精品解析：江苏省南京市第二十九中学2026-2027学年第一学期高二年级质量检测数学试卷

南京29中2026-2027学年第一学期高二年级质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将给定抛物线方程转化为开口向上的抛物线标准形式，再结合标准方程对应的焦点坐标公式计算即可． 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式：， 可得，解得， 因此焦点坐标为． 2. 为实数，则实数为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法变形后根据复数的概念求解． 【详解】因为为实数， 所以，解得 3. 现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 5 B. 13.5 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】从小到大排序：5，9，11，13，15，20，22，25，,,所以这组数据的75%分位数为. 4. 已知p：m=-2； q直线l1：2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2：(m-3)x+2y-5=0垂直, 则p是q成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为时，，，而时， 或，所以是成立的充分不必要条件，故选A. 考点：1、两直线的位置关系；2、充分条件与必要条件. 5. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 6. 已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由，得， 即，所以. 所以 . 8. 已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．） 9. 已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，曲线的长轴长为4 B. 当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为 C. 当时，使为直角三角形的点有6个 D. 当时，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆方程的特点即可判断；对B，根据双曲线渐近线方程公式即可判断；对C，分直角顶点讨论即可判断；对D，根据双曲线定义即可判断. 【详解】当时，曲线表示椭圆， 若，焦点在x轴上，长轴长； 若，焦点在y轴上，长轴长，选项A错误； 当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线：，渐近线为， 已知渐近线为，所以，所以， 此时，焦距为，选项B正确； 当时，曲线C为椭圆， 焦点， 直角在或：过​作x轴垂线，各交椭圆于2点，共4个点； 直角在P：以为直径作圆，与椭圆方程联立解得，共2个点， 所以使为直角三角形的点有6个，选项C正确； 当时，曲线C为双曲线：， 由双曲线的定义得到， 根据对称性不妨假设左焦点为，右焦点为， 因为右支上的点到左焦点的最小距离为，故P在左支， 所以，所以，选项D正确； 故选：BCD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 11. 如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积与圆锥的侧面积之比为 B. 平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用球的表面积公式及圆锥的侧面积的公式可判断A，由圆锥曲线定义可得选项B正确， 求出点到面的距离的范围，进而可得体积的取值范围可判断C，写出的表达式，利用三角函数函数可得的最大值，从而判断选项D. 【详解】对选项A，设圆锥的底面半径为，球的半径为，圆锥的母线长为， 因为是边长为2的等边三角形，则，， 连接，，，由条件可知，，，且， 则，所以， 则，即， 所以球的表面积，圆锥的侧面积， 所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为，故选项A正确； 因为平面与母线VB平行，所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故选项B正确； 对选项C，由题意是的中点，所以四面体的体积等于， 设点到平面的距离为，当，处于，时，， 当，处于弧中点时，最大，为1，所以， 如图作交于，由对选项A可知，， 则，，所以，从而， 所以的面积， 所以， 因为，所以，故， 所以四面体的体积的取值范围是，故选项C不正确； 对选项D，由题意得球面和圆锥侧面的交线为以为直径的圆， 以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，设， 则， ， 所以， 所以 即， 所以当时，有最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 13. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为. 14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出经过切点的圆的半径所在直线方程，再与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）由（1）中信息，求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求出直线方程. 【小问1详解】 圆C与直线相切于点，则直线的斜率为， 直线的方程为，即， 解方程组，得，则圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线被圆C所截得的弦长为8，得圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离为3，则直线的方程可以为，此时直线的斜率不存在,； 当直线斜率存在时，设，由，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出； （2）根据三角形面积和正弦定理得到外接圆半径，进而得到的值 【小问1详解】 由得， 即， 整理得， 由，得，则， 整理得，又，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以，则， 由正弦定理及， 得， 所以，则． 17. 已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，在中由勾股定理得到，即可求出； （2）设，用含、的式子表示、，从而表示出，再根据基本不等式计算可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点是，准线方程为，在抛物线上，故，解得， 如图，在中，， 则，即，解得（负值已舍去）， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 设，故， ， ， 所以， 当时，； 当时，，设， 当时，当且仅当，即时取等号； 当时，当且仅当，即时取等号； 所以，则或， 则或，即； 综上所述的取值范围为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． （1）求证：． （2）若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面，在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面； 又因为平面，因此． （2）①② 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义 得到后利用线面垂直的判定定理和定义即可证得结论； （2）①找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解； ②建立空间直角坐标系表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，, 代入得，所以, 所以 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故, 直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即, 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为，得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，,所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立，所以，即的最大值为. 此时 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量.S 设二面角为，则， 所以. 19. 已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）在轴上存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）（i）设直线的方程为，，的中点为，与椭圆方程联立后，利用根与系数的关系求得，进而利用点在上以及可求得实数的取值范围；（ⅱ）设，写出的方程，两式相乘，利用点在椭圆上，进而计算可得动点的轨迹方程，由得，设存在定点满足条件，由求得即可. 【小问1详解】 由，得， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，关于直线对称，所以所在直线的斜率为， 设直线的方程为，，的中点为， 由得， 所以， 所以， 由，可得，， 所以，整理得，所以， 所以，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）存在这样的点，使得. 假设存在这样的点，使得， 如图，若，关于轴对称，则设， 则直线，直线， 两式相乘得， 因为在椭圆上，所以，即， 代入得，化简得，因为点不与顶点重合，所以. 即动点的轨迹方程为.  如图，因为， 所以，即，所以， 设过点的直线方程为，， 由，可得， 因为双曲线与直线有两个不同的交点， 所以有两个不同的解，所以， 所以， 设，则，即. 所以，化简得， 所以，因为，所以，解得， 故在轴上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京29中2026-2027学年第一学期高二年级质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 为实数，则实数为（ ） A. 1 B. C. D. 0 3. 现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 5 B. 13.5 C. 21 D. 22 4. 已知p：m=-2； q直线l1：2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2：(m-3)x+2y-5=0垂直, 则p是q成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 6. 已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．） 9. 已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，曲线的长轴长为4 B. 当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为 C. 当时，使为直角三角形的点有6个 D. 当时，若，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 11. 如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积与圆锥的侧面积之比为 B. 平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 13. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值． 17. 已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． （1）求证：． （2）若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 19. 已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $