口方向向上,且对称轴为t=2,所以h(t)在区间[1,2]上单调递减,在区间[2,4]上单调递增,又h(1)=-3,h(4)=0,所以函数h(t)的最大值为0,即函数g(x)的最大值为0. 【解题有招】 函数y=af(x)的定义域与值域的求法 (1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同; (2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域. 【即学即练】 1.函数f(x)=的定义域为　　　　　.  【解析】由5x-1≥0,得x≥,所以所求函数的定义域为[,+∞). 答案:[,+∞) 2.函数f(x)=(的值域为　　　　　.  【解析】因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以y=()u,u∈[-1,+∞), 所以0<()u≤()-1=3,所以函数f(x)的值域为(0,3]. 答案:(0,3] 类型2 指数型复合函数单调性问题(重点讲解) 【典例2】(1)(2026·长春高一检测)函数y=的单调递增区间 是(　　) A.(-∞,1]　 B.[2,+∞) C.[3,+∞)　 D.(-∞,2] 【解析】选A.令x2-4x+3≥0,解得x≥3或x≤1, 可知函数y=的定义域为(-∞,1]∪[3,+∞), √ 因为u=x2-4x+3的图象开口方向向上,对称轴为x=2, 可知u=x2-4x+3在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增, 且t=在定义域内单调递增, 可知t=在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增, 又因为y=在定义域内单调递减, 可得y=在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[3,+∞)上单调递减, 所以函数y=的单调递增区间是(-∞,1]. (2)设函数f(x)=3x(x-a)在区间(-1,1)上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2]　 B.[-2,0) C.(0,2]　 D.[2,+∞) 【解析】选D.函数y=3x在R上单调递增, 而函数f(x)=3x(x-a)在区间(-1,1)上单调递减, 则有函数y=x(x-a)=-在区间(-1,1)上单调递减, 因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞). √ 【解题有招】 指数型复合函数y=au(x)(a>0,且a≠1)的单调性 (1)复合规律: a>1 u(x)单调递增 y单调递增 u(x)单调递减 y单调递减 0<a<1 u(x)单调递增 y单调递减 u(x)单调递减 y单调递增 (2)记忆口诀: 对于复合函数y=au(x)分为外层f(x)=au,内层y=u(x),当内外层单调性相同时,复合函数为增函数;当内外层单调性相反时,复合函数为减函数,简记作“同增异减”. 【即学即练】 1.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　　　.  【解析】设t=2x2-x,x∈R,为图象的开口方向向上,对称轴为x=的抛物线, 所以t在区间(-∞,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增, 又因为y=在R上单调递减, 所以函数f(x)=的单调递增区间为(-∞,). 答案:(-∞,) 2.(2026·南阳高一检测)已知函数f(x)=在区间(-∞,5)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.  【解析】令t=-x2+2ax-8=-(x-a)2+a2-8,在区间(-∞,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减,又y=2t在定义域内单调递增,所以f(x)在区间(-∞,a)上单调递增, 因为函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递增,所以(-∞,5)⊆(-∞,a),即a≥5, 故实数a的取值范围是[5,+∞). 答案:[5,+∞) 类型3 指数函数性质的综合应用(逻辑推理) 【典例3】(2026·重庆高一检测)设函数f(x)=2x+k·2-x (1)若f(x)为奇函数,求不等式f(x)>0的解集; (2)若f(x)为偶函数,证明:f(x)在区间[0,+∞)上单调递增; (3)在(2)的条件下,设函数g(x)=f(2x)+mf(x),m>-8,若g(x)在区间[0,2]的最小值为-6,求实数m的值. 【解析】(1)由f(x)=2x+k·2-x为奇函数,可得2-x+k·2x=-(2x+k·2-x), 整理得(k+1)(2x+2-x)=0. 因为x∈R,2x+2-x>0,所以k+1=0,即k=-1,函数f(x)=2x-2-x. 由f(x)=2x-2-x>0,可得2x>2-x,则x>-x,解得x>0,即不等式f(x)>0的解集为(0,+∞). (2)由f(x)=2x+k·2-x为偶函数,可得2-x+k·2x=2x+k·2-x,整理得(k-1)(2x-2-x)=0, 因为x∈R,2x-2-x不恒为0,则k-1=0,即k=1,函数f(x)=2x+2-x, 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 由f(x1)-f(x2)=(+)-(+) =-+=(-)(1-) =. 因为0≤x1<x2,则1≤<,·>1,·-1>0, 则f(x1)-f(x2)<0,故f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. (3)由(2)得f(x)=2x+2-x,该函数在区间[0,2]上单调递增, 设t=2x+2-x,则t∈[2,], 因为f(2x)=22x+2-2x=-2=t2-2, 所以由g(x)=f(2x)+mf(x), 可得g(x)=h(t)=t2-2+mt=(t+)2--2. 其对称轴为直线t=-, 因为m>-8,所以-<4, 当-≤2时,即m≥-4时,由h(t)min=h(2)=2+2m=-6, 解得m=-4,符合题意; 当2<-<4时,即-8<m<-4时, 由h(t)min=h(-)=--2=-6, 解得m=±4(舍去), 综上可得,实数m的值为-4. 【解题有招】 指数型函数奇偶性和单调性的判断方法 (1)奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断,注意定义域优先原则,判断过程中,可以利用运算性质进行必要的指数幂的运算. (2)单调性按照函数单调性定义进行判断,先确定单调区间,作差变形后再用函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性进行符号的判断. 【即学即练】 已知函数f(x)=(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)f(x)=×2x+, 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以+2x=-(×2x+), 所以(+1)(2x+)=0, 即+1=0,解得a=-1. (2)因为f(x)=-2x,x∈[1,2],所以-≥m(-2x),所以m≥+2x,x∈[1,2], 令t=2x,t∈[2,4], 由于y=t+在[2,4]上单调递增, 所以m≥4+, 所以实数m的取值范围为{m|m≥}. $