2026-2027学年北师大版九年级数学上册《第一章特殊的平行四边形第一节认识特殊的平行四边形》提优特训A·B卷

**基本信息** 以“一般到特殊”几何模型为核心，通过层级概念辨析、性质应用与对称性探究，构建特殊平行四边形的系统化认知与解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-5题、填空11-14题|从属关系图表化辨析、定义条件精准匹配|平行四边形→菱形/矩形→正方形的概念生成链，明确特殊化条件| |性质应用|选择6-10题、填空15-18题|边/角/对角线性质联动、勾股定理计算模型|基础性质+特殊性质的叠加应用，形成“性质→计算→推理”逻辑链| |对称性|选择1/4题、填空12/14题|轴对称/中心对称特征迁移、折叠问题转化|对称性与图形变换结合，提升几何直观与空间观念| |综合证明|解答21-26题|几何推理规范表达、多性质综合应用|从基础证明到动态探究，培养推理能力与创新意识|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第一节认识特殊的平行四边形》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.   精准理解矩形、菱形、正方形的定义，厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属包含关系，能在几何图形中快速辨析四类图形的层级特征，建立一般与特殊的几何模型思维。 2.   熟练掌握三类特殊平行四边形的边、角、对角线独有性质，能结合平行四边形基础性质完成简单边角计算、正误辨析，规范几何推理的逻辑链条。 3.   掌握矩形、菱形、正方形的轴对称、中心对称特征，能利用对称性解决折叠、线段最值类基础提优问题，提升几何图形直观感知能力。 4.   会利用矩形对角线相等、菱形四边相等、正方形边角特殊关系，结合勾股定理完成线段长度、对角线长度的计算，适配基础提优题型的运算要求。 ) 二．知识梳理 ( （一）认识特殊的平行四边形（基础概念） 我们已经学习了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 当普通平行四边形的边、角增加特殊限制条件时，就会形成三类特殊平行四边形。 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形。（对边平行+邻边相等） 2.矩形：有一个内角是直角的平行四边形。（对边平行+一个直角） 3.正方形：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形。 【理解】 （1）菱形、矩形、正方形都是平行四边形，因此它们全部具备普通平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称）。 （2）区别：在平行四边形基础上，分别增加了边特殊、角特殊、边和角都特殊的条件。 （二）平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系 1. 层级逻辑（核心考点） 2. 文字总结关系 （1）平行四边形不一定是菱形、矩形；菱形、矩形一定是平行四边形。 （2）菱形不一定是矩形，矩形不一定是菱形。 （3）正方形一定是菱形、一定是矩形、一定是平行四边形。 （三）菱形、矩形、正方形的对称性（必考知识点） 图形 中心对称 轴对称 对称轴数量 对称轴位置 菱形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 两条对角线所在直线 矩形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 对边中点连线所在直线 正方形 是（对角线交点为对称中心） 是 4条 2条对角线+2组对边中点连线 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2024—2025观山湖区九上期中）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 2.（2026云岩区中考一模）下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 3.（2025南明区九上期末）平行四边形添加一个条件变为菱形，该条件是（ ） A.对角线相等 B.邻边相等 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 4.（2026花溪区中考二模）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.普通平行四边形 B.任意三角形 C.菱形 D.等腰梯形 5.（2025·江苏连云港·中考真题）平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定它为矩形的是（ ） A.∠A=90° B.AC=BD C.AB=BC D.三个内角为直角 6．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 7．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 10．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.（2025乌当区九上期中）正方形既是特殊的矩形，又是特殊的______。 12.（2026清镇市中考三模）矩形的对称轴共有______条。 13.（2024开阳县九上期末）对角线互相垂直且相等的平行四边形一定是______。 14.（2026修文县一模）菱形绕对角线交点至少旋转______°可以与自身重合。 15．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 16．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，若AB＝2，则DE的长为 　 　． 17．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 18．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 19．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 20．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 三．解答题（共60分） 21.（2025观山湖九上期中） (1) 写出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系； (2) 分别说出四种四边形的对称性。 22.（2026云岩区中考一模）已知四边形ABCD是平行四边形。 (1) 添加条件AB=AD，求证：ABCD为菱形； (2) 再添加条件∠ABC=90°，判断四边形形状； (3) 说出此时图形的对称轴数量。 23.（2025·四川泸州·期中）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。 (1)若∠ABC=90°，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=6，BC=8，求AC的长； (3)若AC⊥BD，判断四边形ABCD的形状。 24.如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 25.如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且. (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离 26.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A. B． C． D． 7.在矩形中，、相交于点O，若，则的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 8．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D．16° 9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接EO,若EO=2,则菱形ABCD的周长为(　　) A.8　　 B.12　　 C.16　　 D.20 10．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.（2025清镇市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，只有两条对称轴的图形是矩形和______。 12.（2025乌当区期中）正方形绕中心最小旋转______度能与自身重合。 13.（2024修文县期末）矩形邻边之比为3:4，该图形有______条对称轴。 14.如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则___ 15．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是______. 16.（2025·无锡·期末）有一个角是直角的菱形是____。 17．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 19．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 20．如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为______. 三．解答题（共60分） 21.（2026云岩区中考三模，3小问） (1) 画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含结构图； (2) 写出矩形与菱形所有共同性质； (3) 写出正方形独有的对称特征。 22.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 23.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：DE＝CE． （2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长． 24.如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 25．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 26．（如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第一章特殊的平行四边形第一节认识特殊的平行四边形》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.   精准理解矩形、菱形、正方形的定义，厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属包含关系，能在几何图形中快速辨析四类图形的层级特征，建立一般与特殊的几何模型思维。 2.   熟练掌握三类特殊平行四边形的边、角、对角线独有性质，能结合平行四边形基础性质完成简单边角计算、正误辨析，规范几何推理的逻辑链条。 3.   掌握矩形、菱形、正方形的轴对称、中心对称特征，能利用对称性解决折叠、线段最值类基础提优问题，提升几何图形直观感知能力。 4.   会利用矩形对角线相等、菱形四边相等、正方形边角特殊关系，结合勾股定理完成线段长度、对角线长度的计算，适配基础提优题型的运算要求。 ) 二．知识梳理 ( （一）认识特殊的平行四边形（基础概念） 我们已经学习了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 当普通平行四边形的边、角增加特殊限制条件时，就会形成三类特殊平行四边形。 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形。（对边平行+邻边相等） 2.矩形：有一个内角是直角的平行四边形。（对边平行+一个直角） 3.正方形：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形。 【理解】 （1）菱形、矩形、正方形都是平行四边形，因此它们全部具备普通平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称）。 （2）区别：在平行四边形基础上，分别增加了边特殊、角特殊、边和角都特殊的条件。 （二）平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系 1. 层级逻辑（核心考点） 2. 文字总结关系 （1）平行四边形不一定是菱形、矩形；菱形、矩形一定是平行四边形。 （2）菱形不一定是矩形，矩形不一定是菱形。 （3）正方形一定是菱形、一定是矩形、一定是平行四边形。 （三）菱形、矩形、正方形的对称性（必考知识点） 图形 中心对称 轴对称 对称轴数量 对称轴位置 菱形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 两条对角线所在直线 矩形 是（对角线交点为对称中心） 是 2条 对边中点连线所在直线 正方形 是（对角线交点为对称中心） 是 4条 2条对角线+2组对边中点连线 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2024—2025观山湖区九上期中）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【答案】：D 【解析】：普通平行四边形无对称轴；菱形2条对称轴；矩形2条对称轴；正方形有4条对称轴。 2.（2026云岩区中考一模）下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 【答案】：A 【解析】：平行四边形包含矩形与菱形，正方形既是矩形又是菱形，因此正方形属于矩形。 3.（2025南明区九上期末）平行四边形添加一个条件变为菱形，该条件是（ ） A.对角线相等 B.邻边相等 C.有一个内角为直角 D.对角线互相平分 【答案】：B 【解析】：一组邻边相等的平行四边形是菱形；A、C是矩形的判定条件。 4.（2026花溪区中考二模）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.普通平行四边形 B.任意三角形 C.菱形 D.等腰梯形 【答案】：C 【解析】：平行四边形只是中心对称；等腰梯形只有轴对称；菱形兼具轴对称与中心对称。 5.（2025·江苏连云港·中考真题）平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定它为矩形的是（ ） A.∠A=90° B.AC=BD C.AB=BC D.三个内角为直角 【答案】：C 【解析】：AB=BC是邻边相等，判定平行四边形为菱形，其余均可判定为矩形。 6．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【解析】∵ 四边形是矩形∴ ，，，∵ ，，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 7．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵是菱形的对角线， ∴平分，∴，∵，∴， ∴． 8．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点F，∵四边形是矩形，∴， ∴，∵，，∴． 9．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】D 【解析】由菱形各边都相等，当菱形的周长是16时，菱形边长为4，∵，，∴为等边三角形，则． 10．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形，∴，．∵，， ∴，∴．∵，， ∴，∴． 二．填空题（共30分） 11.（2025乌当区九上期中）正方形既是特殊的矩形，又是特殊的______。 【答案】：菱形 【解析】：正方形同时满足矩形、菱形所有性质。 12.（2026清镇市中考三模）矩形的对称轴共有______条。 【答案】：2 【解析】：矩形两条对边中点连线为对称轴。 13.（2024开阳县九上期末）对角线互相垂直且相等的平行四边形一定是______。 【答案】：正方形 【解析】：对角线垂直→菱形，对角线相等→矩形，既是菱形又是矩形的四边形为正方形。 14.（2026修文县一模）菱形绕对角线交点至少旋转______°可以与自身重合。 【答案】：180 【解析】：菱形为中心对称图形，对称中心为对角线交点，旋转180°重合。 15．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 【答案】15 【解析】：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB＝BC＝x，则EB＝9﹣x，AE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2＝AB2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得 x＝5，∴S菱形ABCD＝5×3＝15， 16．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，若AB＝2，则DE的长为 　 　． 【答案】2﹣2 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴AB＝AE＝2，∴BE＝2，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝2，∴BC＝AD＝2，∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2．故答案为：2﹣2． 17．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】75度 【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为： 18．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【解析】如图，两个正方形，，， ， ，，． 19．如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【答案】15 【解析】连接，四边形为正方形，∴垂直平分，∴，∵米，∴米． 20．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【解析】矩形纸片沿对角线折叠， ，，平分， ，，， ，，，， 在中，，，， ． 三．解答题（共60分） 21.（2025观山湖九上期中） (1) 写出平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系； (2) 分别说出四种四边形的对称性。 解：(1) 平行四边形包含矩形、菱形；矩形与菱形的交集为正方形。 (2) 普通平行四边形：仅中心对称； 矩形：轴对称（2条）+中心对称； 菱形：轴对称（2条）+中心对称； 正方形：轴对称（4条）+中心对称。 【解析】：考查四边形从属关系与对称性质，为本节基础概念考点。 22.（2026云岩区中考一模，3小问）已知四边形ABCD是平行四边形。 (1) 添加条件AB=AD，求证：ABCD为菱形； (2) 再添加条件∠ABC=90°，判断四边形形状； (3) 说出此时图形的对称轴数量。 解：(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形，得证； (2) 有直角的菱形是正方形； (3) 正方形共有4条对称轴。 【解析】：逐步添加条件，从平行四边形依次升级为菱形、正方形，同步考查对称性。 23.（2025·四川泸州·期中）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。 (1)若∠ABC=90°，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=6，BC=8，求AC的长； (3)若AC⊥BD，判断四边形ABCD的形状。 【答案】：(1)证明：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故ABCD是矩形； （2）由勾股定理，AC2=62+82=102 → AC=10； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 解析：紧扣矩形、菱形的定义判定，结合勾股定理计算对角线长度。 24.如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD，∵ME⊥CD，∴CD＝2CE，∵CE＝1，∴CD＝2，∴BC＝CD＝2； (2)证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM(SAS)， ∴ME＝MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G， ∴AM＝MG，在△CDF和△BGF中，∵∴△CDF≌△BGF(AAS)，∴GF＝DF，由图形可知，GM＝GF＋MF，∴AM＝DF＋ME. 25.如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且. (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离 解：(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵延长至点E，使，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形； (2)如图，连接，则点A和点C之间的距离即为线段的长度.∵，， ∴，由(1)可得，∴在中. ∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，则，由(1)可得，∴在中， ∴点A和点C之间的距离为. 26.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴； （2）过作于点，∵四边形是正方形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形的面积． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由矩形性质知，，由折叠性质知． 2．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形是矩形，∴，，∴间的距离即为线段的长，∵，∴间的距离为． 3．如图，在菱形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，，，． 4．如图，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：在正方形中，平分，．， ．又，． 5．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是正方形的对角线，∴，∵，∴， ∴． 6．如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A. B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形，∴，，∵，，， ∴轴，轴，∴轴，轴，∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标，∴． 7.在矩形中，、相交于点O，若，则的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】：B 【解析】：∵ 在矩形中，，∴，∴，故选：B 8．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D．16° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为正方形∴ AB∥CD，AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，∠BCD=90° ∵ BE为公共边∴(SAS)∴ ∠BCE=∠BAE=53°∴ ∠DCE=37°∵ AB∥CD， ∴ ∠DFE=∠BAE=53°∴ ∠CEF=∠DFE-∠DCE=16°故答案为：D. 9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接EO,若EO=2,则菱形ABCD的周长为(　　) A.8　　 B.12　　 C.16　　 D.20 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,在Rt△AOB中,E是AB的中点,∴OE=AB,∵OE=2,∴AB=4,∴菱形ABCD的周长=4AB=16.故选C. 10．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在正方形中，，，∴，∴， 由折叠可得，∵在正方形中，， ∴．故选：C． 二．填空题（共30分） 11.（2025清镇市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，只有两条对称轴的图形是矩形和______。 【答案】：菱形 【解析】：矩形、菱形各2条对称轴，正方形4条，普通平行四边形无对称轴。 12.（2025乌当区期中）正方形绕中心最小旋转______度能与自身重合。 【答案】：90 【解析】：正方形以对角线交点为中心，旋转90°即可与原图重合。 13.（2024修文县期末）矩形邻边之比为3:4，该图形有______条对称轴。 【答案】：2 【解析】：边长比例不改变矩形对称轴数量。 14.如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则___ 【答案】： 【解析】：连接，交于点O，如图，四边形矩形，，，，，，， ，，，，， . 15．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是______. 【答案】2 【解析】因为正方形的周长为8个单位长度，所以正方形的边长为2个单位长度．表示2025的点与表示﹣1的点的距离等于2025﹣（﹣1）＝2026个单位长度，因为2026÷8＝253……2，所以253圈余2个单位长度，所以对应的数字是2. 16.（2025·无锡·期末）有一个角是直角的菱形是____。 【答案】：正方形 【解析】：菱形邻边相等，有一个内角为直角，满足正方形定义。 17．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_______. 【答案】：2 【解析】：如图，连接BP，∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，∴3＝AB•PF+BC•PE，∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），∴PE+PF＝2（cm）， 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 【答案】 【解析】过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合， ∴MN＝AM′＝，故答案为：． 19．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【解析】由题意可得出：，∴，∴， ∵在正方形中，，∴， ∴，∴， ∴在中，故答案为： 20．如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】四边形为菱形，，，点为坐标原点，点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，点的坐标为点坐标为 ． 三．解答题（共60分） 21.（2026云岩区中考三模，3小问） (1) 画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含结构图； (2) 写出矩形与菱形所有共同性质； (3) 写出正方形独有的对称特征。 解：(1) 平行四边形包含矩形、菱形；矩形与菱形相交部分为正方形。 (2) 共同性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称。 (3) 正方形独有：4条对称轴，对角线既相等又互相垂直。 22.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OAAC，OB＝ODBD，∵以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴OB＝CP，BP＝OC，∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形．∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵AC＝BD，OBBD，OCAC，∴OB＝OC，∵四边形BPCO为平行四边形，∴四边形BPCO为正方形． 23.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：DE＝CE． （2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，又∵AE＝DE，∴DE＝CE． （2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA， ∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠AD＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，即菱形的边长为． 24.如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 解：（1）证明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，∴∠ABO＝∠DEA＝90°．在Rt△ABO与Rt△DEA中，，∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）∴∠AOB＝∠DAE．∴AD∥BC．又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形； （2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB＝DE＝3，设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x．在Rt△DEA中，由AE2+DE2＝AD2得：（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5．∴AD＝5．即AD的长为5． 25．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 解：（1）补全图形如图1所示： （2）①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90°＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中， ，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF； ②结论：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE； （3）CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP） 26．（如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO．（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形；（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $