1.2.2提多项式公因式（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“提多项式公因式”核心知识点，通过复习相反数多项式变号（如“y - x = - (x - y)”）衔接单项式公因式知识，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生识别括号型整体公因式。 其亮点是以整体思想为主线，通过基础题到拓展题的梯度设计，培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），如“x(x - y)^2 - (y - x)^3”需整体变形分解。规范步骤书写（数学语言），助学生掌握彻底分解方法，教师可利用系统例题和检测提升教学效率。

湘教版数学八年级上册1.2.2提多项式公因式专项练习 核心考点：多项式公因式的识别、整体思想提取多项式公因式、互为相反数多项式的变形与提公因式、复杂多项式的彻底分解 答题要求：树立整体换元思维，准确识别括号型多项式公因式，熟练掌握相反数因式变号规则，分解务必彻底，步骤书写规范，结果保留最简整式积形式 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 多项式$$2(x-y)+3(x-y)^2$$的公因式是（） A. $$x-y$$ B. $$2(x-y)$$ C. $$(x-y)^2$$ D. $$3(x-y)$$ 2. 对于多项式$$a-b$$和$$b-a$$，下列变形正确的是（） A. $$b-a=a-b$$ B. $$b-a=-(a-b)$$ C. $$b-a=a+b$$ D. $$b-a=-(b+a)$$ 3. 分解因式$$m(a-2)+n(2-a)$$的结果是（） A.$$(a-2)(m+n)$$ B. $$(a-2)(m-n)$$ C. $$(2-a)(m-n)$$ D. $$(a+2)(m-n)$$ 4. 下列各式中，适合提取多项式公因式分解的是（） A. $$x^2+2x+1$$ B. $$3(x+1)-x(x+1)$$ C. $$x^2-9$$ D. $$2x^2-4x$$ 5. 分解因式$$4(x+y)^2-6(x+y)$$，提取的最大公因式是（） A. $$2(x+y)$$ B. $$4(x+y)$$ C. $$2(x+y)^2$$ D.$$x+y$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 当多项式中出现相同的括号整体结构时，可将其看作一个________，作为公因式整体提取。 7. $$(y-x)^2=$$________$$(x-y)^2$$，平方后的相反数多项式符号________。 8. 因式分解：$$5(a+b)-10(a+b)^2=$$________。 9. 分解因式$$p(m-n)-q(n-m)$$时，可先将$$n-m$$变形为________，再提取公因式。 10. 若$$3(x-2)+k(2-x)=(x-2)(3-k)$$，则原式变形的核心依据是________。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 11. 找出下列多项式的多项式公因式。 （1）$$6(m+n)^3-9(m+n)^2$$ （2）$$x(a-b)+y(b-a)^2$$ 12. 用提多项式公因式法分解下列因式。 （1）$$3x(x-3)+5(3-x)$$ （2）$$2(a-b)^2-4(b-a)$$ 13. 纠正下列错误的因式分解，写出完整正确过程。 （1）$$4(x-y)-8(y-x)=4(x-y)-8(x-y)=-4(x-y)$$ （2）$$2(m-2)^2-(2-m)=2(m-2)^2-(m-2)=(m-2)(2m-4-1)$$ 四、能力提升题（15分） 14. 利用提多项式公因式法简便计算：已知$$a+b=5$$，求代数式$$2(a+b)^2-7(a+b)$$的值。 五、拓展探究题（15分） 15. 化简并分解因式：$$x(x-y)^2-(y-x)^3$$，要求分解彻底，并写出详细变形步骤。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：两项均含整体因式$$x-y$$，最低次数为1，无更大整式公因式，故公因式为$$x-y$$。 2. B 解析：互为相反数的一次二项式，变形规则为$$b-a=-(a-b)$$，平方、四次方等偶次幂符号不变，奇次幂符号改变。 3. B 解析：原式变形为$$m(a-2)-n(a-2)$$，提取公因式$$a-2$$，得$$(a-2)(m-n)$$。 4. B 解析：选项B含整体多项式公因式$$x+1$$，可整体提取；其余选项无多项式公因式，需用其他方法分解。 5. A 解析：系数最大公约数为2，整体因式$$x+y$$最低次数为1，最大公因式为$$2(x+y)$$。 二、填空题 6. 整体（单项式） 7. 1；不变 解析：偶次幂下，互为相反数的多项式相等，符号不发生改变。 8. $$5(a+b)(1-2a-2b)$$ 解析：提取公因式$$5(a+b)$$，化简剩余因式即可。 9. $$-(m-n)$$ 10. $$2-x=-(x-2)$$，互为相反数的多项式变号规则 三、解答题 11. 解：（1）系数最大公约数3，整体公因式$$(m+n)^2$$，总公因式为$$3(m+n)^2$$；（2）公因式为$$a-b$$（或$$b-a$$）。 12. 解：（1）原式$$=3x(x-3)-5(x-3)=(x-3)(3x-5)$$；（2）原式$$=2(a-b)^2+4(a-b)=2(a-b)(a-b+2)$$。 13. 解：（1）变号错误，正确过程：原式$$=4(x-y)+8(x-y)=12(x-y)$$；（2）分解不彻底、化简错误，正确结果：原式$$2(m-2)^2+(m-2)=(m-2)(2m-4+1)=(m-2)(2m-3)$$。 四、能力提升题 14. 解：原式$$=(a+b)[2(a+b)-7]$$，将$$a+b=5$$代入，原式$$=5×(10-7)=5×3=15$$。通过整体代入求值，简化运算，体现提多项式公因式的实用价值。 五、拓展探究题 15. 解：先统一公因式，$$(y-x)^3=-(x-y)^3$$，原式$$=x(x-y)^2+(x-y)^3$$，提取公因式$$(x-y)^2$$，得$$(x-y)^2[x+(x-y)]$$，化简括号内式子：$$(x-y)^2(2x-y)$$，分解彻底，无剩余公因式。 练习总结：提多项式公因式的核心是整体思想，区别于单项式公因式，重点是识别重复的多项式整体、掌握相反数多项式的变号规则。解题高频易错点为奇偶次幂符号混淆、变号遗漏、分解不彻底。本节是因式分解进阶核心，衔接后续复杂因式分解题型，需熟练掌握整体提取与符号变形技巧。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.2.2提多项式公因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学习目标 1.会找多项式公因式；（重点） 2.能运用提公因式法分解因式.（难点） 学习目标 请在下列各式等号右边的括号前填入“+” 或“－”号，使等式成立: (1) 2－a =_____( a－2 )； (2) y－x =_____ ( x－y )； (3) b + a =_____( a + b )； (4) －m－n =______( m + n )； (5) ( a－b )3 = (－a + b )3 － － + － － 复习导入 解： x(x－2)－3(x－2) 把下列多项式因式分解： (1) x(x－2)－3(x－2); (2) x(x－2)－3(2－x). =(x－2)(x－3) x－2 x－2 x(x－2)－3(2－x) x－2 2－x 2－x转化为－(x－2) =x(x－2)－3[－(x－2)] =x(x－2)+3(x－2) =(x－2)(x+3) 探索新知 把下列多项式因式分解： (1) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (2) (a＋b)(a－b)－a－b. (2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b) ＝(a＋b)(a－b－1). 解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c). 练习 公因式为单项式时： 1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数． 2. 定字母：找多项式各项相同的字母． 3. 定指数：相同字母的最低的次数. 变形为(x－y)2 思考：如何确定多项式各项的公因式？ 6 x 、y、(x－y) 6xy (x－y)2 x、y最低次数是 1、 (x－y)最低次数是2 多 式子 式子 例5 把多项式 12xy²(x－y)2－18x²y(y－x)² 因式分解. 变形为(x－y)2 解 12xy²(x－y)²－18x²y(y－x)² =12xy²(x－y)²－18x²y(x－y)² =6xy(x－y)²·2y－6xy(x－y)²·3x =6xy(x－y)² (2y－3x). 公因式为6xy(x－y)2 例5 把多项式 12xy²(x－y)2－18x²y(y－x)² 因式分解. 1. ［2025郴州期末］将 因式分 解，应提取的公因式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2. 把 因式分解，正 确的结果是( ) B A. B. C. D. 3. 已知为有理数，则整式 的值( ) A A. 不为负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 返回 举一反三 9 4.母题教材P7例5 因式分解： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 举一反三 10 把10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3因式分解时，应提取的公因式是（ ） 练习 A. 5a B. (x+y)2 C. 5(x+y)2 D. 5a(x+y)2 D 例6 把多项式 2x3y－10xy2 因式分解. 分析 2＝2×，10＝5×2×，所以公因式的系数为 2. 解 2x3y－10xy2 ＝2xy·x2－2xy·5y ＝2xy(x2－5y). 将多项式 x3y2－ x2y3 因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？ 分析 ＝×，所以公因式的系数为 . 解 x3y2－ x2y3 ＝x2y2·x－x2y2·y ＝x2y2 1.在下列括号内填写适当的多项式： （1）－2x2+10x－6xy=－2x( ) x－5+3y 【选自教材P8习题1.2 第1题】 （3）6x4y2+14x2y=2x2y( ) 3x2y+7 x+y 当堂检测 2.把下列多项式因式分解： （1）－4x2+10x； （2）－5xy+3y2 －y； （3）3x4y2－x2y3； 解：原式=－2x·2x+5·2x =2x (5－2x) 解：原式=－5x·y+ y·3y－1·y =y(3y－5x－1) 解：原式=x2y2·3x2－x2y2·y =x2y2(3x2－y) 【选自教材P8习题1.2 第2题】 当堂检测 （5）x(x+y)(y－x)－y(x+y)(x－y)； 解：原式=x(x+y)(y－x)+y(x+y)(y－x) =(x+y)2(y－x) （4）15x3y－21x2y3+6x2y2； 解：原式=3x2y·5x－3x2y·7y2+3x2y·2y =3x2y(5x－7y2+2y) 当堂检测 （1）(x－1)(x2+x+1)+(x+1)(x2+x+1) ； 解：原式=(x－1+x+1)(x2+x+1) =2x(x2+x+1) 3.把下列多项式因式分解： 【选自教材P8习题1.2 第3题】 （2）x(y－3)－(2y－6)； 原式=x(y－3)－2(y－3) =(x－2)(y－3) 当堂检测 （3）(y－x)2(x+y)2－ (x－y)2(x+y)； 原式=(x－y)2(x+y)2－(x－y)2(x+y) =(x－y)2(x+y)· (x+y)－(x－y)2(x+y) =(x－y)2(x+y)(x+y－1) （5）2x3y2－x2y3. 原式=x2y2·x－x2y2·y =x2y2 (x－y) （4）x(x2－xy)－(4x2－4xy)； 原式=x2(x－y)－4x(x－y) =(x2－4x)(x－y) =x(x－4)(x－y) 当堂检测 4.已知x2+3x=－2，求5xn+2+15xn+1+10xn(n为正整数)的值. ∴原式=5xn·x2+5xn·3x+5xn·2 =5xn(x2+3x+2) 解：∵x2+3x=－2 =0 【选自教材P8习题1.2 第4题】 =5xn(－2+2) 当堂检测 5.已知， ，求 的值. 【解】原式 ， 当，时，原式 . 返回 举一反三 20 6. 三角形的三边长分别为,,，且 ， 则三角形 是( ) B A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 返回 举一反三 21 7. 设 , , ,则,, 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 举一反三 22 8.对于任意的有理数,,,,我们规定 ,如 ，则 _________ __. 【点拨】因为，所以 . 返回 举一反三 23 提多项式公因式法 注意 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式要提尽； 3. 整项提出莫漏 1； 4. 提负号，要注意变号 课堂小结 公因式为多项式时： 1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数． 2. 定字母：找多项式各项相同的式子． 3. 定指数：相同式子的最低的次数. 谢谢观看 THANKS $