第二章 一元二次函数、方程和不等式 重难点训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式，以15类题型构建“比较-证明-求最值-解不等式”的完整方法体系，强化逻辑推理与数学建模 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小|2题型（作差/商法）|作差定号、作商与1比较|从代数比较到条件关系判断，培养数学思维严谨性| |不等式证明|2题型（性质/基本不等式）|不等式性质递推、基本不等式构造|基于概念生成，发展逻辑推理能力| |最值求解|5题型（积/和最值、条件等式等）|“一正二定三相等”、对勾函数单调性、“1”的代换|从基本不等式到函数性质应用，构建知识网络| |不等式解法|6题型（含参/不含参、恒成立/有解）|因式分解、参数分类讨论、端点代入法|从方程到不等式，体现数学语言表达的精确性|

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第2章 一元二次函数、方程和不等式 题型1 作差法比较代数式的大小 题型2 作商法比较代数式的大小 题型3 由不等式的性质证明不等式 题型4 由基本不等式证明不等关系 题型5 基本不等式求积的最大值 题型6 基本不等式求和的最小值 题型7 条件等式求最值 题型8 基本不等式的恒成立问题 题型9 对勾函数求最值 题型10 基本不等式“1”的妙用求最值 题型11 解不含参数的一元二次不等式 题型12 解含有参数的一元二次不等式 题型13 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型14 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 题型15 一元二次不等式在某区间上有解问题 【题型1 作差法比较代数式的大小】 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 作商法比较代数式的大小】 4．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 5．设，，且，则和的大小关系是_________． 6．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【题型3 由不等式的性质证明不等式】 7．求证：当 n 为正整数时，． 8．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 由基本不等式证明不等关系】 10．（多选）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（     ） A． B． C． D． 11．已知且为正数，求证：. 12．设均为正数，且，求证：. 【题型5 基本不等式求积的最大值】 13．（多选）已知正实数，满足，则（  ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 14．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 15．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 基本不等式求和的最小值】 16．已知正数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值 17．已知，，则的最小值为__________． 18．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 【题型7 条件等式求最值】 19．（多选）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．mn的最大值为1 D．的最小值为2 20．（多选）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 21．（多选）下列命题正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则式子有最小值 D．若，，，则 【题型8 基本不等式的恒成立问题】 22．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 23．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 24．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【题型9 对勾函数求最值】 25．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 26．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 27．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【题型10 基本不等式“1”的妙用求最值】 28．（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（      ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 29．已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 30．（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【题型11 解不含参数的一元二次不等式】 31．如图，在长为8，宽为6的矩形地面的四周种花卉中间种植草坪，如要求草坪的种植面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？    32．如图，在长为8，宽为6的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 33．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【题型12 解含有参数的一元二次不等式】 34．解关于的不等式：. 35．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 36．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【题型13 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 37．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 38．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 39．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【题型14 一元二次不等式在某区间上恒成立问题】 40．已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 42．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【题型15 一元二次不等式在某区间上有解问题】 43．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 44．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第2章 一元二次函数、方程和不等式 题型1 作差法比较代数式的大小 题型2 作商法比较代数式的大小 题型3 由不等式的性质证明不等式 题型4 由基本不等式证明不等关系 题型5 基本不等式求积的最大值 题型6 基本不等式求和的最小值 题型7 条件等式求最值 题型8 基本不等式的恒成立问题 题型9 对勾函数求最值 题型10 基本不等式“1”的妙用求最值 题型11 解不含参数的一元二次不等式 题型12 解含有参数的一元二次不等式 题型13 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型14 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 题型15 一元二次不等式在某区间上有解问题 【题型1 作差法比较代数式的大小】 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则．若，则． 故，A正确； 对于B，若，，满足，则，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，若，，则，， 故，即，D正确． 2．若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得出结论. 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 【题型2 作商法比较代数式的大小】 4．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 5．设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 6．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明： 因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． (2)证明： 由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合，即可得证； （2）由对正数和，证得，进而得到，两端次方，即可得证. 【详解】（1）略． （2）略． 【题型3 由不等式的性质证明不等式】 7．求证：当 n 为正整数时，． 【答案】设，构造对偶式. 因为（），所以. 又，所以. 又，所以，命题得证. 【详解】略. 8．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 9．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 【题型4 由基本不等式证明不等关系】 10．（多选）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过基本不等式、代数变形、特殊值验证等方法逐一判断各选项是否恒成立. 【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确. 选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确. 选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误. 选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 11．已知且为正数，求证：. 【答案】， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号， . 【详解】略 12．设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【详解】略 【题型5 基本不等式求积的最大值】 13．（多选）已知正实数，满足，则（  ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】利用基本不等式的知识逐一选项验证即可. 【详解】对于选项A，由基本不等式且有， ，所以选项A正确. 对于选项B，，所以最小值是9，故选项B不正确. 对于选项C， 所以的最大值为，故选项C正确. 对于选项D，因为，所以 所以. 配方得， 即，当时，有最小值.故选项D不正确. 14．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 15．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 【题型6 基本不等式求和的最小值】 16．已知正数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）利用基本不等式化简即可求解. （2）方法1，由已知可得，然后利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解； 方法2，由已知可得，所以，再利用基本不等式即可求解； 方法3，构造关于的二次不等式，结合一元二次不等式的解法求的最小值. 【详解】（1）因为，且，则， 即，所以. 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8． （2）解法1：因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即，即，时等号成立； 所以的最小值为． 解法2：由得，则， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 解法3：由，得， ，又，则. 当且仅当，时等号成立， 17．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 【答案】ABD 【分析】结合充分必要条件判定、不等式性质、基本不等式求最值、特称命题的否定四个知识点，逐一分析选项即可得出结论. 【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立， 反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确； 对于B：由得，又， 由不等式的性质可得，故B正确； 对于C：当时，，所， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 对于D：由存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：，的否定：，，故D正确. 【题型7 条件等式求最值】 19．（多选）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．mn的最大值为1 D．的最小值为2 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式，基本不等式“1”的用法，依次求解判断各选项即可. 【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故正确； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对于C，，即，所以，当且仅当时等号成立，故正确； 对于D，，即的最小值为2，当且仅当时等号成立，故正确； 20．（多选）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 21．（多选）下列命题正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则式子有最小值 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】利用不等式性质以及基本不等式运算，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由，，则， 则，即， 则，故A错误； 对于B，由， 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 根据基本不等式，和，有， 所以，当且仅当即时取等号， 所以有最大值，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，故D正确. 【题型8 基本不等式的恒成立问题】 22．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 23．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 24．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 【题型9 对勾函数求最值】 25．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 26．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 27．（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 【题型10 基本不等式“1”的妙用求最值】 28．（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（      ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 29．已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 30．（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 【题型11 解不含参数的一元二次不等式】 31．如图，在长为8，宽为6的矩形地面的四周种花卉中间种植草坪，如要求草坪的种植面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？    【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于． 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以， 答：花卉带的宽度应大于等于，且小于． 32．如图，在长为8，宽为6的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【分析】可设花卉带的宽度应为，再结合题意列出相应不等式即可求解. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以. 33．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可； （2）由交集与空集的概念求解. 【详解】（1）当时，， 又， 所以． （2）由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为． 【题型12 解含有参数的一元二次不等式】 34．解关于的不等式：. 【答案】当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】直接根据三个二次的关系可得一元二次不等式的解集. 【详解】原不等式移项得，因式分解得； 对应方程的根为和； 当时，，由二次函数开口向上，如图： 所以原不等式解集为； 当时，，由二次函数开口向上，如图： 所以原不等式解集为； 当时，原不等式化为，由二次函数开口向上，如图： 所以原不等式解集为. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 35．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 36．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 【题型13 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 37．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【详解】（1）为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. （2）若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 38．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 39．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 【题型14 一元二次不等式在某区间上恒成立问题】 40．已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，有，又，若，成立， 则有，解得， 所以实数m的最小值为. 41．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． （2）若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 42．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型15 一元二次不等式在某区间上有解问题】 43．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 44．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 45．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $