2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次月考模拟拔尖卷

**基本信息** 2026年九年级数学上册月考拔尖卷，聚焦二次函数与一元二次方程，通过超市营业额、喷泉轨迹等真实情境，考查运算能力、模型观念与创新意识，适配月考拔尖学生能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义与图像变换、方程根的应用|基础概念辨析，如二次函数平移（第3题）| |填空题|6/18|方程根与系数关系、实际问题建模|如直角三角形边长（第13题）、技术分享增长率（第14题）| |解答题|9/72|二次函数最值、方程综合应用、新定义问题|分层设计，21题矩形仓库面积（几何与函数）、24题“邻交函数”（创新应用）|

2026年9月份第一次月考模拟拔尖卷人教版2026—2027学年九年级数学上册 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的一个根是，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 5．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 6．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 9．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤（其中），其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则________． 12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 13．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________． 14．在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 15．当时，二次函数的最大值为8，则_________． 16．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 18．已知关于x的一元二次方程的一个根为，求该方程的另一个根． 19．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 20．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 21．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板． (1)若仓库的面积为150平米，求AB． (2)当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积． 22．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． (1)当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； (2)已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 23．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 24．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 25．已知抛物线：，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得抛物线． (1)抛物线的解析式为： ； (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点，交抛物线于另一点在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行若的面积为，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D B D B B C A 11．2 12．0或12 13．10 14．14 15．或 16． 17．【详解】（1）解： ， ， ， ，；                                         （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，．       （3）解：， ， ， ， ， 解得，；     （4）解：， ， ， 或， 解得，． 18．【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则， 解得． 即该方程的另一个根是2． 19．【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 20．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； （2）解：由（）得； ∴二次函数解析式为， 列表： 描点： 连线： 画函数图象： （3）设沿轴平移后的抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，   ∴抛物线向下平移了个单位长度． 21．【详解】（1）设AB的长为x m，则AD=（38+2-2x）m， 根据题意得，x（38+2-2x）=150， 解得：x1=15，x2=5， 当x1=15时，AD=10，当x2=5时，AD=30＞22（不合题意舍去）， ∴AB=15（米）； （2）设仓库的面积为y平方米， 根据题意得，y=x（38+2-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200， ∵a=-2＜0，38+2-2×10=20＜22， ∴当x=10时，y最大值=200， 答：当AB=10米时，仓库的最大面积为200平方米． 22．【详解】（1）解：设日销售数量关于销售单价的函数关系式为 代入点， 则 解得 ∴日销售数量关于销售单价的函数关系式为； （2）解：设日销售利润为元，则单件利润为元， ①当时， ∴ ∵ ∴随着的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当时， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 而 ∴农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元． 23．【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 24．【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 25．【详解】（1）抛物线， 其顶点坐标为， 将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 的解析式为， 故答案为：； （2））如图1，设直线交轴于，过作交轴于， ， ， ， ， ， 抛物线与轴正半轴交于点，的解析式为， 当时，，解得或， ， 直线经过点， ，解得， 直线， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立抛物线得， 解得或， 存在，点的坐标是，； （3）如图2，过点作轴交于， 设的解析式是， ， ， ， ， 由得， ， 直线抛物线有唯一公共点， ， ， ， 同理可得：直线的解析式是， ， ， ，， ，， 的解析式是， 当时，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $