第二章 一元二次函数、方程和不等式重难点检测试卷 --2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕一元二次函数、方程和不等式单元核心，通过刹车距离分析、文创玩具销售等真实情境题与逻辑证明题，形成基础巩固到创新应用的梯度，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、基本不等式|第4题辨析基本不等式成立条件，夯实基础| |多选题|3/18|条件最值、实际应用|第10题结合刹车距离建不等式模型，体现数学眼光| |填空题|3/15|权方和不等式应用|第13题引入权方和不等式，培养创新意识| |解答题|5/77|证明推理、实际优化|17题销售定价与19题利润函数，强化数学语言表达；15题证明题发展逻辑推理能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，则的最小值为 D．若正数满足，则的最小值是3 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 7．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（） A．或 B．且 C．且 D．或 8．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 10．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 11．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知，则的最小值为_____． 13．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______． 14．设，，且，则和的大小关系是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．设正有理数是的一个近似值，令，求证： (1)介于与之间； (2)比更接近于． 16．（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 17．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 18．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 19．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 2．若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式逐项分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于选项B：因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且，即，可得，故B错误； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：C. 3．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 4．下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，则的最小值为 D．若正数满足，则的最小值是3 【答案】A 【分析】根据基本不等式求出最值即可判断. 【详解】对A，若，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即等号成立，故函数最小值为3，故B错误； 对C，因为， 所以， 当且仅当，即等号成立，故的最小值为2，故C错误； 对D，由可得，因为，可得， 则，当且仅当，即等号成立， 所以的最小值是4，故D错误. 故选：A. 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 6．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 7．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（） A．或 B．且 C．且 D．或 【答案】B 【分析】根据分式方程，利用参数表示出解，建立不等式组，可得答案. 【详解】方程两边同乘得： ， 展开整理得： 消去得： 由题意，解为负数： 同时分母不为零：，， 综上的取值范围为. 故选： 8．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】条件可化为，分别在，条件下求的范围，并结合基本不等式求的最值即可. 【详解】因为，所以，故. 当时，，， 所以，，， 解得或（舍去）， 所以的最小值为，A正确，B错误. 当时，，， 所以，，， 解得（舍去）或， 所以的最大值为，D正确，C错误. 10．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 11．下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 13．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 14．设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．设正有理数是的一个近似值，令，求证： (1)介于与之间； (2)比更接近于． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法对式子进行化简，判断符号即可得出结果. （2）化简，判断式子的符号即可得出结果. 【详解】（1）证明：， 因为若，则，又，则； 若，则，又，则， 所以介于与之间． （2）， 因为，，， 所以， 所以， 所以比更接近于． 16．（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 【答案】（1）8，（2）6，（3）证明见解析. 【分析】（1）利用“配凑法”，即可由不等式求解. （2）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由于，则， ， 当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为6. （3），且，      ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 17．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 18．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 19．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 学科网（北京）股份有限公司 $