第2题 四法破系数和定值（一题多解）讲义-2027届高考数学一轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量模长计算与线性组合核心考点，以系数和定值为突破口构建代数表达与几何意义的内在联系。通过考点梳理、四法提炼（几何转化、坐标建系、系数交换、对称法）、真题精讲、分层训练的教学流程，帮助学生突破向量模长最值问题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出一题多解与几何意义回归的创新教学，如将模长和转化为折线最短路径问题，通过对称法直观求解，培养学生直观想象与逻辑推理素养。设置解法对比分析与题后感悟，配合基础到综合的分层练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第2题  四法破系数和定值（一题多解） （2026年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛T4）设为平面上的单位向量，且．若，则的最小值为______． 与2026年新高考命题思路一致的分析 核心要点 一致性分析 反套路反刷题 以向量线性组合模长之和为情境，需识别系数和为1这一关键特征，非典型向量模长计算 几何意义回归 核心是将代数表达式转化为折线长度问题，体现“以形助数”的核心素养 一题多解 几何转化、坐标建系、系数交换、对称法四种路径均可解，体现思维多元化 多想少算 方法一、二、四均通过几何意义直接得出结果，弱化繁杂代数运算 教考衔接 落点在向量运算、三点共线、对称变换、两点间距离等主干知识，不超纲 核心素养导向 综合考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养 将表达式转化为动点P到定点C、D距离之和，P在线段AB上运动．由对称性，P为AB与OD交点时取最小值，即OD． 因为． 设为原点，令， 则是以为邻边的平行四边形另一个顶点， ，其中在上，且． 又为线段上的动点，记为． 所以的最小值 即为动点到定点距离之和最小值， 由对称性得点即为与交点，距离之和最小值为． 题后感悟：关键是识别系数和为1，将向量表达式转化为三点共线问题，再转化为折线最短路径问题． 令，问题转化为|OC|+|CD|最小值．构造菱形OAMB，利用几何关系得最小值|CM|． 令． 所以问题转化为的最值．画菱形， ． 题后感悟：通过向量分解将双变量问题转化为单变量问题，利用菱形性质简化计算． 设，代入表达式得两个根式之和，几何意义为点P(t，0)到两定点距离之和．作对称点，由两点间线段最短得最小值． 由题知，可设 则 ． 令 P（t，0），则： 原式 =∣PB∣+∣PC∣，即动点 P（t，0） 到两定点 B、C 的距离之和． 作 B 关于 x 轴的对称点），则： ∣PB∣+∣PC∣=∣PB′∣+∣PC∣≥∣B′C∣ 当 P 在 B′C 与 x 轴的交点时取等号． 题后感悟：坐标法是解决向量问题的通法，适合大多数学生，关键在于正确建立坐标系和识别几何意义． ． 则其几何意义表示动点到点和的距离之和， 令， 设关于轴的对称点为，则． 则． 题后感悟：巧妙利用向量模相等进行系数交换，再结合三角不等式一步到位，效率最高但技巧性强． 解法名称 优势 劣势 选择方法原则 几何转化法 几何意义清晰，直观易懂 需识别系数和为1的特征，构造图形 对于平面向量模的和问题我们往往转化为几何意义，即长度．本题的难点是搞清楚是什么样的两条线段．本题的一个突破点是看到两个向量的系数和是1，那么就出现了三点共线，从而找到了方向，具体见方法一、二向量问题也可以建系，这个方法是适合于大多数的学生；而方法四巧妙的利用了向量模相等，可以进行系数交换，于是再利用三角不等式得到最值 向量分解法 将双变量转化为单变量，简化问题 需构造菱形，辅助线较多 坐标法 通性通法，思路常规，易于掌握 需进行根式运算，计算量较大 系数交换+三角不等式 一步到位，计算最简，效率最高 技巧性强，需识别系数交换的条件 1．已知向量满足，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 2．正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______． 4．已知单位向量，，满足，且，，则对于，的最小值为_________． 5．已知，两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数t，的最小值是_______. 6．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为_________． 7．已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______． 8．已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2题 四法破系数和定值（每日一题）9月刊》参考答案： 1．D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量与几何最值 【分析】由题意知，可设，，由向量的坐标运算可得，，可转为在直线上取一点B，使得最小，利用化曲为直的思想即可得到答案. 【详解】由题意知，可设,因为，则点B在直线上，如图，,则,,,则的最小值,可转化为在直线上取一点B，使得最小，作点C关于直线的对称点,则的最小值即为,设点，则，解得， 则,即最小值为， 故选：D    【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，考查了化曲为直的转化思想和数形结合的思想，综合性较强. 2．B 【知识点】向量的模、向量减法的法则、平面向量基本定理的应用、向量与几何最值 【分析】首先根据题意确定，的位置，然后设，利用平面向量的减法运算可得，，，最后求点关于的对称点,点关于的对称点，计算长度即可得到答案. 【详解】由题意知，当时，点的轨迹与相交于，即， 当时，点的轨迹与相交于，即. 设，则， ，. 于是, 设点关于的对称点,点关于的对称点， 则， 所以点共线的时候取得最小值， 即. 故选：B. 3． 【知识点】向量与几何最值、向量在几何中的其他应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据，可得四点共圆，即可共线得，结合图形即可求解最值. 【详解】令，，， 为单位向量．，则， 由于与的夹角为，所以， ，故不妨取，，四点共圆情况，, 外接圆的直径为，在优弧上， ，表示起点为，终点在直线上的向量， 由于 ， 到的距离为， 设到的最大距离为 由于为的最小值，则当时最小， 故的最大值为，此时过圆心且 故答案为：． 4．## 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】先讨论的模，然后根据平面向量加法的几何意义，结合图形分析可得. 【详解】因为，即，所以， 又，，为单位向量，所以，即， 因为，所以，同理， 当同号时，； 当有一个为时，不妨令，则； 当有两个为时，不妨令，则； 综上，，当且仅当不全部同号时等号成立. 如图，记，， 因为，即， 所以点在直线上， 当为的中点时，，即， 记，则， 因为时，取原取值的相反数，则， 所以只需讨论，由上可知，或， 当时，； 当时，由向量加法几何意义可知，当为定值时，越大越小， 当为定值时，越小越小. 由图可知，当，为的中点时，，且取得最小值， 所以，此时取得最小值. 5． 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知数量积求模、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意设，，，且，求出，进而利用二次函数求出的最小值即可. 【详解】因为，两个互相垂直的单位向量，不妨设，，， 因为，所以，，即，， 所以， 即， 设，因为时，，时，， 所以或， 则有， 所以当时，， 所以的最小值是， 故答案为：. 6． 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】由，两边平方化简得，再用向量的三角不等式求的最小值. 【详解】由，向量与所成的角为60°，可得， 由，两边平方得， 化简可得对任意实数t恒成立， 令，则恒成立， 由于函数图象抛物线开口向上，需使，所以， 由向量的三角不等式，有， 当且仅当与方向相反时等号成立 又， 则的最小值为. 7． 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由，两边平方化简得，再用向量的三角不等式求的最小值. 【详解】由，向量与所成的角为60°，可得， 由，则， 化简可得对任意实数t恒成立， 令，则恒成立， 由于函数图象抛物线开口向上，所以需要满足， 即，所以. 由向量的三角不等式，有， 又， 则的最小值为. 8． 【知识点】向量减法法则的几何应用、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用数量积的运算律，系结合恒成立的不等式求得，再利用数量积的运算律求得，然后利用向量的三角不等式求出最小值. 【详解】由，得，而， 则，依题意，对任意的实数，恒成立， 因此，则， 又， 则 ，当且仅当与反向时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $