22.1.1.成比例线段（课件）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“成比例线段”核心知识点，通过观察相似图形实例导入，从相似图形定义过渡到成比例线段概念，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合实例培养抽象能力与运算能力，如单位统一计算线段比，通过比例性质推导发展推理意识，黄金分割应用联系现实培养应用意识。采用分步骤讲解与系统小结，助力学生提升数学思维与应用能力，为教师提供清晰教学流程和丰富教学资源。

成比例线段 图形的相似 22 华东师大版·九年级数学上册 1 1. 了解成比例线段的意义，会判断四条线段 是否成比例. 2. 会利用比例的性质，求出未知线段的长. 学习目标 我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形. 观察这两个图形，你有什么发现？ 新课导入 同一底片扩印出来的不同尺寸的照片是相似图形 放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上图像是相似图形 定义 解读 注意 我们把具有相同形状的 图形称为相似图形 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 下面几对图形中，是相似图形的是（ ） C 为了研究相似图形，先研究与其密切相关的成比例线段. 6 cm 4 cm 8 cm 50 mm m n x y = ________ = ________ 化为最简整数比 单位不统一， 先统一单位 注意：比值无单位 一般地，在同一长度单位下两条线段长度的比称为 这两条线段的比. 探索新知 由图中的格点图可知， =_____， =_____. A B D C A′ B′ D′ C′ 2 2 这样 与之间有什么关系？ = 概 括 对于给定的四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如 （或 a ∶ b = c ∶ d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称 比例线段．此时也称这四条线段成比例． 比例外项 比例外项 比例内项 比例内项 例 1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段： （1）a = 4，b = 8 ，c = 5，d = 10； 解（1） ∵ ∴ . （2）a . ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段． 例 1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段： （1）a = 4，b = 8 ，c = 5，d = 10； （2） ∵ ∴ . ∴这四条线段是成比例线段． （2）a . 比例的基本性质 对于成比例线段，我们有下面的结论： 如果 ，那么 ad = bc． 如果 ad = bc，那么 ． 判断下列长度的各组线段是不是成比例线段: （1）1 cm，2 cm， cm， cm； （2）3 cm，2 cm，6 cm，4 cm； 解:（1）∵ ＝ ，∴ 这四条线段是成比例线段. （2）∵ ＝ ，∴ 这四条线段是成比例线段. （3）0.3 m，18 cm，0.4 m，24 cm； （4）1 cm，3 cm，5 cm，7 cm. （3）0.3 m ＝30 cm，0.4 m ＝ 40 cm. ∵ ＝ ，∴ 这四条线段是成比例线段. （4）这四条线段不是成比例线段. 判断四条线段是不是成比例线段的一般步骤: （1）统一单位； （2）按大小排序； （3）分别计算前两条线段、后两条线段的比，若比值相等则成比例，反之则不成比例；或最大、最小相乘，中间相乘，若积相等则成比例，反之则不成比例. 例 2 （1）求证 ； . ， 等式两边都加上 1，得 . ∴ 证明（1） ， ∵ （2）求证 （a ≠ b）. （2）∵ ， ∴ ad = bc. ∴ 等式两边都减去 ac，得 ad －ac = bc－ac， ∴ ac －ad = ac－bc， ∴ a(c －d) = c(a－b). 由 a ≠ b，且 ，知 c ≠ d，从而 a－b ≠ 0，且 c－d ≠ 0， 上式两边都除以 (a－b)(c－d)，得 . 根据比例的基本性质，由 ，你还可以得到其他哪些类似的结论？ 思 考 ， 我能得出这样的结论. ∵ ， ∴ ad = bc. ∴ 等式两边都加上 ac，得 ad + ac = bc + ac， ∴ a(c + d) = c(a + b). 上式两边都除以 (a + b)(c + d)，得 . 等式两边都减去 1，得 所以 ， 我是这样想的. 已知 ，那么 ， 各等于多少？ 解法一 (比例的基本性质): ∵ ，∴ ， ∴ ， . 解法二 (设参数法)： ∵ ，∴设 x = 2k，y = 3k， ∴ ， . 已知 ，那么 ， 各等于多少？ 例 3 如图，已知 AB = 1，试在线段 AB 上插入点 P， 使 ，即 AP2 = AB · PB. 解 设 AP = x，由题意，有 x2 = 1×(1－x)， 化简，得 x2 + x－1 = 0， 解此方程，得 x = ，舍去负解，所以 x = . 即所需点 P 与端点 A 的距离为 . A P B 黄金分割 如图，将一条线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB (AP > PB)，使 AP2 ＝AB · PB， 我们称 AP 为 AB 和 PB 的比例中项， 点 P 为线段 AB 的黄金分割点，将线段 AB 黄金分割 A P B 一条线段有几个黄金分割点. A P B C 一条线段有两个黄金分割点. 如图，线段 AB 有两个黄金分割点，即点 C 和点 P . 点 C 靠近点 A，有 ， 点 P 靠近点 B，有 ， 并且 AC = PB，AP = BC 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB ＝ + 1， 求 AP 的长. 解: ∵ 点 P 是线段 AB 的黄金分割点， ∴当 AP > PB 时，AP = AB = ； 当 AP < PB 时，同理可知 PB ＝ 2，此时 AP ＝ AB －PB ＝ ()－2 = 综上所述，AP 的长为 2 或 －1. 1. 判断下列线段 a、b、c、d 是不是成比例线段： 解（1）∵ = 【选自教材第58页 练习 第1题】 （1）a = 2 cm，b = 4 cm，c = 3 m，d = 6 m； ∴ = ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 （2）a = 0.8 ，b = 3 ，c = 0.64，d = 2.4. （2）∵ = ∴ = ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段. 2. 已知线段 a、b、c 满足关系式 ，且 b = 4， 【选自教材第58页 练习 第2题】 b2 = ac = 42 = 16 那么 ac = ______. 16 3. 已知 ，那么 、各等于多少？ 【选自教材第58页 练习 第3题】 解：∵ = ，∴ = ， ∴ = ， = ， ∴ = 3. 4. （1）根据图示求线段比：、； 【选自教材第59页 练习 第4题】 （2）试找出图中两组成比例的线段； （3）试找出线段 CB 的黄金分割点 E.（CE > EB，精确到 0.01 cm） C A D B 1 cm 2 cm 4 cm C A D B 1 cm 2 cm 4 cm 解:（1） = ， . （2） = ， ∴ AC、CD、CD、DB 是成比例线段. ∵ = ， ∴ AC、AD、CD、CB 是成比例线段. C A D B 1 cm 2 cm 4 cm （3）由题意，得 0.618 ， ∴CE0.618×6 ≈ 3.71（cm）， ∴ 线段 CB 的黄金分割点 E 距离点 C 3.71 cm. 比例的 基本性质 由比例的 基本性质 得到的结论 （1）如果 ，那么 ad = bc； （2）如果 ad = bc ，那么 . （1）如果 ,那么 (a +b ≠ 0,c + d ≠ 0) （2）如果 ,那么 (a ≠ b,c ≠ d) 课堂小结 $