22.3.4.相似三角形的应用1 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，涵盖利用影长测量高度、构造模型测量宽度及证明线段乘积关系、探究三角形重心等内容。通过古代测量金字塔高度的问题导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点是结合生活实例（如测量树高、河宽）和推理证明（如射影定理、重心性质），发展数学眼光（抽象现实问题为相似模型）、数学思维（逻辑推理证比例关系）和数学语言（用比例式表达数量关系）。采用例题解析-对应训练-课堂小结模式，帮助学生提升实际应用能力，教师可直接借助系统案例优化教学流程。

相似三角形的应用1 图形的相似 22 华东师大版·九年级数学上册 1 ① 会应用相似三角形的有关性质，测量简单的 物体的高度或宽度. ② 自己设计方案测量高度，体会相似三角形在 解决实际问题中的广泛应用. 学习目标 古时候，没有精确的测量仪器，怎么才能测量这些物体的高度？ 新课导入 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的 木棒 O′B′，比较木棒的影长 A′B′ 与金字塔的影长 AB，即 可近似算出金字塔的高度 OB．如果 O′B′ = 1 m，A′B′ = 2 m，AB = 274 m，求金字塔的高度 OB . 例 6 金字塔的影长是哪一部分 △OAB与△O′A′B′ 之间有什么关系 探索新知 解 ∵ 太阳光线是平行光线， ∴ ∠OAB = ∠O′A′B′． ∵ ∠ABO = ∠A′B′O′ = 90°． ∴ △OAB ∽△O′A′B′ (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ． ∴ OB = ． 答：金字塔的高度 OB 为 137 m. 利用影长测量物体的高度 测量 原理 测量 方法 图示 测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常利用太阳光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决 如图，在同一时刻测量出参照物影长 BC 和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度 AC 计算出被测量物体的高度 A′C′ △ABC ∽△A′B′C′ 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高.下午课外活动时，她测得长为 1 m 的竹杆的影长是 0.8 m. 但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子 落在教学楼的墙壁上.她先测得留在墙壁上的影高为 1.2 m，又测 得地面的影长为 2.6 m，请你帮她算一下树高. A B D C E A B D C E 解:如图，设 BD 是 BC 在地面的影子，树高为 AE . ∵ 长为 1 m 的竹杆的影长是 0.8 m，BC ＝1.2 m， ∴ 根据竹竿的高与其影子的比值和 BC 与其影子 BD 的比值相同， 得 ，即 ， ∴ BD ＝ 0.96 m， ∴ AD ＝ BD + AB ＝0.96 + 2.6 ＝ 3.56 (m). 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同， 得 ，即 ， ∴AE ＝4.45 (m). 因此，树高是 4.45 m. 例 7 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸 选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选定点 B 和 C ，使 AB ⊥ BC ，然后，再选定点 E，使 EC ⊥ BC，用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D . 此时如果测得 BD = 118 m， DC = 61 m，EC = 50 m，求河的宽度 AB .（精确到 0.1 m） 解 ∵∠ADB = ∠EDC， ∠ABD =∠ECD = 90°， ∴△ABD ∽ △ECD (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ． 解得 AB = ． 答：河的宽度 AB 约为 96.7 m. 求河宽，你还有别的方法吗？ A D B C E ①在河对岸选定一目标点 A； ②再在河的一边选点 D 和 E， 使 DE ⊥ AD； ③然后，再选点 B，作 BC∥DE， 与视线 EA 相交于点 C ； 此时，测得 DE，BC，BD，就可以 求两岸间的大致距离 AB 了. 利用三角形相似测量宽 测量原理 构造相 似三角 形模型 测量数据 相关算式 求 AB 的长，可测量 BD、CD 和 CE 的长 构造相似三角形，利用“相似三角形的对应边成比例”的性质求解 “X”字型 “A”字型 求AB 的长，可测量 BC、CD 和 BD 的长 由△ABD∽△ECD， 得 ，∴AB = 由△ABC∽△ADE， 得 ，代入求值即可 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽. 测量 时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在点 B 竖立标杆 BC， 再在 AB 的延长线上选择点 D，竖立标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 在 一条直线上. 已知 CB ⊥ AD，ED ⊥ AD，若 BC ＝ 1 m，DE ＝ 1.5 m，BD ＝ 8.5 m，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，求河宽 AB. 解: ∵ CB ⊥ AD，ED ⊥ AD，∴ ∠CBA ＝ ∠D ＝ 90°， ∴ BC∥DE. ∴ △ABC∽△ADE. ∴ . ∴ . ∴ AB ＝ 17 m. 答:河宽 AB 为 17 m. 1. 在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比. 在某一时刻，有人测得一高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m， 某一高楼的影长为 60 m，那么这幢高楼的高度是多少米？ 【选自教材第87页 练习 第1题】 解: 设这幢高楼的高度是 x m. 由题意，得 ＝ ，解得 x ＝ 36 . 故这幢高楼的高度是 36 m. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，BC = 6，梯形 DBCE 的面积是 △ADE 面积的 3 倍. 求 DE 的长. 【选自教材第87页 练习 第2题】 解: ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC. A B C D E ∵ S梯形DBCE = 3S△ADE，∴ . ∴ 相似比 k ＝ ， ∴ DE ＝ BC ＝ ×6 ＝ 3. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 【选自教材第87页 练习 第3题】 3. 如图，停车场的栏杆的短臂长为 1.25 m，长臂长为 16.5 m. 当短臂端点下降 0.85 m 时，长臂端点升高多少米？(栏杆的 宽度忽略不计) 解: 设长臂端点升高 x m. 由题意，得 ＝ ， 故长臂端点升高 11.22 m. ∴ x ＝ 11.22 . 0.85 m 1.25 m 16.5 m ？m 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解相似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题. （2）构建图形. （3）利用相似解决问题. 课堂小结 相似三角形的应用2 图形的相似 22 华东师大版·九年级数学上册 19 ① 会应用相似三角形的有关性质，证明几条 线段之间的乘积关系. ② 了解三角形中心的相关知识. 学习目标 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 为边 AB 上的 高. 求证：CD2 = AD · BD. 例 8 A C B D 证明 ∵ ∠ACD = 90°－∠CAD = ∠B， ∠CDA = ∠BDC = 90°， ∴△ACD ∽ △CBD . ∴ . 即 CD2 = AD · BD . 你还能找出其他类似的结论吗？ CA2 = AD · AB . △ACD ∽ △ABC CB2 = BD · BA . △CBD ∽ △ABC 探索新知 例 9 如图，在 △ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的 求证： . 中点，AD、CE 相交于点 G. A B C D E G 证明 如图，连结 ED. ∵ D、E 分别是边 BC、AB 的中点， ∴DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）. ∴△DEG ∽ △ACG . ∴ . ∴ . A B C D E G A B C D F G′ 如果在如图所示的△ABC 中取边 AC 的中点 F，假设 BF 与 AD 相交于点 G′ . 三角形的重心 概念 证明 三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心. 重心与一边中点的连线的长是 对应中线长的 证明: 连结 DE. ∵ D、E 分别为 BC、AC 的中点， ∴ DE ＝ AB，DE∥AB. ∴ △DEG∽△ABG， ∴ ，∴ 同理可证 如图，AD、BE、CF 是△ABC 的三条中线， 则 A B C D E F G 如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，点 E、F 分别为△ABD 和△ACD 的重心，BC ＝12，则 EF 的长为_______. 解析: ∵ 点 E 是△ABD 的重心， ∴ . ∵ 点 F 是△ACD 的重心， ∴ . ∴ . 又∵ ∠EHF ＝∠BHC，∴ △HEF∽△HBC. ∴ . ∵ BC = 12，∴ EF = 4. 4 1. 如图，在 △ABC 中，已知 AB = AC，∠A = 36°，BD 是 ∠ABC 的平分线. 求证: BC2 = AC · DC . 【选自教材第89页 练习 第1题】 证明: ∵ AB ＝AC，∠A ＝ 36°， ∴ ∠ABC ＝∠C ＝ ×(180°－36°)＝ 72°. ∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠CBD ＝ ∠ABC ＝ 36°. A B C D ∴ ∠A ＝∠CBD. 又∵ ∠C ＝∠C，∴ △ABC ∽△BDC. ∴ . ∴ BC2 ＝ AC · DC . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 如图，已知正方形 DEFG 内接于 Rt△ABC，EF 在斜边 BC 上，试证明： 【选自教材第89页 练习 第2题】 （1）； 证明: （1）∵ 四边形 DEFG 为正方形， A B C D E F G ∴ ∠DEF ＝ 90°. ∴ ∠DEB ＝ 90°. 又∵ △ABC 为直角三角形， ∴ ∠A ＝ 90°. ∴ ∠DEB ＝∠A. ∵ ∠B ＝∠B. ∴ △DEB ∽ △CAB . ∴ ，∴ . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 A B C D E F G （2）EF2 = BE · FC . （2）∵ 四边形 DEFG 为正方形， ∴ DE ＝ GF ＝ EF，∠EFG ＝ 90°. ∴ ∠CFG ＝∠DEB ＝90°，∠C + ∠CGF ＝ 90°. ∵ ∠A ＝ 90°，∴ ∠C + ∠B ＝ 90°. ∴ ∠CGF ＝∠B，∴ △CFG ∽△DEB. ∴ = . 又∵ ED ＝GF ＝EF，∴ = . ∴ EF2 ＝BE · FC. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心. 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 课堂小结 $