第25至26章九月学情自测过关卷2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过120分钟120分的题量设计，融合基础概念（如方程定义、函数图像）与实际应用（如增长率、拱桥问题），考查运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、函数图像性质|结合图像辨析（如二次函数与一次函数交点），考查几何直观| |填空题|6/24|根与系数关系、顶点坐标|设计多空题（如已知根求参数及另一根），强化推理意识| |解答题|8/66|方程解法、实际应用（增长率、拱桥）|设置综合题（如抛物线与三角形面积计算），体现模型观念与应用意识|

2026—2027 学年人教版九年级数学上册 第二十五章 一元二次方程 · 第二十六章 二次函数 九月学情自测过关卷 考试时间：120 分钟　　满分：120 分 班级：＿＿＿　姓名：＿＿＿　学号：＿＿＿ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．ax²+bx+c=0　　B．x²−2=(x+1)²　　C．x²−3x+1=0　　D．x³−x=0 2. 将方程 x²−4x−7=0 化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，4，7　　B．1，−4，−7　　C．−1，4，−7　　D．1，−4，7 3. 若关于 x 的方程 x²−2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（　　） A．−1　　B．0　　C．1　　D．2 4. 方程 x²−5x+6=0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 的值分别是（　　） A．5，6　　B．−5，6　　C．5，−6　　D．−5，−6 5. 某商品原价 100 元，连续两次降价 a% 后售价为 81 元，则下列方程正确的是（　　） A．100(1+a%)²=81　　B．100(1−a%)²=81 C．100(1−2a%)=81　　D．81(1+a%)²=100 6. 抛物线 y=−2(x−3)²+5 的对称轴是（　　） A．直线 x=−3　　B．直线 x=3　　C．直线 x=5　　D．直线 x=−5 7. 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图 1 所示，则下列结论正确的是（　　） A．a>0　　B．b<0　　C．c<0　　D．a<0，b>0，c>0 图 1 8. 把抛物线 y=x² 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y=(x+2)²+3　　B．y=(x−2)²+3　　C．y=(x+2)²−3　　D．y=(x−2)²−3 9. 若关于 x 的二次函数 y=kx²−2x+1 的图象与 x 轴有公共点，则 k 的取值范围是（　　） A．k≤1　　B．k≤1 且 k≠0　　C．k<1　　D．k≥1 10. 二次函数 y₁=ax²+bx+c(a>0) 与一次函数 y₂=mx+n 的图象如图 2 所示，两图象交于 A(−1,1)、B(3,9) 两点，则使 y₁<y₂ 成立的 x 的取值范围是（　　） A．x<−1　　B．x>3　　C．−1<x<3　　D．x<−1 或 x>3 图 2 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. 已知 x=2 是方程 x²+kx−6=0 的一个根，则 k 的值为＿＿＿，方程的另一个根为＿＿＿。 12. 抛物线 y=x²−4x+5 的顶点坐标为＿＿＿，函数的最小值为＿＿＿。 13. 若关于 x 的方程 (m−1)x²+2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿。 14. 设 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−2=0 的两根，则 x₁²+x₂² 的值为＿＿＿。 15. 已知抛物线 y=ax²+bx+c 的对称轴为直线 x=1，且与 x 轴的一个交点为 (3,0)，则它与 x 轴的另一个交点坐标为＿＿＿。 16. 已知二次函数 y=x²−2x−3，当 0≤x≤3 时，y 的取值范围是＿＿＿。 三、解答题（共 66 分） 17.（12 分）用适当方法解下列方程： (1) x²−4x+3=0； (2) x²−2x−2=0； (3) 2x²−7x+3=0； (4) (x−1)²=3(x−1)。 18.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²−(2k+1)x+k²+k=0。 (1) 求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的一个根为 0，求 k 的值。 19.（8 分）某工厂 2024 年的产值为 500 万元，计划到 2026 年产值达到 720 万元。求这两年产值的平均年增长率。 20.（8 分）如图 3，某农场要用总长为 30 m 的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形场地，若所围矩形的面积为 108 m²，求垂直于墙的一边长。 图 3 21.（8 分）如图 4，已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过 A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3) 三点。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 求抛物线的顶点坐标与对称轴； (3) 求 △ABC 的面积。 图 4 22.（8 分）如图 5，抛物线 y=x² 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）。 (1) 求 A、B 两点的坐标； (2) 结合图象，直接写出当 x²<x+2 时 x 的取值范围。 图 5 23.（8 分）已知抛物线 y=−x²+2x+3。 (1) 求该抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标； (2) 用配方法求该抛物线的顶点坐标； (3) 设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在左），与 y 轴交于点 C，求 △ABC 的面积； (4) 当 y>0 时，求 x 的取值范围。 24.（8 分）如图 6，一座抛物线形拱桥，当水面宽 20 m 时，拱顶高出水面 4 m。以拱顶为原点、水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系。 (1) 求该抛物线的解析式； (2) 当水面上升、水面宽变为 10 m 时，水面上升了多少米？ 图 6 参考答案与解析 一、选择题 1．C　　2．B　　3．C　　4．A　　5．B 6．B　　7．D　　8．B　　9．B　　10．C 二、填空题 11．k=1，另一个根为 −3 12．顶点 (2,1)，最小值 1 13．m≤2 14．13（x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=9−2×(−2)=13） 15．(−1,0) 16．−4≤y≤0（顶点 x=1 处取最小值 −4，端点 x=3 处取最大值 0） 三、解答题 17．(1) (x−1)(x−3)=0，x₁=1，x₂=3； (2) 配方得 (x−1)²=3，x−1=±√3，即 x=1±√3； (3) (2x−1)(x−3)=0，x₁=1÷2，x₂=3； (4) (x−1)(x−1−3)=0，即 (x−1)(x−4)=0，x₁=1，x₂=4。 18．(1) Δ=[−(2k+1)]²−4(k²+k)=4k²+4k+1−4k²−4k=1>0，故无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 把 x=0 代入得 k²+k=0，即 k(k+1)=0，解得 k=0 或 k=−1。 19．设平均年增长率为 x，则 500(1+x)²=720，(1+x)²=720÷500=1.44，1+x=±1.2， 解得 x=0.2=20%（x=−2.2 不合题意，舍去）。答：平均年增长率为 20%。 20．设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边为 (30−2x) m。 由题意 x(30−2x)=108，整理得 x²−15x+54=0，(x−6)(x−9)=0，解得 x=6 或 x=9。 （此时平行于墙的边分别为 18 m、12 m，均符合题意。）答：垂直于墙的一边长为 6 m 或 9 m。 21．(1) 设交点式 y=a(x+1)(x−3)，代入 C(0,−3) 得 a·1·(−3)=−3，a=1，故 y=x²−2x−3； (2) 顶点 (1,−4)，对称轴为直线 x=1； (3) AB=3−(−1)=4，点 C 到 x 轴距离为 3，S△ABC=4×3÷2=6。 22．(1) 由 x²=x+2 得 x²−x−2=0，(x−2)(x+1)=0，x=−1 或 x=2， 故 A(−1,1)，B(2,4)；(2) −1<x<2。 23．(1) 令 x=0 得 C(0,3)；令 y=0 得 x²−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，A(−1,0)，B(3,0)； (2) y=−(x²−2x)+3=−(x−1)²+4，顶点 (1,4)； (3) AB=4，高为 3，S△ABC=4×3÷2=6；(4) −1<x<3。 24．(1) 设 y=ax²，拱桥过点 (10,−4)，−4=a·100，a=−4÷100=−0.04，故 y=−0.04x²； (2) 当水面宽 10 m 时，半宽为 5 m，代入得 y=−0.04×5²=−1， 即此时水面在拱顶下方 1 m，而原水面在拱顶下方 4 m，所以上升了 4−1=3 m。答：水面上升了 3 m。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $