第1题 六法破平方和最小（一题多解）讲义-2027届高考数学一轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦双参数取值范围这一高考核心考点，整合函数与方程、不等式、数形结合等知识，通过“一题六解”构建方法体系，设置考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破难点。 讲义以一题多解为特色，如用柯西不等式法放缩求最值、轨迹法转化为圆与双曲线交点问题，培养数学思维与几何直观，配套分层练习与详解，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第1题  六法破平方和最小（一题多解） 若函数与的图象有交点，则的最小值为______. 本题是一道双参数取值范围问题，解决该类问题的常见策略有： （1）代数式本身的几何意义，由题设得到双参数满足的约束条件，利用规划“思想”解决，该法是通法； （2）代数式本身的代数“结构特征”联想相关不等式； （3）消元代换结合“主元”思想，逐步消元，最后得到一元函数求值域； （4）方程与函数思想的联通，有时需要对方程进行适当转化或改造：或参变分离、或部分分离，将方程转化为两个可以解决的函数图像交点问题. 总之，双参数问题通常是压轴题命题的载体和背景，我们要有一个更广阔的视角去看这类问题.当然，解决这类问题对学生“转化与化归”，“数形结合”思想的运用以及“逻辑推理”，“数学运算”等核心素养都有着较高的要求.平时的教学与训练中，要多总结与反思.    问题等价于以x为变量的方程有解，换元，将方程有解转化为二次方程根的分布问题，得a、b满足的不等式组，作出可行域，即原点到可行域距离平方，求得最小值. 问题等价于以x为变量的方程有解. 设， 问题等价于以t为变量的方程在上有解. 其否定为无解或两解都在， 所以，或 表示原点到非阴影区域上的一点距离的平方， 所以. 感悟反思：方法一将问题转化为二次方程根的分布问题，得出双参数满足的不等式组，作出可行域，利用的几何意义“两点间距离”解决. 换元，视方程为关于a、b的直线方程，即直线上点到原点距离平方，用点到直线距离公式得最小值，换元求最值. 由题得方程有实根，即有实根， 令，或， 等价于方程在上有实根 视方程为平面直角坐标系aOb内的直线， 即该直线上的任意一点到原点距离的平方，， 令，则， 即的最小值为. 将方程看成以a，b为主元的二元一次方程，即为平面直角坐标系内的一条直线，即该直线上的任意一点到原点距离的平方；方法三则是由的“平方和”结构联想柯西不等式，将转化为t的不等式求最小值. 由题得方程有实根，即有实根， 令，或， 等价于方程在上有实根. 由柯西不等式得，即， 令， 因为， 所以的最小值为. 利用方程进行消元，将目标变为含a，t的式子，再将此目标视为以a为主元的函数，得其最小值从而消去参数a，使得最后目标中只含“t”. 由题得方程有实根，即有实根， 令，或， 等价于方程在上有解. 化为， 令，则， 当且仅当，即时取等号.故的最小值为. 感悟反思：逐步消元的思想更具一般性，是比较符合学生逻辑习惯的一种方法，但是此法需要学生具备一定的运算能力. 原方程变形为，即圆与双曲线有公共点，由临界相切得，再由距离公式得最小值54. 由题意：有解，即. 圆心，半径为r的圆与有公共点， 由对称性知：即可. （其中点为与的交点）， ，即， 问题转化为：求平面区域内的点到原点的距离的平方的最小值，即的最小值为. 感悟反思：从给出方程出发，变形得到圆的方程，抓住两个动曲线的轨迹.找到临界状态，得出两个参数满足的约束条件，再通过几何意义“距离”解决问题. 设，，由对称性讨论和，均得即，再由距离公式得最小值. 由题意：有解， 由对称性，不妨设，. 由题意：与有交点. 因为为偶函数，由对称性，只需考虑有公共点即可. 若，易知，， 只需，即； 若，令，则，， ∴在单调递增，又， ∴在上单调递减，在上单调递增， 要有零点，只需.即，也即； 综上： 问题转化为：求平面区域内的点到原点的距离的平方的最小值， 即的最小值为. 感悟反思：将方程问题转化为研究两个函数图像交点问题，对参数进行分类讨论，得出两个参数满足的约束条件，再通过几何意义“距离”解决问题. 解法名称 优势 劣势 选择方法原则 规划法 通性通法，思路常规，易于掌握 需解不等式组并作图，过程较繁琐 基础扎实、善线性规划的学生首选 主元法 转化为点到直线距离，几何意义清晰 需先换元再处理分式函数最值 理解几何意义、善转化问题的学生 柯西不等式法 一步放缩，计算最简，效率最高 需识别柯西不等式的适用结构 柯西不等式熟练、追求高效的学生优选 消元法 逐步消元，逻辑自然，符合学生习惯 运算量较大，需配方技巧 运算能力强、善配方的学生 轨迹法 数形结合，直观形象，视角独特 需识别圆与双曲线轨迹，思维要求高 数形结合能力强、善轨迹分析的学生 函数与方程法 利用函数单调性，逻辑严密 需分类讨论并求导，计算较复杂 导数工具熟练、善分类讨论的学生    1．若函数，，在平面直角坐标系中，直线与的图象交于，两点，点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D．10 2．若函数与的图像有交点，则的最小值为_________. 3．若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________. 4．已知函数与的图象在交点处的切线互相垂直，则的最小值为__________. 5．已知函数，，，且当时，与的图象有且只有一个交点，则的取值范围为______. 6．已知函数和的图像有交点，则取最小值时，的值为________． 7．若关于的方程有实数根，则的最小值为______. 8．已知函数，若存在非零实数使得，则的最小值为____________． 9．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____． 10．已知函数在区间上有零点，则的最大值是______. 11．已知函数在区间上有零点，则的最大值是________. 12．已知函数，若在区间上有零点，则的最小值是______. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1题 六法破平方和最小（每日一题）9月刊》参考答案： 1．B 【知识点】函数对称性的应用、由导数求函数的最值（不含参）、数量积的坐标表示 【分析】分析函数的性质关于中心对称，直线经过，则关于中心对称，所以向量关系转化为，根据坐标表示结合导函数求最值. 【详解】由题：， 所以，即函数关于中心对称， 直线即必过定点， 显然该直线关于中心对称， 直线与的图象交于，两点，则，关于对称， 点在函数的图象上，，设 设，， 当时，，当时，， 所以函数在递减，在递增， 所以的最小值， 即的最小值为8. 故选：B 【点睛】此题考查求平面向量的数量积的最值，利用数量积的坐标表示，涉及函数的对称性辨析，利用导函数求最值. 2． 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】将问题转化为方程有解,即有解,设,则,令,则,再将关于的方程看成关于的直线方程,则可视为直线上的点到原点的距离的平方,进而求解即可 【详解】由题,令,所以,即, 所以方程有解, 设,则, 令,则,所以, 则, 将关于的方程看成关于的直线方程, 则可视为直线上的点到原点的距离的平方, 其最小值即为原点到直线的距离的平方, 所以， 因为,所以由对勾函数的性质可得当时能取得最小值,此时, 所以的最小值为 故答案为: 【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查转换主元的思想,考查数形结合思想,将关于的方程看成关于的直线方程是解题关键 3． 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答. 【详解】依题意，方程，即有三个不等实根， 设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为， 于是， 整理得， 因此，则，即有，解得或， 所以的取值范围是.. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可. 4． 【知识点】求二次函数的值域或最值、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由题意知与均为偶函数，研究部分的图象交点，有，，设交点横坐标为，可求交点坐标，进而可得，根据目标式并应用二次函数的性质求最小值即可. 【详解】由题意，易知与均为偶函数， ∴由对称性，不妨讨论部分的图象交点，此时，， 若交点横坐标为，则，可得，故交点坐标为， 又，则， ∴，又， ∴当时，. 故答案为： 5． 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由关于x的方程在区间上有且只有一个解，分离参数得，利用导数得出，再由基本不等式得出的取值范围. 【详解】因为当时，与的图象有且只有一个交点，所以关于x的方程在区间上有且只有一个解，分离参数得，令，，则，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，故.当，时，，当且仅当，即，时，等号成立；当，时，，当且仅当，即，时，等号成立.所以的取值范围为. 故答案为： 6． 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由导数求函数的最值（不含参）、求点到直线的距离 【分析】由题意得到有零点，设零点为t，得到，设点是直线l：上任意一点，原点到直线的距离为和原点到点P的距离有，再求得h的最小值即可. 【详解】因为函数和的图像有交点， 所以有零点， 设零点为t，则，即， 设点是直线l：上任意一点， 则原点到直线的距离为，所以原点到点P的距离有， 设，则，， 当时，，在上递减； 当时，，在上递增， 所以，由，解得， 所以直线的斜率为，所以， 故答案为： 7．## 【知识点】函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】令，将问题转化为在上有实数根，结合一元二次函数图象讨论，再分、、三种情况讨论即可. 【详解】令， 因为有实数根， 所以在上有实数根， 令， 则或或， 则或， 若，则，由可知，欲使取最小值，则需， 此时的最小值为； 若，则， 由可知， 则当，时取最小值，最小值为； 若，则当时， 综上，的最小值为. 8．####3.2 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式求最值 【分析】根据题意和基本不等式可得(令)、或，进而，利用二次函数的性质和分离常量法可得，根据单调函数的定义可证得函数在上单调递增，即可求解. 【详解】由题意得 ， 即，令， 当时，由基本不等式，得(当且仅当即时等号成立)； 当时，由基本不等式，得(当且仅当即时等号成立)； 所以，有， 所以， 故， 为关于的二次函数，且开口向上， 当时，函数有最小值，且最小值为， 所以 ， 令，则，函数， 假设，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故答案为： 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 9． 【知识点】函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、求平方和型目标函数的最值 【分析】将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值． 【详解】将看作是关于的直线方程， 表示点与点之间距离的平方， 点到直线的距离为， 又因为，令， 在上单调递增，所以， 所以的最小值为． 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的应用． 10．##0.25 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据零点的定义，结合函数的单调性及最值求解即可. 【详解】设函数在区间上的零点为，则，，. 所以， 可看作为关于的二次函数，开口向下，对称轴为. 所以. 又函数在区间上单调递增，所以当时取得最大值. 故的最大值为. 11． 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】由得， ．（当且仅当a=-x0-a即x0=-2a时取等号） ， 令，则， ∴g（x0）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增， 又g（）=，g（1）=-+=，∴g（x0）的最大值为． 的最大值为×=． 12． 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据零点的定义，结合函数单调性与最值的关系求解即可. 【详解】设在区间上的零点为，则，，. 所以. 令，开口向上，对称轴. 所以，. 令，则，， 所以，. 又在上单调递增，故当时最小，此时， 代入中，得. 故的最小值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $