专题03 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心模型，系统提炼一线三等角（同侧/异侧）与倍长中线（中线/中点型）构造方法，通过分类证法与梯度例题构建完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一线三等角模型|3+综合题|分类证法（锐角/直角/钝角），构造AAS全等得线段关系|模型条件→结论推导→变式应用| |倍长中线模型|3+综合题|倍长中线/类中线构造SAS全等，转移线段与角|中点/中线特征→全等构造→综合迁移|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1全等三角形之一线三等角模型（难） 题型2全等三角形之倍长中线模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1全等三角形之一线三等角模型 1. 【答案】(1) △ABD≌△CAF理由： :BD⊥AE,CF⊥AE, ∴.∠ADB=∠CFA=90° .∠BAD+∠ABD=90° ∠MAN=90, ∠BAD+∠CAF=90° .∠ABD=∠CAF 在△ABD与△CAF中， ∠ADB=∠CFA ∠ABD=∠CAF, AB=AC ∴△ABD≌aCAF(AAS), (2) △ABE≌△CAF理由： 在△ABE中，∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，∠I+∠AEB=180°， ∠I1=∠BAE+∠ABE. :∠BAC=∠BAE+∠FAC,∠I=∠BAC, 1/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠ABE=∠FAC 同理可得∠BAE=∠ACF. 在△ABE与△CAF中， I∠ABE=∠FAC ∠BAE=∠ACF, AB=AC .△ABE≌ACAF(ASA)」 2. 【答案】(1)证明：，AD⊥I,BE⊥1， ∴，∠ADC=∠BEC=90°， 又∠ACB=90°」 .∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE, ∠ACD=∠CBE 交 和 中， ∠ADC=∠BEC=90° △ADC ACEB CA=CB .△ADC≌△CEB(AAS) (2)①△AEC≌△CFB: 理由：：AE⊥CD,BF⊥CD, ∴.∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90° .∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, ∠ACE=∠CBF 在 和 中， ∠AEC=∠BFC=90 △AEC△CFB CA=CB .△AEC≌△CFB(AAS) ②·AE⊥CD,BF⊥CD, .∠E=∠BFC=90°. 又∠ACB=90° .∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 2122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I∠ACE=∠CBF 在 和 中， ∠AEC=∠BFC=90°， △AEC △CFB CA=CB .△AEC≌aCFB(AAS), .CE=BF =1,AE=CF=3. .EF=CF+CE=3+1=4. 3. 【答案】()，BD⊥l,CE⊥1， ,∠ADB=∠CEA=90°， .∠DBA+∠DAB=90°， 又，∠BAC=90°， .∠DAB+∠CAE=90°， ∴.∠DBA=∠CAE 在△ABD和△CAE中， [∠ADB=∠CEA ∠ABD=∠CAE, AB=AC .△ABD≌△CAE(AAS). (2)DE=BD+CE.理由如下： :∠CEA=∠ADB=∠BAC,且∠DBA+∠ADB+∠BAD=180°，∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°， ∴∠DBA=∠CAE 在△ABD和△CAE中， ∠ADB=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=AC .△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD+AE=CE+BD, 即DE=BD+CE (3)S=S,理由如下： 3122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点D作DM⊥GH延长线于M,过点E作EN⊥GH于N,则∠M=∠ANE=9O° M D Nh_ E A ,AG是BC边上的高， ∴.∠AGB=90° .∠BAG+∠ABG=90°， ,∠BAD=90° .∠DAM+∠BAG=90°， ∴.∠DAM=∠ABG 在△ADM和△BAG中， ∠M=∠BGA ∠DAM=∠ABG AD=AB ∴.△ADM≌△BAG(AAS), .'DM=AG 同理可证： △AEN≌△CAG(AAS), 得EN=AG .DM EN “D附的面积8-宁4D,AB的蛋积5-宁4W, .S=S2. ◆题型2全等三角形之倍长中线模型 【答案】(I)解：，AD是BC边上的中线， .CD=BD 在△ADC和△EDB中， 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=BD ∠CDA=∠BDE AD=DE .△ADC≌aEDB(SAS) (2)解：：AB-BE<AE<AB+BE,即I0-6<AE<10+6, 4<AE<16, 1 :1D=2AE, 2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： F D M 图2 AE=EF,EF=6. .AC=AE+EC=6+4=10. ,AD是△ABC的中线， .CD=BD :在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM ∴.△ADC≌aMDB(SAS) .BM=AC,∠CAD=∠M, AE=EF, .∠CAD=∠AFE, .∠AFE=∠BFD, .∠BFD=LCAD=∠M, .BF BM=AC, 即BF=10. 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】() 解：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, B D 是 的中线， E 图1 AD△ABC ∴.CD=BD, :∠ADC=∠EDB,DE=AD, .△ADC2△EDB(SAS), .BE=AC=5, AB-BE<AE <AB+BE,AB=8, .8-5<AE<8+5, .3<AE<13, DE =AD, .AE=2AD, ∴.3<2AD<13, <AD<13 解得：2 1 即AD的取位范国为：多D 2； (2) 证明：如图2，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, 6122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 的中点， B 图2 .D BC .CD=BD, ∠ADC=∠GDB,DG=AD, ,∴.△ADC≌AGDB(SAS), ∴∠C=∠GBD,AC=BG, ∴AC∥BG, ∴.∠ABG+∠BAC=180°， ..AC=AF, .BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180°」 ∴.∠ABG=∠EAF, 在△EAF和△ABG中， EA=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG .∴△EAF≌△ABG(SAS), .AG=EF, .EF =2AD; (3)解：如图3，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH, 7/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D E 是 的中点， B 图3 G .F BC ∴.CF=BF, ,∠EFB=∠CFG,EF=FG, ∴.ABEF≌△CGF(SAS), .BE=CG,∠G=∠BEF ∴CGBE, ∴.∠BEH=∠GCE, .·∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180° .∠BAH=∠BAD, 在△BAH和△BAD中， AB=AB ∠BAH=∠BAD AH=AD ∴.△BAH≌△BAD(SAS), .BH=BD,∠H=∠ADB, .·∠ADB=∠CEF .∠H=∠CEF, 又：∠BAH=∠BAD,BE=CG ∴.△HBE≌△EGC(AAS), .EG=BH=BD=2EF=2×6=12, 即BD=12」 6. 【答案】(I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E 在△DFE和△CGE中， DE =CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴.△DFE≌aCGE(SAS)」 .DF=CG,∠DFE=∠G, .DF=AC, ..CG=AC, .∠CAG=∠G, DF∥AB, ∠BAE=∠DFE, ∴.∠BAE=∠CAG, .AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, B D 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴△ACE≌△GDE(SAS). ∴AC=DG,∠CAE=∠G, .DF=AC. 9/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DG=DF, ∠DFG=∠G, DF∥AB, ∴.∠DFG=∠BAE, .∠BAE=∠CAE. ∴AE平分∠BAC: (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, E 是 边上的中线， D G .AD BC ∴BD=CD, 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴△ACD≌△GBD(SAS). ∴.BG=AC,∠ACD=∠GBD, ∴.BG∥AC、 .∠ABG+∠BAC=180°， .AC=AF, ∴.BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=180°-∠BAC, ∴.∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AB ∠EAF=∠ABG. AF=BG ∴△AEF≌△BAG(SAS) .∠AEF=∠BAG 设AD与EF交于点H, .∠BAE=90° .∠BAG+∠EAH=90°， 又：∠AEF=∠BAG, .∠AEF+∠EAH=90°， ∠AHE=90°， 即AD⊥EF, (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 由(2)可知△ACD≌AGBD. S.ACD =S.GBD; S.ABC=S4D+SACD:S48G=SA+SGBD: .S△MBc=S△MBG, 由(2)可知△AEF≌△BAG, .S.AEF =S.ABG, .SAEr=S。ABc. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.A 2.C 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.C 二、填空题 4.1<AD<7 5.6 6.①④⑤ 三、解答题 7. 【答案】 (1)证明：，∠BAD=90° .∠BAC+∠DAE=90°. BC⊥AC,DE⊥AC, .∠ACB=∠DEA=90°， ∴.∠BAC+∠ABC=90°， .∠ABC=∠DAE, 在△ABC和△DAE中， [∠ABC=DAE ∠ACB=∠DEA, BA=AD .△ABC≌△DAE(AAS), .BC=AE (2)解：由(I)中模型可知，△AEP2aBAG,△CBG≌△DCH, .AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CH=BG=3. 则S4+6列x(6+64+)-3x6-×3x6-X3x4-×3x4=50, 2 2 (3)解：过点D作DP1AG于P,过点E作E0⊥AG交AG的延长线于Q, 由(I)中模型可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA :.DP=AF,EQ=AF,BF=AP,FC=AQ, .'DP=EO=AF=12 .DP⊥AG,EQ⊥AG 12/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 .∠DPG=LEQG=90°， .'∠DGP=∠EGg ∴.aDPG≌aEQG(AAS). ∴.DG=GE,PG=G0, .BF=AP,FC=AO ..BC=BF+FC=AP+AO .BC=21 .AP+A0=21 .AP+AP+PG+GO=21. .AP+AP+PG+PG=21. .AP+PG=10.5, .AG=10.5, 5w4c0p-105x12=-6. 8. 【答案】(I)证明：：AD是BC边上的中线， ∴BD=CD, 在△ACD和△MBD中， CD=BD ∠ADC=∠BDM AD=MD :∴.△ACD≌AMBD(SAS)」 ∴AC=BM、∠C=∠DBM, .AC∥BM: (2)解：延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,如图： 13/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M 图2 由(1)知△ACD≌△MBD, .AC=BM=8. 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM、AB=12, ∴.12-8<AM<12+8,即4<2AD<20, 即2<AD<10 .BC边上的中线AD的取值范围为2<AD<I0: (3)解：EF=2AD且EF⊥AD, 如图，延长AD到点M,使DM=AD,连接BM, B D M 图3 由(1)得△ACD≌△MBD. ∴AC=BM、∠C=∠DBM, .∠ABM=∠ABC+∠DBM=∠ABC+∠ACB=I80°-∠BAC, :AE⊥AB,AF⊥AC, .∠BAE=∠CAF=90°， ∴.∠EAF=180°-∠BAC, .∠ABM=∠EAF, AF=AC, .BM=AF, AB=AE, 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABM≌△EAF(SAS). AM=EF、∠BAM=∠E, AM=2AD, ∴.EF=2AD, '∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE, ∠APE=∠BAE=90°， .EF⊥AD 9. 【答案】(1)证明：：BD⊥直线l,CE⊥直线1， ∴，∠BDA=∠AEC=90°， .∠DAB+∠DBA=90° ,∠BAC=90°， ∴.∠DAB+∠EAC=90° ∴.∠DBA=∠EAC. 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC △ABD≌aCAE(AAS): (2)证明：，∠EAB是△ABD的外角， .∠EAB=LADB+∠DBA」 .∠EAC+LBAC=∠ADB+∠DBA, :∠ADB=∠BAC, ∴.∠EAC=∠DBA. 在△EAC和△DBA中， [∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB AC=AB .△EAC≌aDBA(AAS). ∴.CE=AD,EA=BD .'ED=EA+AD=BD+CE 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)S,S2大小关系是：S=S, 理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： D B GC .AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90° .∠ABG+∠BAG=90° .∠BAD=90°， ∴，∠BAG+∠DAM=90° .∠ABG=∠DAM 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM AB=AD .△ABG≌aDAM(AAS) .'AG=DM, 同理可证明：△AGC≌△ENA. ..AG=EN .DM=EN DM.E S=S2. 10. 【答案】(I)解：：AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD ∴.△ADC≌△EIDB(SAS) ∴.BE=AC=3, AB-BE<AE<AB+BE 16/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .5-3<AE<5+3 即：2<AE<8 0-方证 .1<AD<4 故答案为：1<AD<4: (2)证明：延长OE到H,使得HE=OE,连接CH, ,E是AC的中点， .EC=EA, .∠CEH=∠AEO ∴，ACEH≌△AEO(SAS), ∴∠HCA=∠CAH,CH=AO ∴，∠HCA+∠ACO=∠CAO+∠ACO,即∠CAO+∠ACO=∠HCO, .∠AOB+∠COD=180°. .∠AOC+∠BOD=180°， :∠AOC+∠CAO+∠AC0=180°， ∴.∠BOD=∠HCO ..OA=OB,OC=OD .CH=OB, .△HCO≌aBOD(SAS), .OH=BD. .OE-BD: C D H.--- (3)解：由(2)可得：BD=H0=2OE=10, ∠H=∠B,S.cHE=SABo,SHco=S.B, S.A0C=S.AOE+S.COE=S.CO=S.B0D, .∠AOB=90°」 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOE+∠BOF=90°， .∠AOE=∠H ∴∠B+∠BOF=90°，即：OF⊥BD, S.nop =-BDXOF=x10x2=10 2 .S4oc=10 3-7 B 11. 【答案】(I)解：DE、BD、CE的数量关系为：DE=BD+CE,理由如下： 如图1所示： B 3 D A 图① BD⊥l,CE⊥1， .∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠1+∠2=90°. 在△ABC中，∠BAC=90°， .∠1+∠3=90°， .∠2=∠3， ..AB=AC, .△ABD≌aCAE(AAS), BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE: 故答案为：DE=BD+CE: (2)解：(1)中的结论成立，证明如下： 如图2所示：· 18/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E 图② .∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,AB=AC, .∠1+∠3=180°-∠BAC=180°-a, 在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠BDA=180°-C, .∠2=∠3 ,∠BDA=∠AEC=C,AB=AC, .△ABD≌aCAE(AAS), .BD=AE,AD=CE .DE=AE+AD=BD+CE (3)解：证明：过点E作EW∥AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： M H 图③ ,△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，且∠BAE=∠CAG=90°， .AB=AE,AC=AG, ,AH⊥BC, ∴∠ABC+∠HAB=90°， .∠BAE=90°， ∴.∠HAB+∠EAN=90°， .∠ABC=∠EAN .∠BAE=∠CAG=90°， .∠BAC+∠EAG=180°， :EN∥AG, 19122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEN+∠EAG=180°， .∠BAC=∠AEN, .△ABC≌aEAN(ASA). .AC=EN, .AC=AG .EN=AG, .EN∥AG, .∠N=∠MAG,∠MEN=∠MGA .△EMN≌aGMA(ASA). .'EM=GM, ∴点M是EG的中点. 12. 【答案】(I)解：①延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,如图， B D E ,AD是中线， :.BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴.△ADC≌AEDB(SAS)」 ∴△ADC≌△EDB的依据是SASB; ②'△ADC≌aEDB, .AC=BE=6. AB=8, .8-6<AE<8+6, 20/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2<2AD<14, .1<AD<7: (2)证明：延长DE至点F,使FE=ED,连接BF,如图， D E .E是BC的中点， :.BE=CE, 在△EDC和△EFB中， 「DE=FE ∠DEC=∠FEB CE=BE ∴AEDC≌△EFB(SAS), .DC=FB,∠D=∠F, ∠BAE=∠CDE, .∠F=∠BAE, .BA=BF, ..AB=CD; (3)证明：延长BP交AD于点H,过点P作EF⊥m于点E,EF⊥N于点F,如图， m B Eh-- D H D 则EF=4, 21/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .mlln, .∠EDP=∠FCP, 在aCPF和△DPE中， [∠CPF=DPE CP=DP ∠FCP=∠EDP ACPF≌ADPE(ASA), FP=EP=EF=2】 在△BPF和△HPE中， 「∠BFP=∠HEP=90° PE=PE ∠BPF=∠HIPE ·.ABPF≌AHPE(ASA), :BP=HP, :AP⊥BP, ∴AP为BH的垂直平分线， .AB=AH, S.m=AH-PE-APPH, 2 ∴.AHPE=APPH, ∴.AB×2=PAPB, .PAPB=2AB」 22122可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1全等三角形之一线三等角模型（难） 题型2全等三角形之倍长中线模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1全等三角形之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角(“K型图”) 钝角一线三等角 人 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE: 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角(K型图)棋型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 B 条件：∠DCF=∠ABC=∠AED,AE=DE:结论：△ABE兰△ECD,AB-CD=BC。 1)(同侧型)证明：，'∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠AED,.∠AEC=∠AED+∠BAE, 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AEC=∠AED叶∠CED,.∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE=∠CED,AE=ED;∴，△ABE=△ECD, AB=EC,BE=CD,BC=BE+EC,:.AB+CD=BC. 2)(异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,.∠BCD-∠ABE, :∠ABC=∠AEB+∠A,∠AED=∠AEB+∠CED,∠ABC=∠AED, ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,∴.∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECDF∠ABE,AE=ED:.△ABE=△ECD, .'AB=EC,BE =CD,BC=EC-BE,..AB-CD=BC 1.(25-26七年级下广东深圳期末)在不同情境下探究三角形的关系。 M M B D (a) (b) (I)如图(a),∠MAN=9O°，射线AE在这个角的内部，点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，且 AB=AC,CF⊥AE,垂足为F,BD⊥AE,垂足为D,△ABD与△CAF全等吗？请说明理由； (2)如图(b),点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD上.已知 AB=AC,且∠I=∠2=∠BAC,△ABE与△CAF全等吗？请说明理由， 2.(25-26七年级下辽宁沈阳·期末)根据图形解决以下问题 图1 E 图2 图3 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点D,过 点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (②)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD的 垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 3.(2425七年级下广东揭阳阶段检测)综合实践： 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足 分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: 【变式探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由： 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一边向 外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长GA交 DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由 ◆题型2全等三角形之倍长中线模型 【常见模型及证法】 1)倍长中线模型（中线型） B D D E 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线 结论：AABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴BD=CD,,·∠BDA=∠CDE,.△ABD≌△ECD(SAS) 2)倍长类中线模型（中点型) 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 倍长类中线 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，BD=DC,,'∠BDE=∠CDF,∴.△EDB≌△FDC(SAS) 4.(25-26七年级下山东枣庄期末)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=I0,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： B 图① 图② (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中， 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF,若EF=6,EC=4,求线段 BF的长. 5.(25-26七年级下·广东深圳期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. 图1 图2 图3 ()【问题背景】如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下 来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围.请按照上述 思路，写出求解AD的取值范围的完整过程； (②)【变式思考】如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF, AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD: (3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线4C,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是 BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 6.(25-26七年级下江西吉安·期末)阅读以下材料，完成以下两个问题. 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC, 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 E G B D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明。 (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF: (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由， 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2026江苏无锡一模)已知△ABC中，AB=6,AC=7,则中线AD的长可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2026重庆模拟预测)如图，AC=CE,∠ACE=90,AB⊥BD,ED⊥BD,AB=9cm,DE=3Cm, 则BD等于() D A.6cm B.9cm C.12cm D.15cm 3.(25-26七年级下重庆奉节·期末)如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接 BE,CE.BD平分∠ABE,CEI‖AB.若CE=3,BE=8,则AB的长为() B E A.8 B.10 C.11 D.12 二、填空题 4.(25-26七年级下辽宁辽阳期末)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中， AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 B 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级下山西运城期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点F,EF=2BF, ED⊥BC交BC的延长线于点D,AB=BD.若BF=2Cm,则AC= cm E B C D 6.(25-26八年级上北京·期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接 CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE,CD,点H是CD的中点，延长HA交BE于点K,下 列结论：①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB;④BE=2AH;⑤HK⊥BE; 其中正确的是 (填序号) 夕 E 三、解答题 7.(25-26八年级上山东日照·阶段检测)(1)如图1，C、A、E在一条直线上， ∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥CA于点C,DE⊥AE于点E.求证：BC=AE, (2)如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点F,DE与AF 交于点G,若BC=2L,AF=12,求△ADG的面积. B B 6 A 图1 图2 图3 8.(25-26八年级上·安徽淮南阶段检测)为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时， 7/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小丽在组内做了如下尝试：如图I,在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点M,使DM=AD 连接BM 【探究发现】 (I)如图1，求证：AC=BM且AC∥BM: 【初步应用】 (2)如图2，在△ABC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围： 【探究提升】 (3)如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,连 接EF,延长DA交EF于点P,直接写出线段EF与AD的数量关系和位置关系，无需证明. B D D 图1 图2 图3 9.(25-26八年级上内蒙古通辽·期中)【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂 足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: H A 【变式探究】 A A B GC 图1 图2 图3 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,求证：ED=BD+CE: 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长 GA交DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由： 10.(25-26八年级上江西赣州期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是_： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形. 【问题拓展】 (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC,BD,E是AC的中点，求 证： (3)如图③，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长E0交BD于点F，,OF=2,OE=5,求 △AOC的面积. B 图① 图② 图③ 11. (2425七年级下·上海阶段检测)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的 基本图形 G D H 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线I,CE⊥直线，垂足分别为 D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为： (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件 改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中Q 为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由： (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以△ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中∠BAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HA交EG于点M,求证：点M是EG的中点. 12.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末)【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请 根据小明的方法思考并解答： m 图1 图2 图3 图4 (1)①由已知和作图能得到△ADC≌aEDB,依据是_； A.SSS B.SAS C.AAS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_： 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移 线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中. 【类比运用】 (2)如图3，E是BC中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE,求证：AB=CD: 【拓展运用】 (3)如图4，已知直线m/n,点A、D是直线m上两点，点B、C是直线n上两点，点P是线段CD中点， 且AP⊥BP,两平行线m、n间的距离为4.求证：PAPB=2AB. 10/10 专题03 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型 常考题型·精准突破 题型1 全等三角形之一线三等角模型（难） 题型2 全等三角形之倍长中线模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1全等三角形之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) 理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． (2) 理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）． (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即． (3)​，理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴． 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型2 全等三角形之倍长中线模型 【常见模型及证法】 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 4．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) 解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； (2) 证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 6．（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 二、填空题 4．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌握倍长中线辅助线做法是解题的关键． ①由和都是等腰直角三角形得，，，进而得，可证，即可得，故结论①正确； ②题目中没有给出证的条件，故结论②错误； ③点的位置不一定使得，故结论③错误； ④延长到，使，连接，可证，可得，，，进而得，，，得，由得，可证，得，等量代换即可得，故结论④正确； ⑤由，得，而，由，得，可得，即，故结论⑤正确． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴结论①正确； ∵题目中没有给出的条件，只有和是等腰直角三角形，即 ，， ∴和不一定相等， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴结论②错误； ∵点的位置不一定使得， ∴结论③错误； 如图，延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴结论⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 故答案为：①④⑤． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    【答案】（1）证明见解析 （2） （3）且 【分析】（1）根据题意易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而证得； （2）延长到点，使，连接，由（1）知，，在中，利用三角形的三边关系进行解答即可； （3）延长到点，使，连接，由（1）知，得到、，进而得到，从而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到，据此解答即可． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 、， ； （2）解：延长到点，使，连接，如图：    由（1）知， ， 在中，、， ，即， 即， 边上的中线的取值范围为； （3）解：且， 如图，延长到点，使，连接，    由（1）得， 、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、倍长中线及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法是解题的关键． 9．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 10．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 12．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明见解析； （）证明见解析 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是； ②， ， ， ， ， ； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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