江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高二上学期1月调研数学试题

2027届高二数学调研 命题人:许文秀 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.若函数(为自然对数的底数),则( ) A. B.0 C.1 D.2 2.下列两个变量间的关系,是相关关系的是( ) A.任意实数和它的平方 B.圆半径和圆的周长 C.正多边形的边数和内角度数之和 D.天空中的云量和下雨 3.在的展开式中,的系数为( ) A.10 B. C.20 D. 4.已知圆,圆,则圆与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 5.已知为随机变量X和Y的样本相关系数,为随机变量M和N的样本相关系数,则下列说法正确的是( ) A.若,则X和Y负相关 B.若,则M和N线性不相关 C.若,,则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D.若越接近1,则M和N的线性相关程度越弱 6.已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为( ) A. B. C. D. 7.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛,学生甲只能参加其中一项比赛,他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3,若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5,则该生获得冠军的概率为( ) A.0.67 B.0.58 C.0.51 D.0.37 8.设抛物线的焦点为,过的直线交于,过且垂直于的直线交于,过点作准线的垂线,垂足为,则错误的是() A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.有一散点图如图所示,在5个数据中去掉后,下列说法错误的是( ) A.残差平方和变小 B.相关系数r变小 C.决定系数变小 D.解释变量x与响应变量y的相关性变弱 10.目前,全国多数省份已经开始了新高考改革,改革后,考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门,则( ) A.不同的选科方案有20种 B.若某考生计划在物理和生物中至少选一科,则不同的选科方案有12种 C.若某考生确定不选物理,则不同的选科方案有10种 D.若某考生在物理和历史中选择一科,则不同的选科方案有12种 11.已知函数,则( ) A.函数在R上单调递增,则 B.当时,函数的极值点为-1 C.当时,函数有一个大于2的极值点 D.当时,若函数有三个零点,则 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.已知,若,则 . 13.已知表示圆,则实数a的值为 14.若球被一个平面所截,所得截面的面积为,且球心到该截面的距离为,则球的表面积为 . 四、解答题 15(13分).在平面直角坐标系中,分别为直线与轴的交点,为的中点.若抛物线过点. (1)求抛物线的方程; (2)焦点到直线的距离. 16(15分).双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点. (1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; (2)设,若的斜率存在,求证:为定值. 17(15分).设是正项数列,且其前项和为,已知. (1)求数列的通项公式; (2)令,求的前项和. 18(17分).函数. (1)若函数在点处的切线与直线平行,求实数的值; (2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围; (3)在(1)的条件下,求的最小值. 19(17分).学校举行数学知识竞赛,每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛,比赛分为初赛和决赛,规则如下:初赛由参赛队中一名同学答题3次,若3次都未答对,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少答对一次,则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次,每次答对得3分,未答对得0分,该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成,设甲每次答题答对的概率为,乙每次答题答对的概率为,且每次答题相互独立. (1)若,甲同学参加初赛,求该班进入决赛的概率; (2)若,,乙同学参加初赛,记该班的比赛成绩为,求的分布列和数学期望; (3)设,,为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大,应如何安排甲、乙出场比赛的顺序? 2027届高二数学调研 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D B A C ACD BCD ACD 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】求出函数的导数,再赋值求得结果. 【详解】函数,求导得,所以. 故选:B 2.D 【分析】根据各选项中两个变量是确定还是非确定性关系可得结论. 【详解】对于ABC,两个变量之间为确定性关系,即两个变量之间均为函数关系,ABC错误; 对于D,根据生活经验,天空中的云量和下雨之间不是确定性关系,虽然有云不一定下雨,但是如果没有云一定不下雨,说明它们之间是相关关系,D正确. 故选:D. 3.D 【分析】求出展开式的通项,再令的指数等于即可得解. 【详解】展开式的通项为, 令,则的系数为. 故选:D. 4.D 【分析】通过分析圆心距和半径之和的关系,即可得外切. 【详解】圆的圆心为,半径为, 圆,整理得:,圆心,半径为, 因为,所以, 即两圆相外切, 故选:D. 5.B 【分析】利用,且越接近1,线性相关程度越强,越接近0,线性相关程度越弱,结合每个选项的条件逐项判断即可. 【详解】A,若,则X和Y正相关,故A错误; B,若,则M和N线性不相关,故B正确; C,若,,则, 所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱,故C错误; D,若越接近1,则M和N的线性相关程度越强,故D错误. 故选:B 6.A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度,得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 7.C 【分析】根据已知条件,结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”,“参加乒乓球比赛”,“参加跳绳比赛”, 则. 设“获得冠军”,则. 由全概率公式 . 故选:C. 8.ACD 【分析】对于A,由抛物线的定义可判断;对于B,由特殊值(位置)法可判断;对于C,设出直线,联立直线与抛物线,运用抛物线的弦长公式,结合韦达定理,即可判断;对于D,利用三角形相似证得为直角三角形,再利用三角形相似证得,结合焦半径公式即可判断. 【详解】对于A:易知为抛物线的准线,由抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故,故A正确; 对于B:由题可知,,若弦垂直于轴,此时为通径,, 不妨设点,则,,故B错误; 对于C:易知直线的斜率不为0,故可设直线,, 因为都在直线上,故有, 联立直线与抛物线,有,得, 由韦达定理可得, ,故C正确; 对于D:过点作准线的垂线,交于点, 由题意可知,则, 又,所以, 所以,同理可证, 又, 所以,则,故为直角三角形. 在与中,, 所以,则,即, 同理可得, 又 , 由选项C可知,, 所以, 则,当时,等号成立,故D正确. 故选:ACD. 9.BCD 【分析】利用散点图分析数据,判断相关系数,相关指数,残差的平方和的变化情况. 【详解】从散点图可分析出,若去掉D点,则解释变量x与响应变量y的线性相关性变强, 且是正相关,所以相关系数r变大,决定系数变大,残差平方和变小, 故选:BCD. 10.ACD 【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可. 【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门,不同的选科方案有种,则A正确;若某考生计划在物理和生物中至少选一科,则不同的选科方案有种,则B错误;若某考生确定不选物理,则不同的选科方案有种,则C正确;若某考生在物理和历史中选择一科,则不同的选科方案有种,则D正确. 故选:ACD. 11.ACD 【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A;利用导数与函数的极值点之间的关系判断B,C;对于D,作出函数大致图象,判断的范围,进而根据,可得到,由此采用换元法并构造函数,从而证明,判断D. 【详解】对于A,由可得, 若函数在R上单调递增,则恒成立,即恒成立, 故,故, 经验证时,,仅在时取等号,适合题意, 故函数在R上单调递增,则,A正确; 对于B,当时,, ,仅在时取等号,在R上单调递增, 函数无极值点,B错误; 对于C,由于, 当时,,则不妨取, 且或时,函数, 当时,函数,, 故是的极小值点,且由于,则,则,C正确; 对于D,当时, , 当或时,,当时,函数, 则在上单调递增,在上单调递减,且, 故可作出其大致图像如图: 函数有三个零点,即函数的图象与直线有三个交点, 不妨设,由于,而,且,故, 由图象可知, 考虑到当m趋近于0时,会趋近于无限小,趋近于0,故猜测, 下面给以证明: 由题意可知,故, 设,则,故, 则, 要证明,即证,即, 设,故, 故在上单调递增, 故,即成立,故, 而,故成立,D正确, 故选:ACD 【点睛】难点点睛:解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识,同时注意数形结合以及构造函数等方法,难点在于判断时,要首先判断出三者的范围,进而数形结合,合理猜测,进而利用构造函数的方法加以证明. 12.7 【分析】利用组合数与排列数的计算公式列方程求解即得. 【详解】由可得, 则, 因,且,可得, 又,则可推得. 故答案为:7. 13. 【分析】根据圆的标准方程和一般方程计算即可求解. 【详解】由圆的方程,知, 解得或, 当时,变为, 此时不表示圆; 当时,变为, 此时表示圆, 故. 故答案为:-1 14. 【分析】根据题设先计算截面圆的半径,结合勾股定理可求得球的半径,利用球的表面积公式即可求解. 【详解】依题意,设截面圆的半径为,球的半径为,因为截面的面积为,即,解得; 又球心到该截面的距离为,所以,所以球的表面积为. 故答案为:. 15.(1) (2) 【分析】(1)求出和的坐标,利用中点坐标公式求出的坐标,抛物线过点,将的坐标代入得到抛物线的方程. (2)求出焦点的坐标,利用点到直线的距离求出到直线的距离. 【详解】(1),设,,则,设,,则, 为的中点,, 抛物线过点,,,, 抛物线的方程为; (2)抛物线的方程,焦点, 直线变形为, 到直线的距离为. 16.(1) (2) 【分析】(1)由直线的倾斜角可求得点坐标,再利用等边三角形性质可得; (2)求出双曲线方程和直线方程,联立后利用韦达定理即可求得的值. 【详解】(1)设双曲线的焦距为,则可得, 当的倾斜角为时,不妨设,如下图所示: 将点代入可得,又; 解得; 由是等边三角形可得,即, 联立解得或(舍); 所以可得, 所以双曲线的渐近线方程: (2)当 时,双曲线方程为 ,焦点 . 设直线 ,不妨设,联立直线和双曲线方程, 消去 得 . 由韦达定理: ,计算可得 , 代入韦达定理结果化简得: 因此: 即 为定值 . 17.(1) (2) 【分析】(1)首先求得的值,然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列,结合等差数列通项公式可得数列的通项公式; (2)由(1)可得,利用分组法与裂项相消法求和即可. 【详解】(1)当时,,解得:, 当且时,, ∴, 整理可得:, ∵,∴,∴, ∴数列以2为首项,4为公差的等差数列, ∴. (2), . 18.(1) (2) (3)1 【分析】(1)对函数求导,由函数 在点处的切线与直线平行,可得,即可得出实数的值; (2)函数在上单调递增等价于在恒成立,即在恒成立,令,利用导数研究函数的单调性,即可求出,从而可得实数的取值范围; (3)根据(1)的条件,利用导数研究函数的单调性,可推出恒成立,从而在上递增,结合零点存在性定理,即可求得的最小值. 【详解】(1)∵函数, ∴, ∵函数在点处的切线与直线平行 ∴, ∴; (2)由题意,需在恒成立,即在恒成立. 令,则. ∴在递增, ∴, ∴; (3)当时,,则, 令,则. ∴在上递增, 又∵, ∴使得,此时, ∴时递减,时递增, ∴. 故的最小值1. 19.(1) (2)的分布列见解析,数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大,当时,应安排乙初赛,甲决赛;当时,应安排甲初赛,乙决赛. 【分析】(1)结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. (2)确定随机变量的可能取值,分类计算概率,列出分布列,计算数学期望即可. (3)分别求出“甲初赛,乙决赛”和“乙初赛,甲决赛”的概率,比较大小即可. 【详解】(1)已知甲每次答题答对的概率为,则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件,所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对, 所以该班进入决赛的概率为. (2)已知乙同学参加初赛,若乙3次都未答对,则该班被淘汰,比赛成绩为0分;若乙至少答对一次,则进入决赛,决赛由另一名同学答题3次,每次都答对得3分,未答对得0分, 乙初赛答对概率,甲决赛答对概率. 的可能取值为0,3,6,9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次,甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次,甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次,甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. (3)成绩为9分的条件:初赛选手至少答对1次,决赛选手3次全答对. 甲初赛,乙决赛:. 乙初赛,甲决赛:. . 因为,所以. 又,,所以,所以. 当时,,此时,即,故乙初赛,甲决赛时,成绩为9分的概率更大; 当时,,此时,即,故甲初赛,乙决赛时,成绩为9分的概率更大; 综上,为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大,当时,应安排乙初赛,甲决赛;当时,应安排甲初赛,乙决赛. 学科网(北京)股份有限公司 $