第5题等腰直角动点探参讲义-2027届高考数学一轮专题复习

该高中数学高考复习讲义围绕解析几何中的动点探参问题，整合直线与圆的位置关系、点到直线距离、等腰直角三角形性质等核心考点，按“命题规律分析—一题多解探究—解法对比优化”的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、分层训练三个环节，帮助学生构建解析几何问题的转化思路。 讲义突出“反套路反刷题”的复习特色，采用几何直观与代数参数结合的一题多解模式，如在等腰直角三角形动点问题中，引导学生将几何条件转化为圆心到直线距离不等式，培养逻辑推理与数学运算能力。配套基础巩固到综合应用的分层练习及详解，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生的问题转化与应考能力。

第5题  等腰直角动点探参（一题多解） 若直线上存在相距为2的两个动点、，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为______． 与2026年新高考命题思路一致的分析： 核心要点 一致性分析 反套路反刷题 以直线上动点与圆上动点构成等腰直角三角形为情境，需多步等价转化，非典型直线与圆问题 等价转化能力 核心是将几何条件逐步转化为圆心到直线的距离不等式，考查逻辑推理与转化能力 一题多解 几何法、参数方程法三种路径均可解，体现思维多元化 多想少算 三种解法均通过转化规避繁杂运算，重在思维分析 教考衔接 落点在点到直线距离、直线与圆位置关系、三角函数等主干知识，不超纲 核心素养导向 综合考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养 由等腰直角三角形性质得C到直线l距离为1.问题转化为圆O上存在点C到直线l距离为1，即圆心到直线距离≤2，解得a范围. 为等腰直角三角形（为直角顶点）且， 则到的距离为． 如图所示．因为点在圆上， 所以转化为圆心到直线的距离． 等价于圆心到直线的距离为， 解得． 则实数的取值范围为． 感悟反思：考虑到、是动点，且距离为2，所以把问题等价转化为点到直线的距离为1，圆上的动点到直线的距离问题，一般都转化为圆心到直线的距离问题，从而本题等价转化为圆心到直线的距离，即． 由解法一知C到直线l距离为1，即直线l与圆有公共点，圆心到直线距离≤2，解得a范围. 由解法一可知点到直线的距离为，则问题等价于： 直线与圆有公共点，如图所示． 则圆心到直线的距离应该满足， 解得． 感悟反思：通过等价转化，把问题转化为直线与新的圆的位置关系问题，利用圆心到直线距离求解．与解法一本质上是相同的． 设，由C到直线l距离为1得，利用三角函数有界性得，解得a范围. 因为点在圆上，故可设． 又因为点是等腰直角的直角顶点，且斜边， 所以点到直线的距离为1，即， 所以，，， 只需使此关于的方程有解． 因为，所以，即， 解不等式组可得． 感悟反思：利用圆的参数方程，考虑到、是动点，且距离为2，所以把问题等价转化为点到直线距离为1，利用三角函数有界性，解不等式组求解． 解法名称 优势 劣势 选择方法原则 等价转化法（点到直线距离） 思路最自然，一步转化，计算最简 需理解等腰直角三角形性质 几何感强、善等价转化的学生首选 等价转化法（直线与圆位置关系） 视角直观，转化为直线与圆有公共点 需构造新圆，多一步转化 理解直线与圆位置关系的学生的学生 参数方程法 通性通法，思路常规，易于掌握 计算量较大，需处理三角函数 代数基础扎实、善参数方程的学生 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，且，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．已知直线上存在相距为4的两个动点A，B，若圆上存在点P使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a的值可以为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 3．下列结论中正确的是（    ） A．已知直线过点，且在,轴上截距相等,则直线的方程为 B．若点是圆上任意一点,则的取值范围是. C．若直线上存在点，过点作圆的切线,,切点分别为,,使得为直角，则实数的取值范围为. D．已知圆,点，过点作直线交圆于,两点，则的取值范围是. 三、填空题 4．若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________. 5．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，使得，则的最小值为_________________． 6．已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是____________________.（写出一个满足条件的值即可） 7．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 8．设直线，圆，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是__________． 9．在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使得，则圆心C的横坐标取值范围为_______. 10．在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是____________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第5题 等腰直角动点探参（每日一题）9月刊》参考答案： 1．D 【知识点】平面向量基本定理的应用、由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】设，，则的中点，可得，设，根据，可得，代入化简得，根据判别式可得结果. 【详解】设，，则的中点， 圆：的圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 设，因为， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 化简得， 依题意得有解， 所以，即， 解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了平面向量基本定理，考查了运算求解能力，属于中档题. 2．ABC 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【解析】根据题意，由直角三角形的性质分析可得到的距离为，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，即有，解得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，若为等腰直角三角形，其中为直角顶点且， 则到的距离为， 若圆上存在点，使得为等腰直角三角形， 则圆心到直线的距离，即有， 解可得：，即的取值范围； 故选：ABC 3．BCD 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误；对于B，利用三角换元求解判断B；对于C，可判断点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围；对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，故A错误； 对于B，圆的圆心为，设， 则，则，故B正确； 对于C，连接，如图， 则易知四边形为正方形，所以， 可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，即解得，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则，点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， 因为, 所以即，， 所以,故D正确. 故选：BCD. 4．1或7 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题干条件得到圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为，利用点到直线距离公式列出方程，求出实数a的值. 【详解】由题意，得圆心C(3，1)，半径r＝3且∠ACB＝90°， 则圆心C到直线l：ax－y＋2－a＝0的距离为， 即，解得:a＝1或a＝7. 故答案为：1或7. 5．6 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】首先判断直线与圆相离，结合图形得到当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值，即可得到答案. 【详解】圆， 得到，圆心，. 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 如图所示， 直线上总存在不同两点，使得， 当以为直径的圆与圆内切时，且时，取得最小值. 所以. 故答案为：6 6．（答案不唯一） 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设，根据题意得到，再根据的几何意义得到，从而得到答案. 【详解】圆C：，圆心，半径， 设，则，， 因为，所以， 即，， 因为表示圆上点到原点的距离， ， 所以，即. 正数的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 7．2 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 8． 【知识点】直线与圆的位置关系 【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解． 【详解】圆，圆心为，半径为， ∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需到直线的距离小于或等于2， 故，解得. 9． 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【解析】设，由得出点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆有公共点可得． 【详解】设，因为，所以，化简得，它是圆，圆心为，半径为， 由题意此圆与圆有公共点，点在直线上，设， 则，所以，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，解题关键是问题的转化，求出满足的动点的轨迹是圆，然后由两圆有公共点求解．旨在考查学生的转化与化归思想，考查运算求解能力． 10． 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围． 【详解】设的中点为，因为， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的取值范围是， 从而的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $