2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考模拟拔尖卷

**基本信息** 本卷聚焦北师大版九年级上册一元二次方程与特殊四边形，通过实际应用（如全民阅读人次增长、养鸡场面积计算）和创新定义（等对四边形、邻根方程），考查抽象能力、模型意识与推理能力，适配月考拔尖学生能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、特殊四边形性质|结合时政素材（如总书记讲话）| |填空题|6/18|配方法、菱形性质、双循环赛制|融入校园活动情境| |解答题|8/72|方程求解、四边形证明、新定义探究|22题实际问题体现模型意识，23题等对四边形培养创新思维，25题十字模型深化几何直观|

2026年9月份第一次月考模拟拔尖卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 测试范围：北师大版九年级上册第一章、第二章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4．总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 8．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 9．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 10．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．方程的解是 _____． 13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 14．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 15．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)； (3)． 18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 20．如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 22．某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 23．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 24．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 25．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： (1)①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； (2)如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C D B C C C 11．14 12．， 13． 14． 15．8 16． 17．【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 18．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 19．(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 20．(1)证明：，是的中点， ， 为等腰三角形， ， 是中线， 是中点， 是的中点， 是的中位线， ． （2）解：，，， 在中，， 由（1）可得． 21．(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， ∴， ∴的长为． 22．【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； (3)不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 23．(1)①③ (2)如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． (3)证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 24．【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 25．【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 同理①可得，， 在中，，即点为的中点， ∴； （2）解：如图，分别取、的中点、，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点， ∵四边形是矩形，且，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形，点的坐标为， ∵， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴； ②当时，如图， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，这与点在边上矛盾，舍去； 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $