2026—2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考全真模拟卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与特殊四边形，通过电影票房、侨批文化等真实情境设计问题，融合推理运算与空间观念，适配九年级月考能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、菱形判定、矩形性质计算|基础概念辨析，如第5题增长率方程建模| |填空题|6/18|配方法、根与系数关系、矩形折叠|第15题折叠问题考查空间观念| |解答题|8/72|方程求解、菱形证明、动点几何探究|21题结合电影票房设计增长率问题（时代性），24题动点菱形存在性探究（层次性）|

2026年9月份第一次月考全真模拟卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 测试范围：北师大版九年级上册第一章、第二章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 9．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 10．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 12．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 13．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 14．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 15．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 16．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1) (2) (3) (4) 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 20．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 21．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 22．如图，在中，对角线AC与BD交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，延长CF至点G，使，连接AE，AG． （1）求证：； （2）若，试判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 23．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 24．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接求出t的值，并直接写出此时Q点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M且，当P运动______秒时，四边形的周长最小值为______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C D B B B D D 11．3 12．2 13．4 14． 15． 16．①②④ 17．【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得， （2）解：， ∴， 解得，； （3）解：， ， ∴， ∴，即，， 解得，； （4）解：， ∵，，， ∴判别式， ∴， ，． 18．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 19．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)证明：设点到的距离为，则，， ∵， ∴， ∴． 20．(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21．【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 22．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵E，F分别为OB，OD的中点， ∴， 又∵， ∴(SAS)， ∴ （2）四边形AEFG是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形AEFG为平行四边形， ∵， ∴，△AOB是等腰三角形. ∵E为BO的中点， ∴， ∴四边形AEFG为矩形． 23．(1)解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2）解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：存在，①当点在的右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； （3）解：由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 最小时，四边形的周长最小， 作点A关于的对称点E，连接交于M，如图， ， ， 两点之间线段最短， 此时最小，即最小， ， 的最小值为， 四边形的周长最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由对称得， ∴为的中位线， ， ， ， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $