第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 人教版A版必修一第二章单元卷，以生活情境与数学概念融合为特色，覆盖不等式性质、基本不等式、一元二次不等式等核心知识，适配单元复习，助力数学眼光观察、思维推理与语言表达素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质（如3题）、实际不等式（如2题）|基础概念辨析，注重逻辑判断| |多选题|3/18|不等关系（如9题）、不等式结论（如10题）|概念辨析与多维度思考| |填空题|3/15|大小比较（12题）、最值（13题）|简洁考查运算与推理| |解答题|5/77|实际应用（15题矩形地基、17题网箱造价）、综合应用（19题含参二次函数）|生活情境建模，分层考查分析与解决问题能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷 （人教版A版必修一） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 6．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．（多选）下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 10．(多选)下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 11．(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 三、填空题（每题5分，共15分） 12．设，，则p与的大小为　________　． 13．若x，y是正实数，，则的最小值为________. 14．若关于的不等式的非空解集为，则________． 四、解答题（5个小题，共77分） 15．(15分)如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 16．(13分)已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 17．(15分)某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 18．（1）把64写成两个正数的积，当这两个数取什么值时，它们的和最小，是多少？ （2）把12写成两个正数的和，当这两个数取什么值时，它们的积最大，是多少？ 19．(17分)设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 一元二次函数方程、函数和不等式 单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B C C B ACD BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 2．D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 3．B 【详解】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 4．C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 5．B 【分析】将原分式不等式同解变形为一元二次不等式，求一元二次不等式的解集即可．需要注意的是同解变形时要考虑分母不为零的情形． 【详解】原不等式变形为， 同解变形为，解得，又因为， 所以原不等式的解集为． 6．C 【分析】先解不等式，再根据不必要条件的判断方法即可确定选项. 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 7．C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 8．B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 9．ACD 【详解】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 10．BC 【详解】对A，若异号，，，，故A错误； 对B，若同号，，，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，因为，则，故C正确， 对D，若，，则，故D错误. 11．ABD 【分析】分三种情况解一元二次不等式. 【详解】对于二次函数，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为且； 当，即或时， 不等式的解集为或. 12．p≥4q 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 13． 【详解】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 14． 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 15． 【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 16． 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，且时成立，即，时，等号成立． 则的最小值为，故要使恒成立，只需即可． 即a的取值范围为． 17．y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 18．（1）两个正数都为8时，它们的和取得最小值16；（2）两个正数都为6时，它们的积取得最大值36. 【分析】（1）设两个正数分别为，列出关系式，再利用基本不等式求出和的最小值. （2）设两个正数分别为，列出关系式，再利用基本不等式求出积的最大值. 【详解】（1）设两个正数分别为，则，，当且仅当时取等号， 所以当这两个正数都为8时，它们的和取得最小值16. （2）设两个正数分别为，则，，当且仅当时取等号， 所以这两个正数都为6时，它们的积取得最大值36. 19．(1) (2)时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为 (3)或时，解集为 时，解集为 时，解集为 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）通过，，讨论函数单调性，进而可求解； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）时，， ； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $