3.1 勾股定理的探究同步分层练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，实现勾股定理从概念理解到综合应用再到创新探究的递进巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|勾股定理直接应用、直角三角形性质、网格与数轴表示|以选择填空为主，强化抽象能力与几何直观，如已知直角边求斜边、勾股树模型计算| |能力提升|赵爽弦图、旋转与垂直平分线综合、推理证明|设置解答题与综合题，培养推理能力与运算能力，如结合旋转性质的线段计算、赵爽弦图面积探究| |拓展创新|新定义“中偏度值”“奇异三角形”|通过概念探究题发展创新意识与模型观念，如奇异三角形边长关系推导、新定义几何量计算|

苏科版数学八年级上册 3.1 勾股定理的探究 同步分层练习 一、夯实基础 1．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为(　　) A． B． C．4 D．20 【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为2和4， 则斜边长， 故选：A． 【分析】根据勾股定理计算即可． 2．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡AB的坡比是(　　) A． B． C．1：3 D．3：1 【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：， 斜坡的坡比是． 故答案为： . 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据坡比的定义解答即可． 3．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC和 '的顶点都在格点上，其中 是由△ABC经过一次平移得到的，则平移距离为(　　) A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】平移的性质；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：如图，连接BB'， 由勾股定理得：，则平移距离为. 故答案为：B. 【分析】连接BB'，根据勾股定理求出BB'，得到答案. 4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．2 D．45 【答案】A 【知识点】勾股定理；勾股树模型 【解析】【解答】解：∵ 正方形A，B的面积为2，4， ∴没标字母的正方形的面积为：6， ∵ C的面积为：3， ∴ 正方形D的面积为：3+6=9 故答案为：A 【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6，进而再根据勾股定理即可得出正方形D的面积为：3+6=9。 5．如图， CD 是 Rt△ABC 的中线， ∠ACB=90°， AC=8， BC=6，则 CD 的长是（　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：在中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6 ∴ ∵CD是Rt△ABC 的中线 ∴ 故答案为：D. 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理.先利用勾股定理计算斜边AB的长，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”计算CD的长即可. 6．如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点B，则点B表示的数为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点 【解析】【解答】解：根据图形： ∴ 故答案为：C. 【分析】本题主要考查数轴与勾股定理的应用（在数轴上表示无理数）.根据图形确定直角三角形的两直角边均为1，利用勾股定理计算，再结合圆规截取长度确定数轴上点表示的数为. 7．如图，∠C=∠ADB=90°，AD=1，BC= CD=2， 则AB=　 　. 【答案】3 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=CD=2，∴BD==2. ∵∠ADB=90°，BD=2，AD=1， ∴AB==3. 故答案为：3. 【分析】先在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BD的长度，再在Rt三角形ABD中，利用勾股定理算出出AB的长度. 8．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C.若 则 Sc=　 　. 【答案】8 【知识点】勾股定理；勾股树模型 【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C ， ∴SB+SC=SA， ∵ ∴SC=26-18=8. 故答案为：8. 【分析】根据勾股定理列式计算即可. 9．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；中心对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴，， ∴， ∵与关于点C中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】 首先结合等腰三角形三线合一的性质，能够得到，且；再根据中心对称的性质，与关于点C中心对称，因此对应线段和对应角相等，可得，，，最后利用勾股定理即可计算出的长度. 二、能力提升 10．我国古代用”弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形 ABCD为正方形，若直角三角形的斜边为 中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为 (　　) A． B．5 C． D．4 【答案】B 【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：∵直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9， ∴ 解得AE=5， 故选：B. 【分析】根据小正方形的面积以及直角三角形的面积得出方程求解AE即可. 11．如图，在△ABC中， AB=BC=5， AC=6，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转60°得到△AB'C'，点 B， C的对应点分别为 B'， C'，连接BC'，则 BC'的长是（　　） A． B． C．9 D．11 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定 【解析】【解答】解：连接，与相交于点O，如图， ∵逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴B点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 故答案为：A. 【分析】连接，与相交于点O，根据旋转可得，，进而可得为等边三角形，即可得到，再根据，可得垂直平分，再根据勾股定理计算出OB和OC'的长，解答即可． 12．如图， △ABC中， ∠C=90°， AC=6， BC=8， AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于E，连接AE，则BE的长为　 　. 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴由勾股定理，得， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， 设BE=x，则AE=x，CE=BC-BE=8-x， 在Rt△ACE中，∠C=90°，由勾股定理，得AC2+CE2=AE2，即62+(8-x)2=x2， 展开得36+64-16x+x2=x2，整理得100-16x=0，解得， 故BE的长为． 故答案为： . 【分析】先根据△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，利用勾股定理计算出AB的长度为10；再根据DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，设BE=x，则AE=x，CE=8-x；最后根据Rt△ACE中∠C=90°，利用勾股定理列出方程36+64-16x+x2=x2，解方程求出，即BE的长． 13．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的.它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形.某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是　 　. 【答案】4 【知识点】完全平方公式及运用；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， ∵图2中菱形对角线的和为12， ∵图3中间正方形的面积为20， ∴图1中间正方形的面积 4， 故答案为：4. 【分析】设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论. 14．如图，在△ABD中， AC⊥BD于点C，且点C为线段BD的中点. （1）若∠D=30°，则∠BAD的度数为　 　； （2）求证： ∠BAD=2∠CAD； （3）已知 求线段AB的长度． 【答案】（1）120° （2）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACD=90° ∴∠CAD=90°-∠D=90°-30°=60°， ∴∠BAD=2∠CAD （3）解：在Rt△ACD中，， 由勾股定理得：， 则 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：(1)∵AC⊥BD于点C，点C为线段BD的中点， ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB=AD， ∴∠B=∠D=30°，∠BAD=180°-30°-30°=120° 故答案为：120°. 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AB=AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠D=30°，根据三角形内角和定理计算得到答案； (2)根据直角三角形的性质求出∠CAD，证明结论； (3)根据勾股定理求出AD，进而求出AB. 15．探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）若图1所得到的大正方形面积为2，即小正方形的对角线长为　 　； （2）如图2，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于A、B两点，那么A点表示的数为　 　， （3）观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分(正方形)的图形的边长x=　 　；如图4，请借鉴(2)中的方法在数轴上找到点 P，使点P所表示的数为x-1.(保留作图痕迹并标出必要线段长) 【答案】（1） （2） （3）作图步骤(对应图4)：以数字-1所在的点为圆心，沿数轴向右取4个单位，过该点作数轴垂线向上截取1单位，连接-1所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点P，如解图所示：​​​​​​​ 【知识点】勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点 【解析】【解答】（1） ∵图1所得到的大正方形面积为2， ∴小正方形的面积为1， ∴×对角线2=1 所以对角线= 故答案为： （2）解：圆心在数轴上表示1的点，半径为正方形对角线长 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与A之间的距离为 ∴A点在圆心左侧， 因此A点表示的数为 （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为5，面积=5×5=25； 四周有4个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为1和4，面积和 因此阴影正方形面积=25-8=17，正方形面积等于边长平方，因此边长. 故答案为： 【分析】（1）根据大正方形的面积可得出小正方形的面积，进而根据正方形面积计算公式，即可得出小正方形的边长； （2）首先根据勾股定理可得出正方形的对角线为，即OA=，进而得出OA=再根据点A的位置，即可得出A点表示的数为 ； （3）如图，根据勾股定理可得出矩形对角线的长度，因为是以数字-1所在的点为圆心，所以可得出点P对应的数字为：-1. 三、拓展创新 16．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值“。在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为　 　。 【答案】 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=， ∴BE=2.5， ∴， 即5×CD=3×4， ∴CD=， ∴BD=， ∴ED=BE-BD=2.5-=， △ABC中AB边的“中偏度值”为. 故答案为：. 【分析】作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长度，再根据中线求出BE的长度，再次利用勾股定理求出BD的长度，从而求出ED的长度，进而得出答案. 17．【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. （1）【感知】若 三边长分别是2， 和 判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由； （2）【思考】已知1 中，两边长分别是5， ，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是　 　； （3）【运用】若 是奇异三角形，直角边为a、b(a<b)，斜边为c，求ɑ：b：c的值.(比值从小到大排列) （4）【创新】如图，以AB 为斜边分别在AB的两侧作直角 与 其中 且AD=BD，若四边形ADBC 内存在点 E，使得AE=AD，CB=CE.试说明 是奇异三角形. 【答案】（1）解：是，理由如下； ∴△ABC是奇异三角形. （2）​​​​​​​ （3）解：分类讨论：①当 时， 又∵ 则 即c=0(不符合题意，舍去). ②当 时， 又∵ 则 即 (不符合题意，舍去). ③当 时， 又∵ ∴a：b：c=1： ： （4）解：∵∠ACB=∠ADB=90°， ∵AD=BD， ∵AE=AD，CB=CE， ∴△ACE是奇异三角形 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：(2)①当为斜边时，另一条直角边， 或，故5不符合； ②当，5是直角边时，斜边， ∵， ∴符合 故答案为：. 【分析】(1)由可知，△ABC是奇异三角形； (2)分为斜边或为直角边，分别求出第三边长度，再根据奇异三角形定义进行判断； (3)根据奇异三角形的定义得：a2+c2=2b2，又a2+b2=c2，可得a，b，c的关系； (4)由勾股定理得AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，再由AE=AD，CB=CE，可得AC2+CE2=2AE2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学八年级上册 3.1 勾股定理的探究 同步分层练习 一、夯实基础 1．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为(　　) A． B． C．4 D．20 2．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡AB的坡比是(　　) A． B． C．1：3 D．3：1 3．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC和 '的顶点都在格点上，其中 是由△ABC经过一次平移得到的，则平移距离为(　　) A．3 B． C．4 D． 4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．2 D．45 5．如图， CD 是 Rt△ABC 的中线， ∠ACB=90°， AC=8， BC=6，则 CD 的长是（　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 6．如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点B，则点B表示的数为（　　） A．1 B．2 C． D． 7．如图，∠C=∠ADB=90°，AD=1，BC= CD=2， 则AB=　 　. 8．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C.若 则 Sc=　 　. 9．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 　 　． 二、能力提升 10．我国古代用”弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形 ABCD为正方形，若直角三角形的斜边为 中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为 (　　) A． B．5 C． D．4 11．如图，在△ABC中， AB=BC=5， AC=6，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转60°得到△AB'C'，点 B， C的对应点分别为 B'， C'，连接BC'，则 BC'的长是（　　） A． B． C．9 D．11 12．如图， △ABC中， ∠C=90°， AC=6， BC=8， AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于E，连接AE，则BE的长为　 　. 13．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的.它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形.某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是　 　. 14．如图，在△ABD中， AC⊥BD于点C，且点C为线段BD的中点. （1）若∠D=30°，则∠BAD的度数为　 　； （2）求证： ∠BAD=2∠CAD； （3）已知 求线段AB的长度． 15．探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）若图1所得到的大正方形面积为2，即小正方形的对角线长为　 　； （2）如图2，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于A、B两点，那么A点表示的数为　 　， （3）观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分(正方形)的图形的边长x=　 　；如图4，请借鉴(2)中的方法在数轴上找到点 P，使点P所表示的数为x-1.(保留作图痕迹并标出必要线段长) 三、拓展创新 16．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值“。在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为　 　。 17．【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. （1）【感知】若 三边长分别是2， 和 判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由； （2）【思考】已知1 中，两边长分别是5， ，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是　 　； （3）【运用】若 是奇异三角形，直角边为a、b(a<b)，斜边为c，求ɑ：b：c的值.(比值从小到大排列) （4）【创新】如图，以AB 为斜边分别在AB的两侧作直角 与 其中 且AD=BD，若四边形ADBC 内存在点 E，使得AE=AD，CB=CE.试说明 是奇异三角形. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为2和4， 则斜边长， 故选：A． 【分析】根据勾股定理计算即可． 2．【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：， 斜坡的坡比是． 故答案为： . 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据坡比的定义解答即可． 3．【答案】B 【知识点】平移的性质；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：如图，连接BB'， 由勾股定理得：，则平移距离为. 故答案为：B. 【分析】连接BB'，根据勾股定理求出BB'，得到答案. 4．【答案】A 【知识点】勾股定理；勾股树模型 【解析】【解答】解：∵ 正方形A，B的面积为2，4， ∴没标字母的正方形的面积为：6， ∵ C的面积为：3， ∴ 正方形D的面积为：3+6=9 故答案为：A 【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6，进而再根据勾股定理即可得出正方形D的面积为：3+6=9。 5．【答案】D 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：在中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6 ∴ ∵CD是Rt△ABC 的中线 ∴ 故答案为：D. 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理.先利用勾股定理计算斜边AB的长，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”计算CD的长即可. 6．【答案】C 【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点 【解析】【解答】解：根据图形： ∴ 故答案为：C. 【分析】本题主要考查数轴与勾股定理的应用（在数轴上表示无理数）.根据图形确定直角三角形的两直角边均为1，利用勾股定理计算，再结合圆规截取长度确定数轴上点表示的数为. 7．【答案】3 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=CD=2，∴BD==2. ∵∠ADB=90°，BD=2，AD=1， ∴AB==3. 故答案为：3. 【分析】先在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BD的长度，再在Rt三角形ABD中，利用勾股定理算出出AB的长度. 8．【答案】8 【知识点】勾股定理；勾股树模型 【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C ， ∴SB+SC=SA， ∵ ∴SC=26-18=8. 故答案为：8. 【分析】根据勾股定理列式计算即可. 9．【答案】 【知识点】勾股定理；中心对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴，， ∴， ∵与关于点C中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】 首先结合等腰三角形三线合一的性质，能够得到，且；再根据中心对称的性质，与关于点C中心对称，因此对应线段和对应角相等，可得，，，最后利用勾股定理即可计算出的长度. 10．【答案】B 【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：∵直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9， ∴ 解得AE=5， 故选：B. 【分析】根据小正方形的面积以及直角三角形的面积得出方程求解AE即可. 11．【答案】A 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定 【解析】【解答】解：连接，与相交于点O，如图， ∵逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴B点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 故答案为：A. 【分析】连接，与相交于点O，根据旋转可得，，进而可得为等边三角形，即可得到，再根据，可得垂直平分，再根据勾股定理计算出OB和OC'的长，解答即可． 12．【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴由勾股定理，得， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， 设BE=x，则AE=x，CE=BC-BE=8-x， 在Rt△ACE中，∠C=90°，由勾股定理，得AC2+CE2=AE2，即62+(8-x)2=x2， 展开得36+64-16x+x2=x2，整理得100-16x=0，解得， 故BE的长为． 故答案为： . 【分析】先根据△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，利用勾股定理计算出AB的长度为10；再根据DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，设BE=x，则AE=x，CE=8-x；最后根据Rt△ACE中∠C=90°，利用勾股定理列出方程36+64-16x+x2=x2，解方程求出，即BE的长． 13．【答案】4 【知识点】完全平方公式及运用；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， ∵图2中菱形对角线的和为12， ∵图3中间正方形的面积为20， ∴图1中间正方形的面积 4， 故答案为：4. 【分析】设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论. 14．【答案】（1）120° （2）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACD=90° ∴∠CAD=90°-∠D=90°-30°=60°， ∴∠BAD=2∠CAD （3）解：在Rt△ACD中，， 由勾股定理得：， 则 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：(1)∵AC⊥BD于点C，点C为线段BD的中点， ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB=AD， ∴∠B=∠D=30°，∠BAD=180°-30°-30°=120° 故答案为：120°. 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AB=AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠D=30°，根据三角形内角和定理计算得到答案； (2)根据直角三角形的性质求出∠CAD，证明结论； (3)根据勾股定理求出AD，进而求出AB. 15．【答案】（1） （2） （3）作图步骤(对应图4)：以数字-1所在的点为圆心，沿数轴向右取4个单位，过该点作数轴垂线向上截取1单位，连接-1所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点P，如解图所示：​​​​​​​ 【知识点】勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点 【解析】【解答】（1） ∵图1所得到的大正方形面积为2， ∴小正方形的面积为1， ∴×对角线2=1 所以对角线= 故答案为： （2）解：圆心在数轴上表示1的点，半径为正方形对角线长 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与A之间的距离为 ∴A点在圆心左侧， 因此A点表示的数为 （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为5，面积=5×5=25； 四周有4个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为1和4，面积和 因此阴影正方形面积=25-8=17，正方形面积等于边长平方，因此边长. 故答案为： 【分析】（1）根据大正方形的面积可得出小正方形的面积，进而根据正方形面积计算公式，即可得出小正方形的边长； （2）首先根据勾股定理可得出正方形的对角线为，即OA=，进而得出OA=再根据点A的位置，即可得出A点表示的数为 ； （3）如图，根据勾股定理可得出矩形对角线的长度，因为是以数字-1所在的点为圆心，所以可得出点P对应的数字为：-1. 16．【答案】 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=， ∴BE=2.5， ∴， 即5×CD=3×4， ∴CD=， ∴BD=， ∴ED=BE-BD=2.5-=， △ABC中AB边的“中偏度值”为. 故答案为：. 【分析】作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长度，再根据中线求出BE的长度，再次利用勾股定理求出BD的长度，从而求出ED的长度，进而得出答案. 17．【答案】（1）解：是，理由如下； ∴△ABC是奇异三角形. （2）​​​​​​​ （3）解：分类讨论：①当 时， 又∵ 则 即c=0(不符合题意，舍去). ②当 时， 又∵ 则 即 (不符合题意，舍去). ③当 时， 又∵ ∴a：b：c=1： ： （4）解：∵∠ACB=∠ADB=90°， ∵AD=BD， ∵AE=AD，CB=CE， ∴△ACE是奇异三角形 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：(2)①当为斜边时，另一条直角边， 或，故5不符合； ②当，5是直角边时，斜边， ∵， ∴符合 故答案为：. 【分析】(1)由可知，△ABC是奇异三角形； (2)分为斜边或为直角边，分别求出第三边长度，再根据奇异三角形定义进行判断； (3)根据奇异三角形的定义得：a2+c2=2b2，又a2+b2=c2，可得a，b，c的关系； (4)由勾股定理得AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，再由AE=AD，CB=CE，可得AC2+CE2=2AE2. 学科网（北京）股份有限公司 $