第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（提高篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元提高篇综合测试卷，适配单元复习，通过8省多地期末真题及专题练习，全面覆盖空间向量运算、立体几何位置关系等核心知识，可精准衡量学生空间观念、推理能力及模型观念发展水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量坐标运算、基底判定|如第6题结合基底概念考查空间向量基本定理，体现数学思维的逻辑性| |多选|3/18|异面直线成角、外接球体积|如第11题八面体问题综合空间角与几何体体积，培养几何直观| |填空|3/15|共面定理、距离最值|第14题动点距离问题渗透数学眼光的抽象能力| |解答|5/77|折叠问题、面面垂直证明|第19题折叠问题综合空间角与存在性探究，强化数学语言表达与创新意识|

第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知空间向量，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由空间向量共线的条件知，存在实数，使得，结合空间向量的坐标运算可得答案 【解答过程】依题意，设，则， 即，解得，， 所以 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【解答过程】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 3．（5分）（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【解答过程】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出，即可得. 【解答过程】由题意， ， 所以，即. 故选：B. 5．（5分）（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【解答过程】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 6．（5分）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 7．（5分）（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【解答过程】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 故选：B. 8．（5分）（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后再用向量法计算二面角的余弦值. 【解答过程】    因为底面是矩形，所以， 因为二面角为直二面角， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点作平面ABCD的垂线为轴，建立如上所示空间直角坐标系； 设，则； 其中，，，，， ，； 设平面的法向量为， 则， 令，则，； 显然，平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解题思路】根据向量的加法法则，计算即可判断A的正误；根据两向量平行的坐标关系，可判断B的正误；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C的正误；根据夹角为锐角，可得，且与不共线，根据数量积公式，分析计算，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解题思路】以为一组基底，对于A：根据空间向量的线性运算求解即可；对于B：根据，利用数量积的运算即可求解；对于C：先求，利用向量的夹角公式即可判断；对于D：先求，再利用数量积的运算求得即可判断. 【解答过程】由题意可知：，，， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以长为，故B正确； 对于选项C：因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于选项D：因为， 且， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线与所成的角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球的体积是 D．此八面体的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解题思路】连接交于O，以O点为原点建立空间直角坐标系，对于AB，采用空间向量法计算即可；对于C，易知外接球的球心为O，利用球的半径计算即可；对于D，利用体积法计算内切球半径，再结合球体的表面积计算公式即可计算． 【解答过程】连接交于O，连接，由正方形得， 八面体各面是正三角形，根据对称性可知三点共线且平面， 以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 对于A，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，， 设面的一个法向量为，则，也即， 取，则， 设面BEC的一个法向量为，则，也即， 取，则， 所以，又面与面所成的角为钝角， 故二面角的平面角的余弦值为，故B错误； 对于C，由，且由对称性易知外接球球心为O， 则外接球半径为，外接球体积为，故C正确； 对于D，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又因为八面体体积为， 解得，所以内切球表面积为，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则__________． 【答案】 【解题思路】先由空间两向量平行坐标表示得出，再利用模的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为向量，， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【解题思路】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【解答过程】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1. 14．（5分）（25-26高二上·四川南充·期末）如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________．    【答案】 【解题思路】利用建立空间直角坐标系，向量法求解出最小时，的坐标，进而利用点到平面的距离公式求解得出. 【解答过程】建立以B为原点的空间直角坐标系，以BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直于平面ABCD的直线为z轴，    由正方形边长，得 设，则， 当时，取得最小值，此时,， 设平面的一个法向量为,，则， 令，则，故， 点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【解答过程】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 16．（15分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【解答过程】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 17．（15分）（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【解答过程】证明：（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 18．（17分）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【解题思路】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据点到面的向量法建立方程求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面的一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 19．（17分）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在， 【解题思路】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【解答过程】（1）证明：为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又 平面，平面平面. （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知空间向量，若 ，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 4．（5分）（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 10．（6分）（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 11．（6分）（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线与所成的角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球的体积是 D．此八面体的内切球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则__________． 13．（5分）（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 14．（5分）（25-26高二上·四川南充·期末）如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 16．（15分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 17．（15分）（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 18．（17分）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 19．（17分）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $